函数かんすう

此條目め介かい紹的是ぜ数学すうがく中ちゅう的てき函数かんすう。关于程ほど序じょ设计中ちゅう的てき函数かんすう，请见「子こ程ほど序じょ」。

函数かんすう（英語えいご：Function）是これ數學すうがく描述對應たいおう關係かんけい的てき一いち種しゅ特殊とくしゅ集合しゅうごう；粗略そりゃく地ち說せつ，從したがえ集合しゅうごうX到いた集合しゅうごうY的てき函數かんすう將しょうY的てき一いち個こ元素げんそ恰好かっこう分配ぶんぱい給きゅうX的まと每ごと個こ元素げんそ。集合しゅうごうX稱しょう為ため函數かんすう的てき定てい义域，集合しゅうごうY稱しょう為ため函數かんすう的てき到いた达域。

函数かんすう$f$ 就像機器きき或ある黑くろ箱ばこ，给予输入值$x$便びん產さん生せい唯一ゆいいつ输出值$f(x)$

函數かんすう最初さいしょ是ぜ一個變化的量如何依賴另一個量的理想化。例れい如，特定とくてい時間じかん行ぎょう星ほし的てき位置いち可か以視為ため是これ行ぎょう星ほし的てき位置いち對たい時間じかん的てき函數かんすう。從したがえ歷史れきし上じょう看み，這個概念がいねん是ぜ在ざい 17 世紀せいき末用すえもち無窮むきゅう微積分びせきぶん來らい闡述的てき，直ちょく到いた 19 世紀せいき，所しょ考慮こうりょ的てき函數かんすう都と是ぜ可か微ほろ的てき。函數かんすう的てき概念がいねん於19世紀せいき末まつ在ざい集合しゅうごう論ろん中ちゅう被ひ形式けいしき化か，這大大だい擴展了りょう這個概念的がいねんてき應用おうよう領域りょういき。

將はた形狀けいじょう映うつ射い到いた其顏色しょく的てき函數かんすう

簡介

若わか$x$是これ實數じっすう，以有ゆう序じょ對たい $(x,\,x^{2})$ 為ため元素げんそ所しょ構成こうせい的てき集合しゅうごう就是一いち個こ函数かんすう。直觀ちょっかん上じょう代表だいひょう＂輸入ゆにゅう＂ $x$ 就可以得到いた唯一ゆいいつ值 $x^{2}$ 的てき對應たいおう關係かんけい。

一般いっぱん會かい以英文字もじ母はは $f,\,g,\,h$ 表示ひょうじ函数かんすう，並なみ把わ $x$ 依據いきょ函数かんすう $f$ 的てき對應たいおう規則きそく所得しょとく到いた的てき值写作さく$f(x)$ ，並なみ讀作"f of x"。函数かんすう的てき概念がいねん不ふ限きり於數之の间的對應たいおう关系，例れい定てい义函数すう $\operatorname {Capital}$ 為ため世界せかい上じょう所有しょゆう國家こっか跟它現在げんざい的てき首都しゅと的てき對應たいおう關係かんけい，那な輸入ゆにゅう英国えいこく就會输出唯一ゆいいつ值伦敦：$\operatorname {Capital} (\mathrm {U.K.} )=\mathrm {London}$。

直觀ちょっかん上じょう的てき「多た變數へんすう函數かんすう」其實也可以概括がいかつ到いた一般いっぱん函數かんすう的てき定義ていぎ裡うら。例れい如算式しき $x\times y$ 有ゆう兩個りゃんこ實數じっすう參さん數すう $x$ 和わ $y$。可か以將這兩個りゃんこ參さん數すう看み作さく一いち個こ實數じっすう有ゆう序じょ对 $(x,y)$ ，然しか後こう定義ていぎ一いち個こ以 $((x,\,y),\,x\times y)$ 為ため元素げんそ所しょ構成こうせい的てき函數かんすう $f$ ，然しか後ご把わ $f[(x,\,y)]=x\times y$ 簡記成なり符合ふごう直觀ちょっかん的てき $f(x,\,y)=x\times y$ 。

數學すうがく中ちゅう，对应、映うつ射い、变换通常つうじょう都と是ぜ函数かんすう的てき別稱べっしょう，但ただし也可能かのう有ゆう別べつ的てき意思いし，如在拓つぶせ扑學的てき映うつ射い有ゆう时代表だいひょう的てき是ぜ连续函数かんすう。

在ざい類型るいけい論ろん的てきλらむだ演算えんざん中なか，「對應たいおう關係かんけい」可か以是作為さくい一いち個こ原始げんし概念がいねん（也就是ぜ無む定義ていぎ名詞めいし），而不像ぞう上述じょうじゅつ的てき定義ていぎ把わ函數かんすう視し為ため集合しゅうごう的てき衍伸物ぶつ。

函數かんすう的てき值域或ある像ぞう是これ定てい义域中ちゅう所有しょゆう元素げんそ的てき像ぞう之これ集合しゅうごう。

历史

函数かんすう这个数すう学名がくめい词是莱布尼あま兹在ざい1694年ねん开始使用しよう的てき，用もちい來らい描述跟曲きょく线相あい关的一いち個こ量りょう，如曲线的斜はす率りつ或ある者もの曲きょく线上的てき某ぼう一いち点てん。莱布尼あま兹所指ゆび的てき函数かんすう现在被ひ称しょう作さく可か导函数すう，数学すうがく家か之の外的がいてき普通ふつう人じん一般接触到的函数即属此类。对于可か导函数すう可か以讨论它的てき极限和わ导数，此两者しゃ描述了りょう函数かんすう输出值的变化同どう输入值变化か的てき关系，是ぜ微ほろ积分学がく的てき基もと础。中ちゅう文ぶん的てき“函数かんすう”一いち词由清朝せいちょう数学すうがく家か李り善よし兰译出。其《代数だいすう学がく》书中解かい释：“凡此變數へんすう中ちゅう函はこ（包含ほうがん）彼かれ變數へんすう者しゃ，則のり此為彼かれ之の函數かんすう”。

• 1718年ねん，約やく翰·伯はく努つとむ利り把わ函数かんすう定てい义为“一いち个变量的りょうてき函数かんすう是ぜ指ゆび由よし这个变量和かず常つね量りょう以任何なん一种方式组成的一种量。”
• 1748年ねん，伯はく努つとむ利り的てき学生がくせい欧おう拉ひしげ在ざい《无穷分析ぶんせき引论》一いち书中说：“一いち个变量的てき函数かんすう是ぜ由よし该变量りょう和わ一いち些数或ある常つね量りょう以任何なん一种方式构成的解析かいせき表ひょう达式”，例れい如$f(x)=\sin(x)+x^{2}$。
• 1775年ねん，欧おう拉ひしげ在ざい《微分びぶん学がく原理げんり》一书中又提出了函数的一个定义：“如果某ぼう些量以如下か方式ほうしき依よ赖于另一些量，即そく当とう后きさき者しゃ变化时，前者ぜんしゃ本身ほんみ也发生せい变化，则称前まえ一些量是后一些量的函数。”
• 19世せい纪的数学すうがく家か开始对数学がく的てき各かく个分支ささえ進行しんこう形式けいしき化か。维尔斯特拉ひしげ斯倡議将はた微ほろ积分学がく建立こんりゅう在ざい算さん术，而不是ぜ几何的てき基もと础上，這種主張しゅちょう較趋向こう于欧拉ひしげ的てき定てい义。
• 函数かんすう的てき定てい义得以擴展てん之これ後ご，数学すうがく家か便びん能のう对一些“奇き怪かい”的てき数学すうがく对象进行研究けんきゅう，例れい如處處しょ不可ふか导的连续函数かんすう。这些函数かんすう曾经被ひ认为只ただ具有ぐゆう理り论价值，迟至20世せい纪初时它们仍被ひ视作“怪物かいぶつ”。稍やや后きさき，人にん们发现这些函数すう在ざい对如布ぬの朗ろう运动之これ类的物理ぶつり现象进行建けん模も时有重要じゅうよう的てき作用さよう。
• 到いた19世せい纪末，数学すうがく家か开始尝试利用りよう集合しゅうごう论来らい進行しんこう数学すうがく的てき形式けいしき化か。他た们试图将每ごと一個数学对象都定义为集合しゅうごう。狄利克かつ雷かみなり给出了りょう现代正式せいしき的てき函数かんすう定てい义（参まいり见下文ぶん#正式せいしき定義ていぎ）。在ざい他た的てき定義ていぎ下か，函数かんすう被ひ视作数学すうがく关系的てき特例とくれい。然しか而对于实际应用よう的てき情じょう况，现代定てい义和欧おう拉ひしげ定てい义的区く别可以忽略りゃく不ふ计。

正式せいしき定義ていぎ

函数かんすうf的てき部分ぶぶん图像。每まい个实数すう的てきx都と与あずかf（x） = x³ − 9x相あい联系

定義ていぎ — 
二元にげん關係かんけい $f$ 若わか滿足まんぞく：

$(\forall x)(\forall y)(\forall y^{\prime })\{\,[\,(\langle x,\,y\rangle \in f)\wedge (\langle x,\,y^{\prime }\rangle \in f)\,]\Rightarrow (y=y^{\prime })\,\}$

則のり稱たたえ為ため $f$ 為ため一いち函數かんすう。

（為ため了りょう避免 $(x,\,y)$ 的てき括弧かっこ與あずか逻辑敘述的てき括弧かっこ混淆こんこう，也會用よう $\langle x,\,y\rangle$ 來らい表示ひょうじ有ゆう序じょ对）

也就是ぜ直觀ちょっかん上じょう，有ゆう序じょ对 $(x,\,y)$ 代表だいひょう (輸入ゆにゅう值, 輸出ゆしゅつ值)；而 $f$ 本身ほんみ是ぜ以窮舉所有しょゆう (輸入ゆにゅう值, 輸出ゆしゅつ值) 來らい詳しょう盡つき定義ていぎ的てき對應たいおう規則きそく，且每まい個こ輸入ゆにゅう值只能のう對應たいおう一いち個こ輸出ゆしゅつ值。

函數かんすう值的簡記

習慣しゅうかん上じょう把わ $(x,\,y)\in f$ 「等價とうか地ち」記き為ため $y=f(x)$ 。但ただし嚴いむ謹來說せつ， $f(x)$ 是ぜ在ざい一いち阶逻辑公理こうり化か集合しゅうごう论下した額がく外新そとしん增ぞう的てき雙そう元もと函數かんすう符號ふごう ( 因よし為ため $x$ 與あずか $f$ 各かく為ため一いち個こ變數へんすう) ，而它的てき「定義ていぎ」就是以下いか連帶れんたい額がく外がい增加ぞうか的てき公理こうり：

公理こうり — 

$[\,\neg ({\mathcal {B}}\wedge {\mathcal {C}})\wedge (f(x)=\varnothing )\,]\vee [\,({\mathcal {B}}\wedge {\mathcal {C}})\wedge (\langle x,\,f(x)\rangle \in f)\,]$

其中：

${\mathcal {B}}:=(\forall x)(\forall y)(\forall y^{\prime })\{\,[\,(\langle x,\,y\rangle \in f)\wedge (\langle x,\,y^{\prime }\rangle \in f)\,]\Rightarrow (y=y^{\prime })\,\}$ （$f$ 的まと每ごと個こ輸入ゆにゅう值只能のう對應たいおう一いち個こ輸出ゆしゅつ值）

${\mathcal {C}}:=(\exists y)(\langle x,\,y\rangle \in f)$ （$x$ 在ざい $f$ 規定きてい的てき輸入ゆにゅう值範圍はんい內）

新しん增ぞう公理こうり的てき合理ごうり性せい

假設かせつ有ゆう ${\mathcal {B}}\wedge {\mathcal {C}}$ ，此時對たい公式こうしき ${\mathcal {B}}$ 套用量りょう词公理こうりA4有ゆう： $(\forall y)(\forall y^{\prime })\{\,[\,(\langle x,\,y\rangle \in f)\wedge (\langle x,\,y^{\prime }\rangle \in f)\,]\Rightarrow (y=y^{\prime })\,\}$ 這樣綜合そうごう上じょう式しき和わ ${\mathcal {C}}$ 就有： $(\exists !y)(\langle x,\,y\rangle \in f)$ 換かわ句く話はなし說せつ： ${\mathcal {B}}\wedge {\mathcal {C}}\vdash (\exists !y)(\langle x,\,y\rangle \in f)$ 這樣根據こんきょ特定とくてい條件下じょうけんか的てき存在そんざい性せい就有： $\vdash (\exists !y)\{\,[\,\neg ({\mathcal {B}}\wedge {\mathcal {C}})\wedge (y=\varnothing )\,]\vee [\,({\mathcal {B}}\wedge {\mathcal {C}})\wedge (\langle x,\,y\rangle \in f)\,]\,\}$ 這樣根據こんきょ函數かんすう符號ふごう與あずか唯一ゆいいつ性せい的てき內容，就可以於策さく梅うめ洛らく-弗どる兰克尔集合しゅうごう论增加ぞうか上述じょうじゅつ的てき公理こうり與あずか雙そう元もと函數かんすう符號ふごう $f(x)$，且新增ぞう這個公理こうり的てき新しん理論りろん等とう效こう於原來らい的てき理論りろん。

直觀ちょっかん上じょう，這個公理こうり表示ひょうじ「若わか $f$ 為ため一いち函數かんすう且 $x$ 在ざい $f$ 的てき輸入ゆにゅう值範圍はんい，則のり $\langle x,\,f(x)\rangle \in f$；否ひ則そく規定きてい $f(x)$ 為ため空そら集しゅう」。

這樣根據こんきょ函數かんすう符號ふごう與あずか唯一ゆいいつ性的せいてき定理ていり(E)，就會有本ありもと節ぶし一いち開始かいし所說しょせつ的てき直觀ちょっかん性質せいしつ：

${\mathcal {B}}\land {\mathcal {C}}\vdash (\forall y)\{\,[\,y=f(x)\,]\Leftrightarrow [\,\langle x,\,y\rangle \in f\,]\,\}$

也就是ぜ「若わか $f$ 為ため一いち函數かんすう且 $x$ 在ざい $f$ 的てき輸入ゆにゅう值範圍はんい，則のり對たい所有しょゆう的てき $y$ ， $\langle x,\,y\rangle \in f$ 等價とうか於 $y=f(x)$ 」。

對たい於「n變數へんすう」的てき函數かんすう，也就是ぜ以

$((x_{1},\,\cdots ,\,x_{n}),\,y)$

為ため元素げんそ的てき函數かんすう ${\mathcal {f}}$，習慣しゅうかん上うえ會かい把わ以下いか的てき項こう

$f[(x_{1},\cdots ,\,x_{n})]$

進一しんいち步ふ簡寫為ため

$f(x_{1},\cdots ,\,x_{n})$

定義ていぎ域いき與あずか值域

如果能のう指出さしで函數かんすう $f$ 的てき "輸入ゆにゅう值範圍はんい" 跟 "輸出ゆしゅつ值範圍はんい" ，對たい數學すうがく的てき討論とうろん是ぜ相當そうとう方便ほうべん的てき；事實じじつ上じょう公理こうり化か集合しゅうごう論ろん中なか，分ぶん类公理こうり確保かくほ對たい任意にんい集合しゅうごう $A$ 有ゆう唯ただ一いち的てき集合しゅうごう $D_{A}$ 和わ $I_{A}$ （嚴格げんかく來き說せつ，單元たんげん函數かんすう符號ふごう ）分別ふんべつ滿足まんぞく

$(\forall x)\{(x\in D_{A})\Leftrightarrow (\exists y)[\,(x,\,y)\in A\,]\}$ （「輸入ゆにゅう值範圍はんい」）

$(\forall y)\{(y\in I_{A})\Leftrightarrow (\exists x)[\,(x,\,y)\in A\,]\}$　（「輸出ゆしゅつ值範圍はんい」）

直觀ちょっかん上じょう， $D_{A}$ 是ぜ蒐集しゅうしゅう所有しょゆう $A$ 裡うら所有しょゆう有ゆう序じょ对的てき第だい一いち個こ所しょ構成こうせい的てき集合しゅうごう； $I_{A}$ 是ぜ蒐集しゅうしゅう所有しょゆう $A$ 裡うら所有しょゆう有ゆう序じょ对的てき第だい二に個こ所しょ構成こうせい的てき集合しゅうごう。這樣的てき話ばなし，如果 $A$ 本身ほんみ就是函數かんすう的てき話ばなし， $D_{A}$ 就是所謂いわゆる的てき「輸入ゆにゅう值範圍はんい」，所以ゆえん被ひ稱しょう為ため定義ていぎ域いき；類似るいじ地ち， $I_{A}$ 就是所謂いわゆる的てき 「輸出ゆしゅつ值範圍はんい」，所以ゆえん被ひ稱しょう為ため值域。

通常つうじょう情況じょうきょう下か，有ゆう以下いか慣用かんよう的てき記號きごう

$f:X\to Y:=[\,(f{\text{ is a function}})\wedge (D_{f}=X)\wedge (I_{f}\subseteq Y)\,]$

也就是ぜ直觀ちょっかん上じょう，$f:X\to Y$ 表示ひょうじ「 $f$ 是ぜ函數かんすう且其定義ていぎ域いき為ため $X$ ，且值域包含ほうがん於 $Y$。」。這種情況じょうきょう下か， $Y$ 通常つうじょう被ひ俗稱ぞくしょう為ため對應たいおう域いき。

屬ぞく於定義ていぎ域いき $D_{f}$ 的てき元素げんそ $x$ 常つね被ひ俗稱ぞくしょう為ため自じ變量へんりょう（independent variable），而項 $f(x)$ 則のり被ひ俗稱ぞくしょう為ため因いん變量へんりょう（dependent variable），但ただし是ぜ這跟實驗じっけん上じょう的てき自じ变量和わ因いん变量是これ稍やや有ゆう不同ふどう的てき，因いん為ため前者ぜんしゃ是ぜ現實げんじつ得え到いた的てき實驗じっけん值之間あいだ的てき關聯かんれん，但ただし另一個是源於集合論的概念。

一對一いちたいいち

定義ていぎ — 
函數かんすう $f$ 若わか滿足まんぞく

$(\forall y)(\forall x)(\forall x^{\prime })\{\,[\,(\langle x,\,y\rangle \in f)\wedge (\langle x^{\prime },\,y\rangle \in f)\,]\Rightarrow (x=x^{\prime })\,\}$

則のり被ひ稱しょう為ため一對一いちたいいち的てき（one-to-one）或ある是ぜ单射（injective function）。

直觀ちょっかん上じょう，若わか函數かんすう $f$ 的てき輸出ゆしゅつ值都只ただ能のう被ひ唯ただ一いち個こ輸入ゆにゅう值對應おう，則のり稱しょう $f$ 是ぜ一いち對たい一いち的てき。

若わか $f$ 是ぜ單たん射い，那な（根據こんきょ分ぶん类公理こうり所ところ取的とりてき）以下いか的てき集合しゅうごう：

$f^{-1}:=\{\,p\,|\,(\exists x)(\exists y)[\,p=(y,\,x)\,\wedge \,y=f(x)\,]\,\}$

也是一いち個こ函數かんすう，被ひ稱しょう為ため $f$ 的てき反はん函數かんすう。

滿まん射しゃ

$f:X\to Y$ 這個簡記只ただ能のう指出さしで「輸出ゆしゅつ值不會かい超ちょう出だし $Y$ 」，為ため了りょう彌わたる補ほ這個簡記的てき缺陷けっかん，口語こうご上うえ會かい將はた满射（surjective function）定義ていぎ為ため「 $f:X\to Y$ 且值域就是 $Y$」 的てき函數かんすう。

（1）一對多いちたいた。X中なか的てき元素げんそ3与あずかY中なか的てき两个元素げんそb和わc相あい关。因よし此这是ぜ多た值函数すう，而不是ぜ函数かんすう。

（2）一對一いちたいいち但ただし非ひ完全かんぜん對應たいおう。X的てき元素げんそ1未み与あずかY的てき任にん一いち元素げんそ相しょう关。因よし此这是ぜ偏へん函数かんすう，而不ふ是ぜ函数かんすう。

（3）完全かんぜん對應たいおう且多对一，因いん此这是ぜ从X到いたY的てき函数かんすう。此函数すう可か以表示ひょうじ为$f=\{\,(1,d),(2,d),(3,c)\}$，或ある$f(x)=\left\{{\begin{matrix}d,&{\mbox{if }}x=1\\d,&{\mbox{if }}x=2\\c,&{\mbox{if }}x=3\end{matrix}}\right.$

函數かんすう的てき簡記

除じょ了りょう正式せいしき定義ていぎ一節所規範的集合論表示法，一般的數學書籍會採用比較通俗的函數表記方法，下面かめん將しょう一いち一いち介かい紹。

函數かんすう記號きごう

很多函數かんすう都と是ぜ取と实数為ため輸出ゆしゅつ值和輸入ゆにゅう值，換かわ句く話はなし說せつ，都みやこ是ただし $f:A\to \mathbb {R}$ （$A\subseteq \mathbb {R}$），這些函數かんすう很多都と是ぜ以實數すう的てき四則しそく運算うんざん去さ定義ていぎ的てき。但ただし考慮こうりょ到いた实数加法かほう可か由ゆかり皮かわ亚诺公理こうり裡うら的てき單元たんげん函數かんすう符號ふごう $S(x)$ （直觀ちょっかん上じょう解釋かいしゃく成なり「$x$ 的まと下か一いち個こ」，或ある說せつ「$x+1$ 」）建けん構出來でき，或ある被ひ視み為ため实数公理こうり系統けいとう裡うら的てき雙そう元もと函數かんすう符號ふごう$P(x,\,y)$（簡記為ため $x+y$ ），實數じっすう加法かほう其實是ぜ一いち阶逻辑下した的てき項こう；類似るいじ地ち，其他四則運算也可以此類推，而得出で他た們都是ぜ項こう的てき結論けつろん。所以ゆえん直觀ちょっかん上じょう定義ていぎ实数函數かんすう的てき時候じこう，都と希望きぼう一いち條項じょうこう（直觀ちょっかん上じょう的てき運算うんざん式しき）能のう唯一ゆいいつ決定けってい一いち個こ函數かんすう，比ひ如說，對たい於項こう：

$x+1$

以下いか的てき集合しゅうごう：

$h:={\bigg \{}p\,{\bigg |}\,(\exists x\in \mathbb {R} )[p=(x,\,x+1)]{\bigg \}}$

是ぜ一いち個こ函數かんすう。為ため了りょう讓ゆずる這類函數かんすう的てき表示ひょうじ更さら加か簡潔かんけつ，就衍伸しん出で以下いか的てき表記ひょうき方式ほうしき：

符號ふごう定義ていぎ — 
$X_{1},\,\dots ,\,X_{n}$ 都みやこ是ただし集合しゅうごう，$T$ 是ぜ含有がんゆう變數へんすう $x_{1},\,\dots ,\,x_{n}$ 的てき項こう，那な在ざい：

$(\forall x_{1}\in X_{1})\dots (\forall x_{n}\in X_{n})(\exists !y)(y=T)$

的てき前提ぜんてい下か，則のり可か做以下か的てき符號ふごう定義ていぎ：

$f(x_{1},\,\dots ,\,x_{n})=T\;\;(\langle x_{1},\,\dots ,\,x_{n}\rangle \in X_{1}\times \dots \times X_{n})\,$

$:=$

$f={\bigg \{}p\,{\bigg |}\,\exists x_{1}\dots \exists x_{n}[(\langle x_{1},\,\dots ,\,x_{n}\rangle \in X_{1}\times \dots \times X_{n})\wedge (p=\langle x_{1},\,\dots ,\,x_{n},\,T\rangle )]{\bigg \}}$

這個表記ひょうき方式ほうしき被ひ稱しょう為ため函數かんすう記號きごう（functional notation），直觀ちょっかん上じょう表示ひょうじ「若わか從したがえ $X_{i}$ 依よ序ついで取出とりで地ち $x_{i}$ 代入だいにゅう $T$ 裡うら，都と可か以得到いた唯一ゆいいつ的てき輸出ゆしゅつ值，那な可か以定義ていぎ一いち個こ $f(x_{1},\,\dots ,\,x_{n})=T$ 的てき函數かんすう」。（ $T$ 有ゆう可能かのう不滿足ふまんぞく前提ぜんてい，從したがえ而無法ほう定義ていぎ這樣的てき一いち個こ函數かんすう，如取 $T:=x_{1}+z$ 就無法ほう得え到いた唯一ゆいいつ輸出ゆしゅつ值）

像ぞう是ぜ取と $T$ 為ため $x+1$ 的まと話ばなし，因いん為ため實數じっすう加法かほう的てき性質せいしつ而有：

$(\forall x\in \mathbb {R} )(\exists !y)(y=x+1)$

因いん為ため單元たんげん對たい被ひ規定きてい成なり：

$\langle x\rangle :=x$

這樣就可以把前面ぜんめん的てき函數かんすう $h$ 簡記為ため：

$h(x)=x+1\;(x\in \mathbb {R} )$

如果定義ていぎ域いき可か以從上下じょうげ文ぶん推斷すいだん出來でき，函數かんすう記號きごう可か以更不正ふせい式しき的てき寫うつし為ため：

$f(x_{1},\,\dots ,\,x_{n})=T$

比ひ如說函數かんすう $h$ 就可以進一いち步ほ簡記為ため：

$h(x)=x+1$

這個記號きごう是ぜ1734年ねん第だい一いち次じ被かむ萊昂哈德·歐おう拉ひしげ所ところ採用さいよう。 但ただし當時とうじ並なみ沒ぼつ有ゆう清楚せいそ地區ちく分ぶん函數かんすう、項こう與あずか幂级数すう，因いん為ため當時とうじ並なみ沒ぼつ有ゆう一いち阶逻辑這種清楚せいそ研究けんきゅう語ご言げん推理すいり的てき系統けいとう；也並不知ふち道どう有ゆう些物理ぶつり應用おうよう的てき函數かんすう不能ふのう用よう幂级数すう展開てんかい。

箭や號ごう表示ひょうじ

以上いじょう的てき函數かんすう記號きごう也可以稍作さく修おさむ改あらため，來らい明確めいかく的てき指出さしで「輸出ゆしゅつ值」的てき範圍はんい：

符號ふごう定義ていぎ — 
$X_{1},\,\dots ,\,X_{n}$ 與あずか $Y$ 都みやこ是ただし集合しゅうごう，$T$ 是ぜ含有がんゆう變數へんすう $x_{1},\,\dots ,\,x_{n}$ 的てき項こう，在ざい：

$(\forall x_{1}\in X_{1})\dots (\forall x_{n}\in X_{n})(\exists !y)[\,(y\in Y)\wedge (y=T)\,]$

的てき前提ぜんてい下か，可か做以下か的てき符號ふごう定義ていぎ：

$f:X_{1}\times \dots \times X_{n}\to Y;\;\langle x_{1},\,\dots ,\,x_{n}\rangle \mapsto T$

$:=$

$f={\bigg \{}p\,{\bigg |}\,\exists x_{1}\dots \exists x_{n}[(\langle x_{1},\,\dots ,\,x_{n}\rangle \in X_{1}\times \dots \times X_{n})\wedge (p=\langle x_{1},\,\dots ,\,x_{n},\,T\rangle )\wedge (T\in Y)]{\bigg \}}$

這個表記ひょうき方式ほうしき被ひ稱しょう為ため箭や號ごう表示ひょうじ（arrow notation），直觀ちょっかん上じょう表示ひょうじ「若わか把わ從したがえ $X_{i}$ 依よ序ついで取出とりで地ち $x_{i}$ 代入だいにゅう $T$ 裡うら，都と可か以得到いた $Y$ 裡うら的てき某ぼう唯ただ一いち輸出ゆしゅつ，那な可か以定義ていぎ一いち個こ從したがえ$X$ 到いた $Y$，對應たいおう規則きそく為ため $\langle x_{1},\,\dots ,\,x_{n}\rangle \mapsto T$ 的てき函數かんすう $f$ 」

上述じょうじゅつ符號ふごう也可以比較ひかく通俗つうぞく地ち記き為ため：

$f:X_{1}\times \dots \times X_{n}\to Y;\;f(x_{1},\,\dots ,\,x_{n})=T$

比ひ如說，取と $T_{x}$ 為ため $x+1$ 的まと話ばなし，因いん為ため實數じっすう加法かほう的てき性質せいしつ而有：

$(\forall x\in \mathbb {R} )(\exists !y)[(y\in \mathbb {R} )\wedge (y=x+1)]$

因よし為ため $x\in \mathbb {R}$ 可か以推出で $x+1\in \mathbb {R}$，所以ゆえん可か把わ函數かんすう $h$ 表示ひょうじ成なり：

$h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ;\;h(x)=x+1$

箭や號ごう表示ひょうじ常用じょうよう來らい「固定こてい」某ぼう個こ變數へんすう，來らい得え到いた新しん的てき函數かんすう；假設かせつ $T_{xt}$ 是ぜ含有がんゆう變數へんすう $x$ 和わ $t$ 的てき項こう，如果：

$f:X\times T\to Y;\;(x,t)\mapsto T_{xt}$

$\tau \in T$

那な根據こんきょ：

$(\forall x)(\forall y)(\forall x^{\prime })(\forall y^{\prime })\{(\langle x,y\rangle =\langle x^{\prime },y^{\prime }\rangle )\Leftrightarrow [(x=x)\wedge (y^{\prime }=y^{\prime })]\}$

若わか假設かせつ $T_{x\tau }$ 是ぜ將しょう $T_{xt}$ 裡うら的てき $t$ 都と代だい換かわ成なり $\tau$ 所ところ形成けいせい的てき新しん項こう，那な以下いか的てき符號ふごう簡寫也是可か行ぎょう的てき：

$f_{\tau }:X\to Y;\;x\mapsto T_{x\tau }$

直觀ちょっかん上じょう來き說せつ， $f_{\tau }$ 是これ把わ $f$ 第だい二に個こ變數へんすう $t$ 「固定こてい」成なり特定とくてい的てき $\tau$ 所得しょとく到いた的てき新しん函數かんすう，英文えいぶん上じょう也可稱たたえ為ため partial applied function。

間隔かんかく號ごう表示ひょうじ

可か以把箭や號ごう表示ひょうじ裡うら的てき $x$ 都と取と代だい成なり间隔号ごう，變成へんせい更さら通俗つうぞく直觀ちょっかん的てき間隔かんかく號ごう表示ひょうじ，比ひ如說：

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ;\;x\mapsto x^{2}$

可か以記為ため：

${(\cdot )}^{2}$

或ある是ぜ對たい於 $[a,\,b]$ 可か積せき的てき$f:[a,\,b]\to \mathbb {R}$ ，作さく如下定義ていぎ的てき話ばなし：

$g:[a,\,b]\to \mathbb {R} ;\;x\mapsto \int _{a}^{x}f(u)\,du$

函數かんすう $g$ 的てき定義ていぎ亦また可か不正ふせい式しき的てき記き為ため：

$\int _{a}^{(\cdot )}f(u)\,du$

但ただし這個表記ひょうき方法ほうほう的てき明あかり顯あらわ缺點けってん是ぜ無法むほう指出さしで定義ていぎ域いき，因いん為ため函數かんすう於哪個こ區間くかん可か積せき會かい決定けってい以上いじょう的てき函數かんすう $g$ 的てき定義ていぎ可か不可ふか行ぎょう。

函数かんすう图形

sin(x)等とう函數かんすう的てき圖形ずけい

主しゅ条目じょうもく：函数かんすう图形

如果函數かんすう $f$ 的てき值域跟定義ていぎ域いき都と是ぜ實數じっすう集合しゅうごう(俗稱ぞくしょう $f$ 為ため實じつ函数かんすう)，可か以x軸じく代表だいひょう定義ていぎ域いき的てき範圍はんい；y軸じく代表だいひょう值域的てき範圍はんい，把わ函數かんすう的てき每まい個こ元素げんそ標示ひょうじ在ざい平面へいめん直角ちょっかく坐すわ標しるべ上うえ，這被稱しょう為ため實じつ函数かんすう $f$ 在ざい平面へいめん上じょう的てき函數かんすう圖形ずけい。

對たい於"雙そう變數へんすう"的てき實じつ函數かんすう $g$ ，也就是ぜ以 ($x,\,y,\,z\in \mathbb {R}$)

$((x,\,y),\,z)$

為ため元素げんそ的てき函數かんすう，可か以取

$D_{x}=\{\,x\,|\,(\exists y)(\exists z)[\,g(x,\,y)=z\,]\,\}$

$D_{y}=\{\,x\,|\,(\exists x)(\exists z)[\,g(x,\,y)=z\,]\,\}$

然しか後こう以 x 軸じく為ため $D_{x}$ 變化へんか範圍はんい；y 軸じく為ため $D_{y}$ 變化へんか範圍はんい；最後さいご取とz 軸じく為ため $g$ 的てき值域變化へんか範圍はんい，這樣就可以在三さん維直角ちょっかく坐すわ標しるべ繪え出で $g$ 的てき函數かんすう圖形ずけい。

實じつ函数かんすう的てき判ばん别

平面へいめん上じょう的てき任意にんい圖形ずけい可用かよう豎直判ばん别法判斷はんだん是ぜ否ひ為ため實じつ函数かんすう的てき圖形ずけい，即そく图形与あずか任にん何なん一いち条じょう平行へいこう于 y 轴的直ちょく线不能ふのう有ゆう一いち个以上じょう的てき交點こうてん。但ただし實際じっさい上じょう這僅僅是函數かんすう正式せいしき定義ていぎ的てき一種いっしゅ應用おうよう，因いん為ため平行へいこう于 y 轴的直ちょく线代表だいひょう的てき是ぜ形がた如

$\{\,p\in {\mathbb {R} }^{2}\,|\,(\exists y\in \mathbb {R} )[\,p=(c,\,y)\,]\,\}$

的てき集合しゅうごう，也就是ぜ此直線せん交 x 軸じく於 $(c,\,0)$ ，那な這樣直線ちょくせん與あずか實じつ函數かんすう $f$ 的てき交集就是

$\{\,p\in {\mathbb {R} }^{2}\,|\,(\exists y\in \mathbb {R} )[\,p=(c,\,y)\wedge y=f(c)\,]\,\}$

而屬於這個こ交集裡うら的てき平面へいめん點てん最多さいた只ただ能のう有ゆう一いち個こ，否いや則のり就會跟每個こ $x\in D_{f}$ 只ただ能のう對應たいおう一いち個こ $f(x)$ 的てき基本きほん定義ていぎ矛盾むじゅん。

像ぞう和わ原ばら像ぞう

像ぞう可か以指兩りょう種たね不同ふどう的てき概念がいねん

第だい一種いっしゅ是ぜ形がた如 $f(x)$ 的てき項こう，直觀ちょっかん上じょう代表だいひょう的てき是ぜ依よ照あきら函數かんすう $f$ 的てき對應たいおう規則きそく，使つかい $x$ 能のう對應たいおう到いた的てき那な個こ"值"。(嚴げん謹的意義いぎ請回去さ參考さんこう函數かんすう值的簡記)

第だい二に種しゅ指ゆび的てき是ぜ集合しゅうごう $A$ 在ざい函數かんすう $f$ 下しも定義ていぎ的てき集合しゅうごう $f(A)$

$f(A):=\{\,y\,|\,(\exists x\in A)[\,y=f(x)\,]\,\}$

注意ちゅうい $f$ 的てき值域就是定義ていぎ域いき $D_{f}$ 的まと像ぞう $f(D_{f})$ 。在ざい正式せいしき定義ていぎ一節いっせつ的てき最後さいご例れい子中こなか， $\{2,3\}$ 在ざい $f$ 的まと像ぞう是ぜ $f(\{2,3\})=\{c,d\}$，而 $f$ 的てき值域是ぜ $\{c,d\}$ 。

類似るいじ的てき，集合しゅうごう $B$ 在ざい函數かんすう $f$ 下した的てき原はら像ぞう（或ある逆ぎゃく像ぞう）定義ていぎ為ため：

$f^{-1}(B):=\{\,x\,|\,(\exists y)[\,y=f(x)\wedge y\in B\,]\,\}$

沿用同どう一いち例れい子こ，可か以看到いた $\{a,b\}$ 的てき原はら像ぞう是ぜ $f^{-1}(\{a,b\})=\varnothing$ ，即そく空そら集しゅう。

以下いか是ぜ$f$及$f^{-1}$的てき一いち些特性せい：

• $f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})$；
• $f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})$；
• $f(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})$；
• $f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})$；
• $f^{-1}(f(B))\subseteq B$；
• $f^{-1}(f(A))\supseteq A$。

這些特性とくせい適合てきごう定義ていぎ域いき的てき任意にんい子こ集しゅう$A,A_{1}$及$A_{2}$和わ到達とうたつ域いき的てき任意にんい子こ集しゅう$B,B_{1}$及$B_{2}$，甚至可か推廣到いた任意にんい子こ集しゅう群ぐん的てき交集和わ并集。

函數かんすう的てき限きり制せい及擴張かくちょう

若わか $f:X\to Y$ 且 $X^{\prime }\subset X$ ， 那な以下いか定義ていぎ的てき集合しゅうごう$f|_{X^{\prime }}$ ( 注意ちゅうい到いた $\times$ 代表だいひょう笛ふえ卡儿积 )

$f|_{X^{\prime }}:={\bigg \{}\,(x,\,y)\,{\bigg |}\,(x\in X^{\prime })\wedge [\,y=f(x)\,]\,{\bigg \}}=f\cap (X^{\prime }\times Y)$

顯然けんぜん為ため一いち函數かんすう，稱たたえ為ため $f$ 在ざい $X^{\prime }$ 的てき限きり制せい。

反はん之これ，若わか $g:X\to Z$ 、 $X\subseteq Y$ 、 $f:Y\to Z$ 且 $f|_{X}=g$，那な $f$ 稱たたえ為ため $g$ 的てき擴張かくちょう。

点てん态运算さん

設しつらえ $f:X\to R$ 且 $g:X\to R$ 且 $(R,\,+,\,\times )$ 為ため環たまき。這樣可か以定義ていぎ＂函數かんすう和わ＂ $f+g$ 與あずか＂函數かんすう積せき＂ $f\times g$ 如下：

${\begin{aligned}f+g:={\bigg \{}\,(x,\,y)\,{\bigg |}\,(x\in X)\wedge [\,y=f(x)+g(x)\,]\,{\bigg \}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}f+g:={\bigg \{}\,(x,\,y)\,{\bigg |}\,(x\in X)\wedge [\,y=f(x)\times g(x)\,]\,{\bigg \}}\\\end{aligned}}$

很容易ようい證明しょうめい以上いじょう兩者りょうしゃ也是函數かんすう，類似るいじ的てき對たい任意にんい的てき $r\in R$ 可か以定義ていぎ下面かめん這兩個りゃんこ集合しゅうごう

${\begin{aligned}r_{R}:={\bigg \{}\,(x,\,y)\,{\bigg |}\,(x\in X)\wedge (y=r)\,{\bigg \}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}r\cdot f:={\bigg \{}\,(x,\,y)\,{\bigg |}\,(x\in X)\wedge [\,y=r\times f(x)\,]\,{\bigg \}}\\\end{aligned}}$

也是函數かんすう，其中 $r_{R}$ 被ひ稱しょう為ため常數じょうすう函數かんすう。

範はん例れい

参まいり见：函はこ数列すうれつ表ひょう

• 首都しゅと之の於国家こっか（若わか不ふ把わ多た首都しゅと国こく计算在ざい内ない)。
• 每まい个自然しぜん数すう$n$的てき平方へいほう$n^{2}$是これ$n$的てき函數かんすう。
• 對數たいすう函數かんすう。$\ln x$是これ正ただし实数$x$的てき函數かんすう。注意ちゅうい，雖然可か以把對數たいすう函數かんすう推廣到いた複數ふくすう情況じょうきょう，但ただし結果けっか就不是ぜ函數かんすう了りょう，而是多た值函數すう。
• 對たい每まい个在$\mathbb {R} ^{2}$平面へいめん上じょう的てき点てん，其和原点げんてん$(0,0)$的てき距离是ぜ確定かくてい的てき。

常用じょうよう的てき数学すうがく函数かんすう包括ほうかつ多た项式函數かんすう、根ね式しき函數かんすう、冪べき函數かんすう、对数函數かんすう、有理ゆうり函数かんすう、三角さんかく函数かんすう、反はん三角さんかく函數かんすう等ひとし。它们都と是ぜ初等しょとう函数かんすう。非ひ初等しょとう函数かんすう（或ある特殊とくしゅ函数かんすう）包括ほうかつ伽とぎ马函數すう和わ贝塞尔函数すう等ひとし。

分類ぶんるい

函數かんすう可分かぶん為ため

• 奇き函數かんすう或ある偶函數すう
• 連續れんぞく函數かんすう或ある不連續ふれんぞく函數かんすう
• 實じつ函數かんすう或ある虛きょ函數かんすう
• 純量じゅんりょう函數かんすう或ある向むかい量りょう函數かんすう
• 单调增ぞう函数かんすう或ある单调减函数すう

范畴論ろん觀點かんてん

参まいり见：范畴论和わ态射

在ざい范畴论中なか，函数かんすう的てき槪念被ひ推廣為ため態たい射しゃ的てき槪念。

一いち個こ范畴包括ほうかつ一組物件與一組態射，每ごと一個態射是個三元组(X, Y, f)，X稱しょう為ため源げん物件ぶっけん（定義ていぎ域いき的てき類比るいひ），Y稱しょう為ため目標もくひょう物件ぶっけん（到達とうたつ域いき的てき類比るいひ），而源物件ぶっけん与あずか目標もくひょう物件ぶっけん是ぜ范畴內的物件ぶっけん。基もと于这种解释，可か以把函数かんすう看み作づく集合しゅうごう范畴裡うら面めん的てき態たい射しゃ。

參考さんこう文獻ぶんけん

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• Bartle, Robert. The Elements of Real Analysis 2nd. Wiley. 1976. ISBN 978-0-471-05465-8. OCLC 465115030. 
• Bloch, Ethan D. Proofs and Fundamentals: A First Course in Abstract Mathematics. Springer. 2011. ISBN 978-1-4419-7126-5. 
• Cunningham, Daniel W. Set theory: A First Course. Cambridge University Press. 2016. ISBN 978-1-107-12032-7. 
• Gödel, Kurt. The Consistency of the Continuum Hypothesis. Princeton University Press. 1940. ISBN 978-0-691-07927-1. 
• Jech, Thomas. Set theory 3rd. Springer-Verlag. 2003. ISBN 978-3-540-44085-7. 
• Spivak, Michael. Calculus 4th. Publish or Perish. 2008. ISBN 978-0-914098-91-1. 

延伸えんしん閱讀

• Anton, Howard. Calculus with Analytical Geometry. Wiley. 1980. ISBN 978-0-471-03248-9.  含有がんゆう內容需登入にゅう查看的てき頁ぺーじ面めん (link)
• Bartle, Robert G. The Elements of Real Analysis 2nd. Wiley. 1976. ISBN 978-0-471-05464-1. 
• Dubinsky, Ed; Harel, Guershon. The Concept of Function: Aspects of Epistemology and Pedagogy. Mathematical Association of America. 1992. ISBN 978-0-88385-081-7. 
• Hammack, Richard. 12. Functions (PDF). Book of Proof. Virginia Commonwealth University. 2009 [2012-08-01]. （原始げんし内容ないよう存そん档于2024-06-08）. 
• Husch, Lawrence S. Visual Calculus. University of Tennessee. 2001 [2007-09-27]. （原始げんし内容ないよう存そん档于2011-09-24）. 
• Katz, Robert. Axiomatic Analysis. D. C. Heath and Company. 1964. 
• Kleiner, Israel. Evolution of the Function Concept: A Brief Survey. The College Mathematics Journal. 1989, 20 (4): 282–300. CiteSeerX 10.1.1.113.6352 . JSTOR 2686848. doi:10.2307/2686848. 
• Lützen, Jesper. Between rigor and applications: Developments in the concept of function in mathematical analysis. Porter, Roy (编). The Cambridge History of Science: The modern physical and mathematical sciences. Cambridge University Press. 2003. ISBN 978-0-521-57199-9.  An approachable and diverting historical presentation.
• Malik, M. A. Historical and pedagogical aspects of the definition of function. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 1980, 11 (4): 489–492. doi:10.1080/0020739800110404. 
• Reichenbach, Hans. Elements of Symbolic Logic. Dover. 1947. ISBN 0-486-24004-5. 
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• Thomas, George B.; Finney, Ross L. Calculus and Analytic Geometry 9th. Addison-Wesley. 1995. ISBN 978-0-201-53174-9.  含有がんゆう內容需登入にゅう查看的てき頁ぺーじ面めん (link)

外部がいぶ链接

• NIST數學すうがく函數かんすう（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• mysuc.com，经典函数かんすう示しめせ例れい
• Wolfram函数かんすう网站（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆），汇集了りょう各かく数学すうがく函数かんすう的てき公式こうしき和わ图像
• Was ist eine Funktion? （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• xFunctions（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）一个多功能的Java小しょう程ほど序じょ，可か以显示しめせ函数かんすう的てき图像，既すんで可か以在线使用しよう，也可以下いか载运行ぎょう。
• FooPlot （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Curvas（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）