曲きょく线

曲きょく（qū）线（curve，curved line）是ぜ平滑へいかつ弯曲的てき线段或ある线条，也指动点运动方向ほうこう连续变化的てき轨迹。

历史

• 若わか尔当曲きょく线定理ていり
• 变分法ほう（最速さいそく降くだ線せん問題もんだい、等ひとし時とき降くだ線せん）
• 希まれ爾しか伯はく特とく第だい十じゅう六ろく問題もんだい
• 皮かわ亚诺曲きょく线和かず其他Space-filling curve
• 卷まき绕数

定てい义

在ざい数学すうがく上うえ，一条いちじょう曲きょく线的定てい义为：

设$I=[a,b]$为一实数区く间，即そく实数集しゅう的てき非ひ空そら子こ集しゅう，那な么曲线c 就是一いち个连续函数かんすうc : I → X 的てき映像えいぞう，其中X 为一个拓つぶせ扑空间。

我わが们常遇ぐう到いた的てき平面へいめん曲きょく线的拓つぶせ扑空间为$\mathbb {R} ^{2}$。

若わかf是ぜ单射的てき，则 c是ぜ简单曲きょく线（simple curve）。

若わか$I=[a,b]$和わ$f(a)=f(b)$，f是ぜ闭曲线（closed curve）或ある環たまき圈けん。

曲きょく线方程ほど

参まいり见：参まいり数すう方ぽう程ほど

一般いっぱん来らい说，当とう在ざい$\mathbb {R} ^{n}$下した一いち些符合ふごう一いち条じょう方かた程ほど的てき点てん的てき集合しゅうごう组成一いち条じょう曲きょく线时，那な方かた程ほど就叫那な曲きょく线的曲きょく线方程ほど（curvilinear equation，curve equation）。

例れい如，$x^{2}+y^{2}=1$是ぜ单位圆的まと曲きょく线方程ほど，因いん为有且仅有ゆう单位圆上的てき点てん符合ふごう这条方かた程ほど；因いん这些点てん组成一いち个单位い圆，故こ该方程ほど正せい代表だいひょう着ぎ平面へいめん上じょう的てき单位圆。

曲きょく线长度ど

参まいり见：弧こ长

若わか$\gamma (t):[a,b]\to X\subset R^{n}$，则其长度是ぜ

$L(\gamma )=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|\ dt$

平面へいめん曲きょく线

例れい如，若わか一条平面曲线可表达成标准方程$y=f(x)\,$，那な么它的てき长度就是：

$\int _{a}^{b}{{\sqrt {\left[f'\left(x\right)\right]^{2}+1}}\;{\rm {d}}x}$

其中$a\,$、$b\,$为$x\,$的てき上下じょうげ限げん。

若わか平面へいめん曲きょく线可表ひょう达成参さん数すう方ぽう程ほど$x(t),y(t)$，那な么它的てき长度就是：

$\int _{\alpha }^{\beta }{{\sqrt {\left({x'}\right)^{2}+\left({y'}\right)^{2}}}{\rm {d}}t}$

其中$\alpha \,$、$\beta \,$为$t\,$的てき上下じょうげ限げん。

外部がいぶ链接

• （英文えいぶん）MacTutor著名ちょめい曲線きょくせん列れつ圖ず （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）