單位たんい元もと

提示ていじ：此条目め页的主ぬし题不是ぜ单位圆。

單位たんい元もと（unit element）也称恒等こうとう元もと（identity element）、中立ちゅうりつ元もと（neutral element）、恒つね元もと，是ぜ集合しゅうごう裏うら的てき一いち種しゅ特殊とくしゅ元素げんそ，與あずか該集合しゅうごう裏うら的てき二元にげん運算うんざん有ゆう關せき。單位たんい元和げんな其他元素げんそ結合けつごう時じ，並なみ不ふ會かい改變かいへん那な些元素げんそ。單位たんい元もと在ざい群ぐん和かず其他相關そうかん概念がいねん中ちゅう都と有ゆう使用しよう。

設しつらえ$(S,*)$為ため一帶いったい有ゆう一いち二に元もと運算うんざん$*$的てき集合しゅうごう$S$（稱たたえ為ため原はら群ぐん）。若わか$S$內有一いち元素げんそ$e$對たいS內所有しょゆう元素げんそa满足$e*a=a$，則のり$e$被ひ稱しょう為ため左ひだり單位たんい元もと；若わか满足$a*e=a$，则稱為ため右みぎ單位たんい元もと。而若$e$同時どうじ為ため左ひだり單位たんい元もと及右單位たんい元もと，則のり稱たたえ為ため雙そう邊あたり單位たんい元もと，又また簡稱為ため單位たんい元もと。

對應たいおう加法かほう的てき單位たんい元もと稱しょう為ため加法かほう單位たんい元もと（通常つうじょう被ひ標しるべ為ため0），而對應おう乘法じょうほう的てき單位たんい元もと則のり稱たたえ為ため乘法じょうほう單位たんい元もと（通常つうじょう被ひ標しるべ為ため1）。這一區分大多被用在有兩個二元運算的集合上，比ひ如環たまき。

例れい子こ

集合しゅうごう	運算うんざん	單位たんい元もと
實數じっすう	+（加法かほう）	0
實數じっすう	·（乘法じょうほう）	1
實數じっすう	$a^{b}$（乘の方かた）	1（只ただ為ため右みぎ單位たんい元もと）
複數ふくすう	+（加法かほう）	0
複數ふくすう	·（乘法じょうほう）	1
矩のり陣じん	+（加法かほう）	零れい矩のり陣じん
方陣ほうじん	·（乘法じょうほう）	單位たんい矩のり陣じん
所有しょゆう從したがえ集合しゅうごうM映うつ射い至いたり其自身じしん的てき函數かんすう	$\circ$（函數かんすう複ふく合あい）	單位たんい函數かんすう
所有しょゆう從したがえ集合しゅうごうM映うつ射い至いたり其自身じしん的てき函數かんすう	$*$（摺すり積せき）	$\delta$（狄拉克かつδでるた函數かんすう）
字じ串くし	串くし接せっ	空そら字じ元もと串くし
擴展的てき實數じっすう軸じく	最大さいだい值	$-\infty$
擴展的てき實數じっすう軸じく	最小さいしょう值	$\infty$
集合しゅうごうM的てき子こ集しゅう	$\cap$（交集）	M
集合しゅうごう	$\cup$（聯れん集しゅう）	$\{\}$（空そら集しゅう）
布ぬの爾なんじ邏輯	$\land$（邏輯與あずか）	⊤（真ま值）
布ぬの爾なんじ邏輯	$\lor$（邏輯或ある）	⊥（假かり值）
閉二に維流形がた	#（連れん通どおり和わ）	$S^{2}$
只ただ兩個りゃんこ元素げんそ$\{e,f\}$	* 定義ていぎ為ため $e*e=f*e=e$且 $f*f=e*f=f$	$e$和わ$f$都みやこ是ただし左ひだり單位たんい元もと，但ただし不ふ存在そんざい右みぎ單位たんい元和げんな雙そう邊べ單位たんい元もと

如最後ご一いち個こ例れい子こ所しょ示しめせ，有ゆう多た個こ左ひだり單位たんい元もと是ぜ可能かのう的てき，且事實じじつ上じょう，每まい一個元素都可以是左單位元。同樣どうよう地ち，右みぎ單位たんい元也もとなり一樣いちよう。但ただし若わか同時どうじ存在そんざい有ゆう右みぎ單位たんい元和げんな左ひだり單位たんい元もと，則のり它們會かい相しょう同どう，且仅存在そんざい一いち個こ雙そう邊べ單位たんい元もと。要よう證明しょうめい這個，設しつらえ$I$為ため左ひだり單位たんい元もと且$r$為ため右みぎ單位たんい元もと，則のり$I=I*r=r$。特別とくべつ的てき，不ふ存在そんざい兩個りゃんこ以上いじょう的てき單位たんい元もと。若わか有ゆう兩個りゃんこ單位たんい元もと$e$和わ$f$，則のり$e*f$必同時じ等とう於$e$和わ$f$。

一いち個こ代だい數也かずや可能かのう沒ぼつ有ゆう單位たんい元もと。最さい常つね见的例れい子こ為ため向むかい量りょう的てき內積和わ外積がいせき。前者ぜんしゃ缺乏けつぼう單位たんい元もと的てき原因げんいん在ざい於，相乘そうじょう的てき兩個りゃんこ元素げんそ都會とかい是ぜ向むこう量りょう，但ただし乘じょう積せき卻會是ぜ個こ純量じゅんりょう。而外積がいせき缺乏けつぼう單位たんい元もと的てき原因げんいん則そく在ざい於，任にん一非零外積的方向必和相乘的兩個向量相正せい交，因いん此不可能ふかのう得とく出で一個和原向量指向同方向的外積向量。

另見

• 逆ぎゃく元素げんそ
• 加法かほう逆ぎゃく元もと
• 幺半群ぐん
• 單作たんさく
• 擬なずらえ群ぐん