多項式たこうしき

多た项式（英語えいご：Polynomial）是これ代数だいすう学がく中なか的てき基もと础概念がいねん，是ぜ由よし称しょう为未知数みちすう的てき变量和わ称しょう为系数すう的てき常数じょうすう通つう过有限げん次じ加か减法、乘法じょうほう以及自然しぜん数すう幂次的てき乘の方かた运算得え到いた的てき代数だいすう表おもて达式。多た项式是ぜ整式せいしき的てき一いち种。未知数みちすう只ただ有ゆう一个的多项式称为一元多项式；例れい如$x^{2}-3x+4$就是一个三项一元二次多项式。未知数みちすう不ふ止とめ一个的多项式称为多元多项式，例れい如$x^{3}+2y-3z$就是一個三项三元三次多项式，一个多项式有几次取决于最高的那个项的次数。（xy属ぞく于二に次じ）

三さん次じ多項式たこうしき（$deg=3$）在ざい坐すわ標しるべ平面へいめん上じょう的てき圖形ずけい

可か以写成なり只ただ由よし一项构成的多项式也称为单项式しき。如果一项中不含未知数，则称之の为常数じょうすう项。

多た项式在ざい数学すうがく的てき很多分ぶん支ささえ中ちゅう乃至ないし许多自然しぜん科学かがく以及工程こうてい学がく中ちゅう都と有ゆう重要じゅうよう作用さよう。

定義ていぎ

给定一いち个环$R$（$R$通常つうじょう是ぜ交换环，可か以是有理数ゆうりすう、实数或ある者もの复数等ひとし等とう）以及一いち个未知数みちすう$X$，则任何なん形かたち同どう：

$a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n-1}X^{n-1}+a_{n}X^{n}$

的てき代数だいすう表ひょう达式叫さけべ做$R$上うえ的てき一元いちげん多た项式。其中$a_{0},a_{1},\cdots ,a_{n}$是これ$R$中なか的てき元素げんそ。未知数みちすう不ふ代表だいひょう任にん何なん值，但ただし环$R$上うえ的てき所有しょゆう运算都と对它适用。在ざい不ふ至いたり于混淆こんこう的てき情じょう形がた下か，一般将一元多项式简称为多项式。可か以证明あきら，两个多項式たこうしき的てき和わ、差さ与あずか積せき仍然是ぜ多項式たこうしき，即そく多項式たこうしき組成そせい一いち個こ環たまき$R[X]$，稱たたえ爲ため$R$上うえ的てき（一元いちげん）多項式たこうしき環たまき。而所有しょゆう的てき二に元もと多た项式则可以定义为所有しょゆう以一元多项式为系数的多项式，即そく形がた同どう

$p_{0}(X_{1})+p_{1}(X_{1})X_{2}+\cdots +p_{n_{2}-1}(X_{1})X_{2}^{n_{2}-1}+p_{n_{2}}(X_{1})X_{2}^{n_{2}}$

的てき代数だいすう表ひょう达式。其中$p_{0}(X_{1}),p_{1}(X_{1}),\cdots ,p_{n}(X_{1})$都みやこ是ただし$R[X_{1}]$中なか的てき元素げんそ。全体ぜんたい这样的てき表ひょう达式也构成なり一いち个环，记为$R[X_{1},X_{2}]$。以此类推，可か以定义所有しょゆう$m$元もと多項式たこうしき集合しゅうごう：$R[X_{1},X_{2},\cdots ,X_{m}]$

多た项式总可以表示ひょうじ为有限げん个元素的すてき和わ，其中每ごと个元素げんそ都と是ぜ未知数みちすう与あずか$R$中ちゅう一个常数的乘积，这样的てき元素げんそ称しょう为多项式的てき项，其中的てき常数じょうすう称しょう为该项的系けい数すう。在ざい$R[X_{1},\ldots ,X_{m}]$中なか，多た项式的てき每ごと一项都是形同$aX_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\cdots X_{m}^{k_{m}}$的てき乘じょう积形式しき。其中$a$是ぜ系けい数すう，$k_{i}$被ひ称しょう为$X_{i}$在ざい这一项中的てき次数じすう。所有しょゆう$k_{i}$之これ和わ称しょう为这一いち项的次数じすう。比ひ如在以下いか这一项：

$-5X^{3}Y$

中ちゅう，系けい数すう是ぜ$-5$，不定ふてい元もと$X$的てき次数じすう是ぜ$3$，$Y$的てき次数じすう是ぜ$1$，这一项的次数じすう是ぜ$4$。可か以写成なり只ただ由よし一项构成的多项式也称为单项式しき。如果一项中不含未知数，则称之の为常数すう项。

次數じすう

某ぼう个未知数みちすう$X_{s}$在ざい多た项式各かく项中最大さいだい的てき次数じすう称しょう为多项式中ちゅう未知数みちすう$X_{s}$的てき次数じすう，拥有这样次数じすう的てき$X_{s}$的てき项被称しょう为$X_{s}$的てき最高さいこう次じ项。所有しょゆう项的次数じすう中ちゅう最高さいこう的てき称しょう为多项式的てき次数じすう。对于一元多项式来说，唯ただ一的未知数的次数也称为多项式的次数，未知数みちすう的てき最高さいこう次じ项也称しょう为多项式的てき最高さいこう次じ项。

例れい如多項式たこうしき：$\ XY^{3}+2X+5-0.3c$中なか$\ XY^{3}$的てき次數じすう最高さいこう，是ぜ$4$，故こ此多項式たこうしき的てき次數じすう為ため四よん。因よし而此多項式たこうしき可か稱しょう為ため三さん元げん四よん次じ四よん項こう式しき。$\ XY^{3}$稱しょう為ため四よん次項じこう，$\ 2X$、$-0.3c$稱しょう為ため一いち次項じこう或ある線せん性せい項こう，而$5$是ぜ零れい次項じこう或ある常數じょうすう項こう。

多項式たこうしき$P$的てき次數じすう記き作さく$\deg(P)$。约定零れい多た项式没ぼつ有ゆう次数じすう，也没有ゆう未知数みちすう。常數じょうすう多項式たこうしき分ぶん為ため零れい次じ多項式たこうしき（非ひ零れい常数じょうすう）和わ零れい多項式たこうしき。一いち次じ多項式たこうしき又また稱たたえ為ため線せん性せい多項式たこうしき。多項式たこうしき中ちゅう的てき一次項又稱為線性項。如果某ぼう个多项式的てき所有しょゆう项都有ゆう相しょう同どう次数じすう，则称其为齐次多た项式。

一个一元多项式被称为首一多项式，如果它的最高さいこう次じ项的系けい数すう是ぜ$R$的てき单位元もと。

多た项式的てき升ます幂及降幂排列はいれつ

选定一いち个未知数みちすう后きさき，多た项式可か依よ各かく项中该未知数みちすう的てき次数じすう以降いこう序じょ或ある升ます序じょ排列はいれつ。次数じすう从低到いた高こう是ぜ升ます幂排列はいれつ。次数じすう从高到いた低てい是ぜ降くだ幂排列はいれつ。例れい如

$\ 2X^{5}Y^{2}+7X^{3}Y^{4}+8X^{1}Y^{6}$

是ぜ依よX的てき次数じすう降くだ幂排列はいれつ。

多た项式的てき运算

多た项式的てき加法かほう

两个多た项式相しょう加か可か以看作さく是ぜ对两组单项式的てき和わ进行重じゅう组与合あい并同类项。通つう过加法かほう结合律りつ，可か以将同どう类项放ひ在ざい一いち起おこり，合ごう并之后きさき就得到いた了りょう两个多た项式的てき和わ。例れい如以下か的てき两个多た项式：

${\begin{aligned}{\color {BrickRed}P}&={\color {BrickRed}3X^{2}-2X+5XY-2}\\{\color {RoyalBlue}Q}&={\color {RoyalBlue}-3X^{2}+3X+4Y^{2}+8}\end{aligned}}$

它们的てき和かず是ただし：

${\color {BrickRed}P}+{\color {RoyalBlue}Q}=({\color {BrickRed}3X^{2}-2X+5XY-2})\;+\;({\color {RoyalBlue}-3X^{2}+3X+4Y^{2}+8})$

化か简之後ご得え到いた：

$P+Q=X+5XY+4Y^{2}+6$

多た项式的てき减法

例れい：$P={\color {Red}36x^{5}+7x^{4}+66x^{3}+36x^{2}+66x+6}$、$Q={\color {Violet}5x^{5}-73x^{4}-11x^{3}-11x^{2}+5x+3}$則のり

$P-Q=(36-5)x^{5}+(7+73)x^{4}+(66+11)x^{3}+(36+11)x^{2}+(66-5)x+(6-3)=31x^{5}+80x^{4}+77x^{3}+47x^{2}+61x+3$

多た项式乘法じょうほう

例れい如以下か的てき两个多た项式：

${\begin{aligned}\color {BrickRed}P&=\color {BrickRed}{2X+3Y+5}\\\color {RoyalBlue}Q&=\color {RoyalBlue}{2X+5Y+XY+1}\end{aligned}}$

计算它们的てき乘じょう积，步ほ骤如下か：

${\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {BrickRed}P}{\color {RoyalBlue}Q}&{=}&&({\color {BrickRed}2X}\cdot {\color {RoyalBlue}2X})&+&({\color {BrickRed}2X}\cdot {\color {RoyalBlue}5Y})&+&({\color {BrickRed}2X}\cdot {\color {RoyalBlue}XY})&+&({\color {BrickRed}2X}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\\&&+&({\color {BrickRed}3Y}\cdot {\color {RoyalBlue}2X})&+&({\color {BrickRed}3Y}\cdot {\color {RoyalBlue}5Y})&+&({\color {BrickRed}3Y}\cdot {\color {RoyalBlue}XY})&+&({\color {BrickRed}3Y}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\\&&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}2X})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}5Y})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}XY})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\end{array}}$

化か简之後ご得え到いた：

$PQ=4X^{2}+21XY+2X^{2}Y+12X+15Y^{2}+3XY^{2}+28Y+5$

多た项式除法じょほう

主しゅ条目じょうもく：综合除法じょほう

和わ整数せいすう之これ间的带余除法じょほう类似。可か以证明あきら，设有多た项式$A$和かず非ひ零れい多た项式$B$，则存在そんざい唯一ゆいいつ的てき多た项式$Q$和わ$R$，满足：

$A=BQ+R$

其中多た项式$R$若わか非ひ零れい多た项式，則のり其次數すう严格小しょう于$B$的てき次數じすう。

作さく为特例れい，如果要よう计算某ぼう个多项式$P$除じょ以一いち次じ多た项式$X-a$得え到いた的てき餘多あまた项式，可か以直接ちょくせつ将はた$a$代入だいにゅう到いた多た项式$P$中なか。$P$除じょ以$X-a$的まと餘多あまた项式是ぜ$P(a)$。

具体ぐたい的てき计算可か以使用しよう类似直じき式しき除法じょほう的てき方式ほうしき。例れい如，计算$X^{3}-12X^{2}-42$除じょ以$X-3$，列れつ式しき如下：

${\begin{matrix}\qquad \qquad \;X^{2}-\;\;\;\!\!9X\;\,-\;27\\\qquad \quad X-3\;{\overline {)\quad X^{3}-12X^{2}+\;\;0X\;\;\!\!-42}}\\\;\;{\underline {\quad \,X^{3}-\;\;3X^{2}}}\\\qquad \qquad \qquad \;\,-\;\,\,\,9X^{2}+\;\;0X\\\qquad \qquad \qquad {\underline {\;\;\!-\;\,\,\,9X^{2}+27X}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \,-\;27X-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \,{\underline {-\;27X+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\,\,-123\end{matrix}}$

因いん此，商しょう式しき是ぜ$\ X^{2}-9X-27$，餘よ式しき是ぜ$\ -123$。

多た项式的てき矩のり阵算法ほう

乘法じょうほう

$f(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k},g(x)=\sum _{k=0}^{m}b_{k}x^{k},f(x)g(x)=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}x^{k}$

${\begin{pmatrix}c_{0}&c_{1}&\cdots &c_{n+m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}&\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{0}&b_{1}&\cdots &b_{m}&0&\cdots &0\\0&b_{0}&\cdots &b_{m-1}&b_{m}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{pmatrix}}$

除法じょほう

令れい $f(x)=1-x-2x^{2}+x^{3}+3x^{4}-x^{5},g(x)=3-x+x^{2}-x^{3}$

則のり$f(x)=q(x)g(x)+r(x)$，应用多た项式乘法じょうほう的てき矩のり阵算法ほう，越えつ右側みぎがわ代表だいひょう越えつ高だか次項じこう。

${\begin{pmatrix}1&-1&-2&1&3&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{0}&q_{1}&q_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&-1&1&-1&0&0\\0&3&-1&1&-1&0\\0&0&3&-1&1&-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}r_{0}&r_{1}&r_{2}&0&0&0\end{pmatrix}}$

首くび先さき，從したがえ高次こうじ方かた作さくf(x)除じょ以g(x)，求もとむ$q(x)$

${\begin{pmatrix}q_{0}&q_{1}&q_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0\\1&-1&0\\-1&1&-1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}-4&-2&1\end{pmatrix}}$

$q(x)=-4-2x+x^{2}$

再さい求もとむ$r(x)=f(x)-q(x)g(x)$

${\begin{pmatrix}r_{0}&r_{1}&r_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-1&-2\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}-4&-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&-1&1\\0&3&-1\\0&0&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}13&1&-3\end{pmatrix}}$

$r(x)=13+x-3x^{2}$

MATLAB程ほど式しき實み作さく

f = [1 -1 -2 1 3 -1];
g = [3 -1 1 -1];
zero_pad = zeros(1, length(f) - length(g));
g = toeplitz([3 zero_pad], [3 -1 1 -1 zero_pad]);

[row_len, col_len] = size(g);
q = f(end - row_len + 1 : end) / g(:, end - row_len + 1 : end)
r = f(1 : end - row_len) - q * g(:, 1 : end - row_len)

因いん式しき分解ぶんかい

主しゅ条目じょうもく：因いん式しき分解ぶんかい

因いん式しき分解ぶんかい是ぜ指ゆび把わ一个多项式分解成几个（非常ひじょう数すう的てき）多た项式的てき乘じょう积。其中的てき每ごと一个多项式称为原多项式的因いん式しき。因いん式しき分解ぶんかい有ゆう助じょ于理解りかい多た项式的てき性せい质，比ひ如根的てき分布ぶんぷ等とう等とう。因いん式しき分解ぶんかい的てき结果通どおり常和ときわ多た项式所在しょざい的てき系けい数すう域いき有ゆう关。如果要求ようきゅう因いん式しき分解ぶんかい後ご的てき每ごと一个因式都在一定的系数域（比ひ如有理数ゆうりすう域いき）里さと面めん，那な么结果はて可能かのう和わ要求ようきゅう它们在ざい另一个系数すう域いき（比ひ如说复数域いき）里さと不同ふどう。比ひ如多项式$P=X^{6}-2X^{4}+2X^{2}-1$在ざい有理数ゆうりすう域内いきない分解ぶんかい为：

$P=(X+1)(X-1)(X^{4}-X^{2}+1)$

在ざい实数域内いきない则可以进一いち步ほ分解ぶんかい为：

$P=(X+1)(X-1)(X^{2}-{\sqrt {3}}X+1)(X^{2}+{\sqrt {3}}X+1),$

在ざい复数域内いきない还可以再进一いち步ほ分解ぶんかい：

$P=(X+1)(X-1)(X-{\frac {{\sqrt {3}}+i}{2}})(X-{\frac {{\sqrt {3}}-i}{2}})(X+{\frac {{\sqrt {3}}+i}{2}})(X+{\frac {{\sqrt {3}}-i}{2}})$。

如果给定了りょう系けい数すう域いき，那な么在不ふ考こう虑因式しき排列はいれつ顺序的てき情じょう况下，因いん式しき分解ぶんかい是ぜ唯一ゆいいつ的てき。如果（在ざい给定的てき系けい数すう域いき上じょう）一个多项式不能被表示为次数严格比它低的多项式的乘积，就称它为不可ふか约多项式。因いん式しき分解ぶんかい一般是指将多项式分解到不可再分的多项式乘积，也就是ぜ不可ふか约多项式的てき乘じょう积，否いや则称其为不完全ふかんぜん的てき因いん式しき分解ぶんかい。

对于一元多项式来说，所有しょゆう复系数多すうた项式都と可か以分解ぶんかい成なり若干じゃっかん个一次因式的乘积，这个结论等とう价于代数だいすう基本きほん定理ていり。所有しょゆう实系数多すうた项式都と可か以分解ぶんかい为次数すう不ふ超ちょう过二次的多项式的乘积。比ひ较复杂的是ぜ有理数ゆうりすう系けい数多あまた项式的てき因いん式しき分解ぶんかい。首くび先さき，给定一个有理系数多项式$P$，可か以将其乘以一个特定とくてい的てき有理数ゆうりすう$c$，将はた其变成なり一个整系数多项式，所以ゆえん有理ゆうり系けい数多あまた项式和かず整せい系けい数多あまた项式的てき因いん式しき分解ぶんかい是ぜ等とう价的。如果一个整系数多项式各项系数的最さい大公たいこう约数是これ$1$，就称其为本原もとはら多た项式。不ふ是ぜ本原もとはら多た项式的てき整せい系けい数多あまた项式$P$，假かり设其各かく项系数すう的てき最大さいだい公こう约数是ぜ$d$，那な么可以将$P$的てき因いん式しき分解ぶんかい问题转化为本原はら多た项式$P/d$的てき因いん式しき分解ぶんかい问题。所以ゆえん有理数ゆうりすう系けい数すう和かず整せい系けい数多あまた项式的てき因いん式しき分解ぶんかい都と等とう价于本原もとはら多た项式的てき因いん式しき分解ぶんかい问题。利用りよう本原もとはら多た项式可か以证明あきら：整せい系けい数多あまた项式如果能のう分解ぶんかい为有理系りけい数多すうた项式的てき乘じょう积，那な么也必然ひつぜん能のう分解ぶんかい成なり整せい系けい数多あまた项式的てき乘じょう积。艾あい森もり斯坦判ばん别法给出了りょう判定はんてい整せい系けい数多あまた项式不可ふか约的充分じゅうぶん条件じょうけん。另一个常用じょうよう的てき准じゅん则与多た项式的てき最高さいこう次じ项系数すう与あずか常数じょうすう项系数すう有ゆう关。如果某ぼう个多项式$P=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}$有ゆう某ぼう个有理数りすう根ね${\frac {p}{q}}$（既すんで约形式しき），那な么分子ぶんし$p$必然ひつぜん整除せいじょ常数じょうすう项系数すう$a_{0}$，而分母はは$q$也必然ひつぜん整除せいじょ最高さいこう次じ项系数すう$a_{n}$。

多項式たこうしき函數かんすう

多た项式函数かんすう是ぜ指ゆび给多项式中ちゅう的てき不定ふてい元もと赋值的てき映うつ射い。比ひ如说一元多项式函数的普遍形式为：

$f_{P}:\;\;\mathbb {A} \longrightarrow \mathbb {A}$

$x\;\;\mapsto a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}=P(x)$

其中的てき$\mathbb {A}$是ぜ一いち个$R-$代数だいすう，可か以是有理数ゆうりすう、实数或ある复数。多た项式函数かんすう是ぜ函数かんすう而不是ぜ多た项式，但ただし多た项式函数かんすう之の间也可か以进行ぎょう像ぞう多た项式一般いっぱん的てき加法かほう、乘法じょうほう运算，其结果はて仍旧是ぜ多た项式函数かんすう。所以ゆえん所有しょゆう的てき多た项式函数かんすう也构成なり一いち个环，而且这个环显然しか和かず多た项式环$R[X]$同どう构。

与あずか多元たげん多た项式对应的てき也有やゆう多元たげん多た项式函数かんすう。比ひ如$f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$就是一个与二元多项式对应的二元多项式函数。

所有しょゆう多た项式函数かんすう都と是ぜ光ひかり滑すべり函数かんすう（无限可か微ほろ连续函数かんすう），因いん此可以定义其导数、原はら函数かんすう等とう概念がいねん。另外，当とう每まい个变量りょう都と趋于无穷大だい（绝对值）的てき时候，多た项式函数かんすう的てき值（绝对值）也趋于无穷大。

如果把わ（一元いちげん）多た项式中ちゅう的てき所有しょゆう系けい数すう全ぜん都と约束為ため$0$到いた某ぼう个正整数せいすう$k\geq 2$之これ間あいだ的てき整数せいすう（不ふ包括ほうかつ$k$），再さい把わ$x=k$代入だいにゅう多た项式函数かんすう计算，這其實相じっそう當とう於寫出で一いち個こ$k$进制整数せいすう——按降幂排列はいれつ，每まい一いち项系数すう（没ぼつ有ゆう则补零れい）正せい是ぜ对应位置いち的てき数字すうじ。例れい如，$307$可か看み作づく$x=10$时的$3x^{2}+0x+7$。

多た项式方かた程ほど

多た项式方かた程ほど是ぜ指ゆび多た项式函数かんすう构成的てき方かた程ほど。给定多た项式$P=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}$，则对应的多た项式函数かんすう可か以构造づくり方かた程ほど：

$f_{P}(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}=0$。

例れい如：

$x^{3}+3x-4=0$

就是一个多项式方程。

如果某ぼう个$r\in \mathbb {A}$使つかい得とく多た项式方かた程ほど$f_{P}(r)=0$，那な么就称しょう$r$为多项式方かた程ほど的てき解かい，或ある多た项式函数かんすう的てき一いち个根ね或ある零れい点てん。多た项式函数かんすう的てき根ね与あずか多た项式有ゆう如下关系：如果某ぼう个$r\in R$是ぜ多た项式函数かんすう$f_{P}$的てき一いち个根，那な么一いち次じ多た项式$X-r$整除せいじょ多た项式$P$，也就是ぜ说存在そんざい多た项式$Q$，使つかい得とく：$P=(X-r)Q$；反はん之の亦また然しか。如果存在そんざい（一般来说大于$1$的まと）正せい整数せいすう$k$，使つかい得とく$P=(X-r)^{k}Q$，那な么称$r$是ぜ多た项式函数かんすう的てき一いち个$k$重根しこね。

多た项式的てき根ね是ぜ否ひ存在そんざい以及根ね的てき数すう目もく取と决于多た项式的てき系けい数すう域いき以及指定してい的てき根ね所在しょざい的てき域いき。代数だいすう基本きほん定理ていり说明，复系数多すうた项式在ざい复数域内いきない必然ひつぜん有ゆう至いたり少しょう一いち个根。这可以推出で，$n$次つぎ多た项式函数かんすう必定ひつじょう有ゆう$n$个根。这里说的$n$个根指ゆび包括ほうかつ了りょう重根しこね的てき情じょう况。另外可か以证明あきら，奇数きすう次じ实系数多すうた项式在ざい实数域内いきない至いたり少しょう有ゆう一いち个根。

字典じてん排列はいれつ法ほう

$ax_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dots x_{n}^{k_{n}},bx_{1}^{l_{1}}x_{2}^{l_{2}}\dots x_{n}^{l_{n}}$是ぜ两个不同ふどう的てき项

若わか存在そんざいi使つかい得とく$k_{1}=l_{1},\dots ,k_{i-1}=l_{i-1}$，但ただし$k_{i}>l_{i}$，则$ax_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dots x_{n}^{k_{n}}$在ざい$bx_{1}^{l_{1}}x_{2}^{l_{2}}\dots x_{n}^{l_{n}}$前まえ

例れい如$f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=x_{1}^{4}+3x_{1}^{2}x_{2}^{3}x_{3}-x_{1}^{2}x_{2}^{3}x_{4}^{2}+x_{3}^{2}x_{4}$，这种排列はいれつ法ほう称しょう为字典じてん排列はいれつ法ほう。

多項式たこうしき的てき分析ぶんせき特性とくせい

多た项式函数かんすう在ざい分析ぶんせき学がく中有ちゅうう重要じゅうよう的てき作用さよう。由よし于多项式函数かんすう有ゆう简洁明あかり确的形式けいしき，很容易ようい对其进行量りょう化か分析ぶんせき。比ひ如，多た项式函数かんすう

$f_{P}(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$。

它的导函数すう是ぜ：

$f_{P}'(x)=a_{1}+2a_{2}x+\cdots +na_{n}x^{n-1}=\sum _{k=1}^{n}ka_{k}x^{k-1}$。

它的原はら函数かんすう（族ぞく）是ぜ：

$\int f_{P}(x)\;\mathrm {d} x=C+a_{0}x+{\frac {1}{2}}a_{1}x^{2}+\cdots +{\frac {1}{n+1}}a_{n}x^{n+1}=C+\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}}a_{k}x^{k+1}$。

这个定てい义可以类比ひ到いた多た项式本身ほんみ，令れい多た项式中也ちゅうや定てい义导数すう的てき概念がいねん。多た项式$P=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}$的てき导数多た项式是ぜ：

$\mathrm {D} (P)=a_{1}+2a_{2}X+\cdots +na_{n}X^{n-1}=\sum _{k=1}^{n}ka_{k}X^{k-1}$。

它的积分多た项式则是：

$\mathrm {I} (P)=a_{0}X+{\frac {1}{2}}a_{1}X^{2}+\cdots +{\frac {1}{n+1}}a_{n}X^{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}}a_{k}X^{k+1}$。

一いち个$n$次つぎ多た项式（$n$大だい于等于$1$）的てき导数多た项式是ぜ一いち个$n-1$次つぎ多た项式。常つね数多すうた项式的てき导数多た项式是ぜ零れい多た项式。它的积分多た项式则是一いち个$n+1$次つぎ多た项式。$\mathrm {D}$和わ$\mathrm {I}$分ぶん别称为多项式的てき微分びぶん算さん子こ和わ积分算さん子こ。

任意にんい環たまき上じょう的てき多項式たこうしき

多項式たこうしき可か以推廣こう到いた係數けいすう在ざい任意にんい一いち個こ環たまき的てき情じょう形がた，請參閱條目め多項式たこうしき環たまき。