方かた程ほど

「方程式ほうていしき」重定しげさだ向むかい至いたる此。关于化學かがく中ちゅう的てき方程式ほうていしき，请见「化學かがく方程式ほうていしき」。关于活動かつどう團體だんたい，请见「方程式ほうていしき組織そしき」。

此條目め介かい紹的是ぜ含有がんゆう等號とうごう的てき方程式ほうていしき。关于不ふ含等號ごう的てき數學すうがく表ひょう達たち式しき，请见「表ひょう達たち式しき」。关于人じん們感興趣きょうしゅ的てき特定とくてい恆等こうとう式しき，请见「數學すうがく公式こうしき」。

数学すうがく中ちゅう，方程式ほうていしき（equation）或ある等式とうしき，是ぜ兩個りゃんこ表ひょう達たち式しき以等号ごう結合けつごう這樣的てき形式けいしき。

第だい一個用等式表示的方程，以現在げんざい的てき表示法ひょうじほう為ため$14x+15=71$

方程式ほうていしき有ゆう兩りょう種たね情じょう形がた，一種いっしゅ是ぜ恆等こうとう式しき（identity）跟數學すうがく公式こうしき（formula），未知數みちすう可か以是其定義ていぎ域いき內的任意にんい值，等號とうごう依然いぜん成立せいりつ；另一いち種しゅ是ぜ特定とくてい條件じょうけん方程式ほうていしき（conditional equation），用よう來らい求もとめ解かい未知數みちすう的てき值，通常つうじょう解かい為ため特定とくてい幾いく個こ數すう值，而不是ぜ未知數みちすう定義ていぎ域いき的てき所有しょゆう數すう值。

數學すうがく公式こうしき在ざい給きゅう定てい應變おうへん數すう時じ，自じ變數へんすう的てき解かい有ゆう特定とくてい數すう值，此時從したがえ數學すうがく公式こうしき變へん為ため特定とくてい條件じょうけん方程式ほうていしき。

例れい如以下か是ぜ特定とくてい條件じょうけん方程式ほうていしき：

$3x+3=2$

其中的てき$x$為ため未知數みちすう。$3x+3$以及$2$都みやこ是ただし數學すうがく表ひょう達たち式しき，並なみ且以等號とうごう$=$連接れんせつ。

如果把わ数学すうがく当とう作さく语言，那な么方程ほど可か以为人じん们提供ていきょう一些用来描述他们所感兴趣的对象的语法，它可以把未み知的ちてき元素げんそ包含ほうがん到いた陈述句く当とう中ちゅう（比ひ如用“相等そうとう”这个词来构成的てき陈述句く），因いん此如果はて人じん们对某ぼう些未知的ちてき元素げんそ感かん兴趣，但ただし是ぜ用よう数学すうがく语言去さ精せい确地表ひょう达那些确定てい未知みち元素げんそ的てき条件じょうけん时需要用ようよう到いた未知みち元素げんそ本身ほんみ，这时人じん们就常つね常用じょうよう方かた程ほど来らい描述那な些条件じょうけん，并且形成けいせい这样一いち个问题：能のう使し这些条件じょうけん满足的てき元素げんそ是ぜ什么？在ざい某ぼう个集合しゅうごう内ない，能のう使し方かた程ほど中ちゅう所しょ描述的てき条件じょうけん被ひ满足的てき元素げんそ称しょう为方程ほど在ざい这个集合しゅうごう中ちゅう的てき解かい（比ひ如代入だいにゅう某ぼう个數到いた含未知数みちすう的てき等式とうしき，使つかい等式とうしき中等ちゅうとう号ごう左右さゆう两边相等そうとう）。

求もとめ出方でかた程ほど的てき解かい或ある说明方かた程ほど无解这一过程叫做「方かた程ほど求もとめ解かい」。可か以用方かた程ほど的てき解かい的てき存在そんざい状じょう况为方かた程ほど分ぶん类，例れい如，恒等こうとう式しき即そく恒つね成立せいりつ的てき方かた程ほど，例れい如$(y+2)^{2}=y^{2}+4y+4$，在所ざいしょ指定してい的てき某ぼう个集合しゅうごう（比ひ如复数集しゅう）中ちゅう的てき全部ぜんぶ元素げんそ都と是ぜ它的解かい；矛盾むじゅん式しき即そく矛盾むじゅん的てき方かた程ほど，如$x+1=x$，在所ざいしょ指定してい的てき某ぼう个集合しゅうごう（比ひ如复数すう集しゅう）中ちゅう没ぼつ有ゆう元素げんそ满足这个等式とうしき。

等式とうしき中ちゅう的てき等號とうごう則のり是ぜ16世紀せいき英國えいこく科學かがく教育きょういく家か羅ら伯はく特とく·雷かみなり科か德とく發明はつめい。

「方ほう程ほど」一いち詞し的てき來歷らいれき

方かた程ほど一詞出現在中國早期的數學專著《九きゅう章しょう算術さんじゅつ》中ちゅう，其「卷まき第だい八はち」即そく名めい「方ほう程ほど」。卷まき第だい八はち（一いち）爲ため：

　　今こん有ゆう上じょう禾三さん秉，中ちゅう禾二に秉，下しも禾一秉，實じつ三さん十じゅう九きゅう斗と；上じょう禾二に秉，中ちゅう禾三さん秉，下しも禾一秉，實じつ三さん十じゅう四よん斗と；上じょう禾一秉，中ちゅう禾二に秉，下しも禾三さん秉，實じつ二に十じゅう六ろく斗と。問とい上じょう、中なか、下しも禾實一いち秉各幾何きか？

　　　　　　答こたえ曰： 　　　　　　上うえ禾一秉，九きゅう斗と、四よん分ふん斗と之の一いち， 　　　　　　中ちゅう禾一秉，四よん斗と、四よん分ふん斗と之の一いち， 　　　　　　下しも禾一秉，二に斗と、四よん分ふん斗と之の三さん。

　　　　方かた程ほど術じゅつ曰：置おけ上じょう禾三さん秉，中ちゅう禾二に秉，下しも禾一秉，實じつ三さん十じゅう九きゅう斗と，於右方かた。中なか、左ひだり禾列如右方かた。以右行ぎょう上じょう禾遍乘じょう中ちゅう行ぎょう而以直ちょく除じょ。又また乘の其次，亦また以直除じょ。然しか以中行ぎょう中ちゅう禾不盡ふじん者しゃ遍へん乘じょう左ひだり行ぎょう而以直ちょく除じょ。左ひだり方かた下か禾不盡ふじん者しゃ，上うえ為ため法ほう，下しも為ため實み。實じつ即そく下か禾之實み。求もとめ中ちゅう禾，以法乘じょう中ちゅう行ぎょう下か實み，而除下か禾之實み。余よ如中禾秉數すう而一，即そく中ちゅう禾之實み。求もとめ上じょう禾亦以法乘じょう右みぎ行ぎょう下か實み，而除下か禾、中ちゅう禾之實み。余よ如上じょじょう禾秉數すう而一，即そく上うえ禾之實み。實じつ皆みな如法にょほう，各かく得とく一いち斗と。

翻こぼし成なり白話はくわ即そく為ため：

現在げんざい這裡有ゆう上等じょうとう黍きび3捆、中等ちゅうとう黍きび2捆、下等かとう黍きび1捆，打出うちで的てき黍きび共有きょうゆう39斗と；有ゆう上等じょうとう黍きび2捆、中等ちゅうとう黍きび3捆、下等かとう黍きび1捆，打出うちで的てき黍きび共有きょうゆう34斗と；有ゆう上等じょうとう黍きび1捆、中等ちゅうとう黍きび2捆、下等かとう黍きび3捆，打出うちで的てき黍きび共有きょうゆう26斗と。問とい1捆上等とう黍きび、1捆中等とう黍きび、1捆下等とう黍きび各かく能のう打出うちいで多少たしょう斗と黍きび？

其「方ほう程ほど術じゅつ」用よう阿おもね拉ひしげ伯はく數字すうじ表示ひょうじ即そく為ため：

${\begin{array}{*{20}c}1&2&3\\2&3&2\\3&1&1\\{26}&{34}&{39}\\\end{array}}$

《九きゅう章しょう算術さんじゅつ》採用さいよう直ちょく除法じょほう即そく以一行首項係數乘另一行再對減消元來解方程。

若わか設しつらえ可か打出うちいで黍きび的てき斗と數すう分別ふんべつ為ため1捆上等とう黍きび$x\,$斗と、1捆中等とう黍きび$y\,$斗と、1捆下等とう黍きび$z\,$斗と，可か列れつ方かた程ほど組ぐみ如下：

$\left\{{\begin{array}{l}3x+2y+z=39,\\2x+3y+z=34,\\x+2y+3z=26.\\\end{array}}\right.$　解かい得う　$\left\{{\begin{array}{l}x=9{\frac {1}{4}},\\y=4{\frac {1}{4}},\\z=2{\frac {3}{4}}.\\\end{array}}\right.$

由よし此可知かち，此時的てき「方ほう程ほど」指ゆび的てき是ぜ包含ほうがん多た個こ未知みち量的りょうてき聯立れんりつ一いち次じ方かた程ほど組ぐみ，即そく現在げんざい的てき線せん性せい方かた程ほど組ぐみ(直線ちょくせん方程式ほうていしき)。

到いた了りょう魏ぎ晉すすむ時期じき，大だい數學すうがく家か劉りゅう徽注《九きゅう章しょう算術さんじゅつ》時じ，給きゅう這種「方ほう程ほど」下した的てき定義ていぎ是ぜ：

程ほど，課程かてい也。群ぐん物ぶつ總そう雜ざつ，各かく列れつ有數ゆうすう，總そう言げん其實，令れい每まい行為こうい率りつ。二に物もの者しゃ再さい程ほど，三さん物もの者しゃ三さん程ほど，皆みな如物數すう程ほど之これ。並列へいれつ為ため行ぎょう，故こ謂いい之の方ほう程ほど。

這裡所謂いわゆる的てき「課程かてい」指ゆび的てき是ぜ按不同どう物品ぶっぴん的てき數量すうりょう關係かんけい列れつ出で的てき式子しょくし。「實み」就是式しき中ちゅう的てき常數じょうすう項こう。「令れい每まい行為こうい率りつ」，就是由よし一いち個こ條件じょうけん列れつ一いち行ぎょう式子しょくし，橫列おうれつ代表だいひょう一いち個こ未知みち量りょう。「如物數すう程ほど之これ」，就是有ゆう幾いく個こ未知數みちすう就必須列出で幾いく個こ等式とうしき。「方かた」的てき本義ほんぎ是ぜ並なみ，將はた兩りょう條じょう船せん並なみ起おこり來らい，船頭せんどう拴在一いち起おこり，謂いい之これ方かた。故こ而列出で的てき一いち系列けいれつ式子しょくし稱しょう「方ほう程ほど」。

已やめ知ち數すう及未知數みちすう

方かた程ほど常用じょうよう來らい表示ひょうじ一些已知的量和未知的量之間的關係，前者ぜんしゃ稱しょう為ため已やめ知ち數すう，後者こうしゃ稱しょう為ため未知數みちすう。一般表示未知數的符號會用英文字母最後的幾個，如$x,y,z,w,\ldots$等ひとし，而已知ち數すう若わか以符號ごう表示ひょうじ時じ，會かい用よう英文えいぶん字母じぼ前面ぜんめん的てき幾いく個こ，如$a,b,c,d,\ldots$等ひとし。將はた未知數みちすう用よう已やめ知ち數すう來らい表示ひょうじ的てき過程かてい稱たたえ為ため解方ときかた程ほど。若わか方かた程ほど只ただ有ゆう一いち個こ未知數みちすう，使つかい方かた程ほど成立せいりつ的てき未知數みちすう數すう值稱為ため方かた程ほど的てき根ね或ある是ぜ解かい。方ほう程ほど组是由よし幾いく個こ方かた程ほど所しょ組成そせい，其中也有やゆう數個すうこ未知數みちすう，此時方かた程ほど的てき解かい是ぜ一いち組くみ未知數みちすう的てき值，使つかい得とく所有しょゆう方かた程ほど均ひとし成立せいりつ。

若わか方かた程ほど的てき解かい可か以由有限ゆうげん次じ常見つねみ運算うんざん的てき組合くみあい，這種解かい稱たたえ為ため解析かいせき解かい，較複雜ふくざつ的てき方程式ほうていしき不ふ一定可以找出解析解，或ある解析かいせき解かい根本こんぽん不ふ存在そんざい，但ただし仍可以利用りよう數かず值分析ぶんせき的てき方式ほうしき解方ときかた程ほど，此時得え到いた的てき解かい稱しょう為ため數すう值解。

用もちい天平てんぺい來らい類比るいひ方かた程ほど

用よう圖像ずぞう來らい類比るいひ方かた程ほど，其中x, y, z為ため實數じっすう，用よう砝碼來らい類比るいひ

天平てんぺい或ある翹翹板ばん可か以用來らい類比るいひ方かた程ほど。

天平てんぴょう的てき兩邊りょうへん對應たいおう方かた程ほど等號とうごう的てき兩側りょうがわ，可か以放不同ふどう的てき表示ひょうじ式しき數すう值。若わか天平てんぴょう兩側りょうがわ平衡へいこう，表示ひょうじ等號とうごう兩側りょうがわ的てき數すう值相等とう。若わか天平てんぴょう兩側りょうがわ不ふ平衡へいこう，此情形がた可か以用不等式ふとうしき表示ひょうじ。

在ざい圖示ずし中ちゅう，$x$，$y$和わ$z$都と表示ひょうじ不同ふどう的てき量りょう（例れい如實數じっすう），方ぽう程ほど兩側りょうがわ同どう加か一數對應在天平兩側加等重重物，同どう減げん一數對應在天平兩側移去等重重物，只ただ要よう等式とうしき成立せいりつ，就表示ひょうじ二に側がわ的てき數すう值相等とう。

方ほう程ほど組ぐみ

方ほう程ほど組ぐみ也稱為ため聯合れんごう方程式ほうていしき，是ぜ指ゆび兩個りゃんこ或ある兩個りゃんこ以上いじょう的てき方程式ほうていしき，一般也會有多個未知數。方かた程ほど組ぐみ的てき解かい是ぜ指ゆび一組未知數的值可以使這幾個方程式同時成立。例れい如以下か的てき系統けいとう

${\begin{cases}3x+5y=2\\5x+8y=3\end{cases}}$

有ゆう唯ただ一いち解かい${\begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases}}$。

方ほう程ほど的てき種類しゅるい

方かた程ほど可か以依其中用よう到いた的てき運算うんざん及未知數みちすう的てき條件じょうけん加か以分類ぶんるい，以下いか是ぜ一いち些重要じゅうよう的てき種類しゅるい：

• 代數だいすう方かた程ほど是ぜ指ゆび只ただ由よし已やめ知ち數すう及未知數みちすう的てき代數だいすう運算うんざん組合くみあい的てき方かた程ほど，包括ほうかつ整式せいしき方かた程ほど、分ぶん式しき方かた程ほど与根よね式しき方かた程ほど。
  • 整式せいしき方かた程ほど也稱作さく多項式たこうしき方かた程ほど。整式せいしき方かた程ほど還かえ可か以依多項式たこうしき的てき次數じすう，可か細分さいぶん為ため一いち次じ方かた程ほど、二に次じ方かた程ほど等ひとし。
  • 分ぶん式しき方かた程ほど是ぜ指方さしかた程ほど分母ぶんぼ中ちゅう至いたり少しょう含有がんゆう一个未知数的方程。

整式せいしき方かた程ほど与あずか分ぶん式しき方かた程ほど统称“有理ゆうり方かた程ほど”。

• 根ね式しき方かた程ほど也称作さく“无理方かた程ほど”，是ぜ指方さしかた程ほど被ひ开方式しき中ちゅう至いたり少しょう含有がんゆう一いち个未知数みちすう，而根指数しすう不ふ含未知数みちすう的てき方かた程ほど。

有理ゆうり方かた程ほど与あずか无理方かた程ほど统称“代数だいすう方かた程ほど”。

• 超越ちょうえつ方かた程ほど是ぜ指ゆび包含ほうがん超越ちょうえつ函數かんすう的まと方かた程ほど，也叫做“非ひ代数だいすう方かた程ほど”。
• 函数かんすう方かた程ほど是ぜ指ゆび其中包含ほうがん未知みち函數かんすう的てき方かた程ほど。
  • 微分びぶん方かた程ほど是ぜ指ゆび其中包含ほうがん未知みち函數かんすう導しるべ數すう（或ある微分びぶん）的てき函数かんすう方かた程ほど。
  • 積分つみわけ方かた程ほど是ぜ指ゆび其中包含ほうがん未知みち函數かんすう積分せきぶん的てき函数かんすう方かた程ほど。
  • 积分微分びぶん方かた程ほど是ぜ指ゆび其中同時どうじ包含ほうがん未知みち函數かんすう積分せきぶん和わ導しるべ數すう（或ある微分びぶん）的てき函数かんすう方かた程ほど。
• 不定ふてい方かた程ほど是ぜ其中未知數みちすう不ふ只ただ一いち組くみ的てき方かた程ほど。
  • 丟番圖ず方かた程ほど是ぜ其中未知數みちすう不ふ只ただ一いち組くみ，但ただし只ただ允許いんきょ是ぜ整數せいすう的てき方かた程ほど。
• 差分さぶん方かた程ほど是ぜ其中未知數みちすう為一ためいち數列すうれつ的まと方かた程ほど。

整式せいしき方かた程ほど

整式せいしき方かた程ほど為ため等式とうしき兩邊りょうへん均ひとし為ため多項式たこうしき的まと方かた程ほど，若わか以$p$表示ひょうじ多項式たこうしき，則のり以下いか的てき方かた程ほど即そく為ため整式せいしき方かた程ほど：

$p(x,y,z,...)=0$

多項式たこうしき$p$的てき零れい點てん即そく為ため代數だいすう方かた程ほど的てき解かい，整式せいしき方かた程ほど還かえ可か以依多項式たこうしき的てき次數じすう細分さいぶん為ため一いち次じ方かた程ほど、二に次じ方かた程ほど等ひとし。 四よん次じ方かた程ほど及次數すう較低的てき一いち元げん整式せいしき方かた程ほど，其所有しょゆう根ね都と可か以用多項式たこうしき係數けいすう的てき有限ゆうげん次じ的てき四則運算及开方來表示。為ため了りょう解決かいけつ高次こうじ方かた程ほど的てき根ね能否のうひ用よう上述じょうじゅつ方式ほうしき表示ひょうじ，引進伽羅きゃら瓦かわら理論りろん，也證明しょうめい五ご次じ方かた程ほど及更高次こうじ的てき方かた程ほど無法むほう用よう公式こうしき求もとめ解かい，這也是ぜ19世紀せいき代數だいすう學がく的てき重大じゅうだい發現はつげん。

數學すうがく史し上うえ許多きょた重大じゅうだい的てき發現はつげん都和つわ一元整式方程有關，例れい如邊長ちょう為ため1的てき正方せいほう數すう，其對角線たいかくせん為ため無理むり數すう${\sqrt {2}}$，也就是ぜ二に次じ方かた程ほど$x^{2}=2$的てき解かい。而在三さん次じ方かた程ほど$x^{3}+px+q=0$的てき一個解可用以下公式求得

$x={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {\left({q \over 2}\right)^{2}+\left({p \over 3}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {\left({q \over 2}\right)^{2}+\left({p \over 3}\right)^{3}}}}}$

三次方程的計算過程中有時需要為負數ふすう開平かいへい方かた，因いん此需導入どうにゅう复数的てき概念がいねん及相關そうかん計算けいさん。

函數かんすう方かた程ほど

函數かんすう方かた程ほど是ぜ指ゆび未知みち量りょう為一ためいち函數かんすう的まと方かた程ほど。常見つねみ的てき是ぜ方かた程ほど中ちゅう出現しゅつげん函數かんすう導しるべ數すう的てき微分びぶん方かた程ほど，微分びぶん方かた程ほど在ざい物理ぶつり學がく中有ちゅうう許多きょた的てき應用おうよう，微分びぶん方かた程ほど又また可か以分為ため常微分じょうびぶん方かた程ほど及偏へん微分びぶん方かた程ほど。

離散りさん系統けいとう下か的てき差分さぶん方かた程ほど可か以對應おう連續れんぞく系統けいとう的てき微分びぶん方かた程ほど。在ざい數かず值分析ぶんせき中也ちゅうや會かい用よう差分さぶん方かた程ほど來らい近似きんじ微分びぶん方かた程ほど的てき解かい。

函數かんすう方かた程ほど解かい的てき種類しゅるい

微分びぶん方かた程ほど及差分ぶん方かた程ほど的てき解かい，可か以分為ため一般いっぱん解かい（general solution）及奇解かい（singular solution）二に種しゅ：

一般いっぱん解かい：微分びぶん方かた程ほど或ある差分さぶん方かた程ほど的てき一般いっぱん解かい，是ぜ指ゆび解かい為ため一いち組くみ函數かんすう，而這個こ函數かんすう之の間あいだ的てき差異さい只ただ在ざい於稱為ため積分せきぶん常數じょうすう的てき係數けいすう不同ふどう。一いち個こn階かい的てき常微分じょうびぶん方程式ほうていしき，其一般いっぱん解かい中ちゅう會かい有ゆうn個こ積分せきぶん常數じょうすう，積分せきぶん常數じょうすう需依微分びぶん方かた程ほど的てき初はつ始はじめ條件じょうけん或ある邊あたり界かい條件じょうけん來らい決定けってい。因よし此一般解是指函數中包括未定的積分常數的解。若わか將しょう一般解的積分常數用特定數值代入，即そく可か得え到いた特殊とくしゅ解かい（particular solution）。因よし此一般解也可說是所有特殊解的總和。

奇異きい解かい：奇異きい解かい是ぜ指ゆび也可滿足まんぞく微分びぶん方かた程ほど或ある差分さぶん方かた程ほど，但ただし其解和わ一般解的通式不同的，稱しょう為ため奇き解かい。

例れい如以下か的てき克かつ萊羅方かた程ほど

$y=x\cdot {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}-\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}$

其一般いっぱん解かい為ため

$y=Cx-C^{2}$

而其奇き解かい為ため

$y={\frac {x^{2}}{4}}$

不定ふてい方かた程ほど和わ丟番圖ず方かた程ほど

不定ふてい方かた程ほど是ぜ不ふ止とめ有ゆう一個解的方程式或方程組，例れい如$2x=y$有無うむ限げん多た組ぐみ解かい，就是一種簡單的不定方程。

若わか不定ふてい方かた程ほど中有ちゅうう多た個こ未知數みちすう，有ゆう時じ其解可か以用參まいり數すう方ぽう程ほど來らい表示ひょうじ。例れい如上じょじょう式しき的てき解かい可か以表示ひょうじ為ため以下いか的てき 參まいり數すう方ぽう程ほど：

$x=t,y=2t\quad \mathrm {for} -\infty <t<\infty .\,$

丟番圖ず方かた程ほど屬ぞく於不定ふてい方かた程ほど，是ぜ變數へんすう僅容許もと是ぜ整數せいすう的てき整數せいすう係數けいすう多項式たこうしき等式とうしき；即そく形式けいしき如$a_{1}x_{1}^{b_{1}}+a_{2}x_{2}^{b_{2}}+......+a_{n}x_{n}^{b_{n}}=c$ 的てき等式とうしき，並なみ且其中ちゅう所有しょゆう的てき$a_{j}$、$b_{j}$和わ$c$均ひとし是ぜ整數せいすう，若わか其中能のう找到一いち組くみ整數せいすう解かい$m_{1},m_{2}...m_{n}$者もの則そく稱しょう之の有ゆう整數せいすう解かい。

丟番圖ず問題もんだい一般可以有數條等式，其數目め比ひ未知數みちすう的てき數すう目もく少しょう；丟番圖ず問題もんだい要求ようきゅう找出對たい所有しょゆう等式とうしき都と成立せいりつ的てき整數せいすう組合くみあい。用よう另一種語言來說，丟番圖ず問題もんだい定義ていぎ代だい數すう曲きょく綫或者しゃ代數だいすう曲面きょくめん，或ある更さら爲ため一般いっぱん的てき幾何きか形がた，要求ようきゅう找出其中的てき柵しがらみ格かく點てん。對たい丟番圖ず問題もんだい的てき數學すうがく研究けんきゅう稱たたえ為ため丟番圖ず分析ぶんせき。綫性丟番圖ず方かた程ほど爲ため綫性整數せいすう係數けいすう多項式たこうしき等式とうしき，即そく此多項式たこうしき爲ため次數じすう爲ため0或ある1的てき單項式たんこうしき的てき和わ。

丟番圖ず方かた程ほど的てき名字みょうじ來らい源げん於3世紀せいき希まれ臘數學すうがく家か亞あ歷れき山大やまだい城じょう的てき丟番圖ず，他た曾對這些方かた程ほど進行しんこう研究けんきゅう，並なみ且是第だい一個將符號引入代數的數學家。

關せき於丟番ばん圖ず方かた程ほど的てき理論りろん的てき形成けいせい和わ發展はってん是ぜ二に十世紀數學一個很重要的發展。丟番圖ず方かた程ほど的てき例れい子こ有ゆう貝かい祖そ等式とうしき、勾股定理ていり的てき整數せいすう解かい、四よん平方和へいほうわ定理ていり和わ費ひ馬ば最後さいご定理ていり等ひとし。

性質せいしつ

對たい一方いっぽう程ほど進行しんこう以下いか的てき處理しょり，處理しょり後ご的てき方かた程ほど和わ原方はらかた程ほど會かい有ゆう相しょう同どう的てき解かい：

1. 在ざい等式とうしき二に邊へん加か任意にんい的てき實數じっすう。
2. 在ざい等式とうしき二に邊へん減げん任意にんい的てき實數じっすう。
3. 在ざい等式とうしき二に邊へん乘の任意にんい不為ふため零れい的てき實數じっすう。
4. 在ざい等式とうしき二に邊へん除じょ任意にんい不為ふため零れい的てき實數じっすう。
5. 可か以將等式とうしき二に邊へん套用函數かんすう，等式とうしき二邊需使用相同的函數，而且需確認かくにん套用函數かんすう後ご不ふ會かい造成ぞうせい方かた程ほど增ぞう根ね或ある減げん根ね的てき情じょう形がた。例れい如方程ほど$yx=x$有ゆう二に個こ解かい：$y=1$（$x$為ため任意にんい值）及$x=0$（$y$為ため任意にんい值）。等式とうしき二に邊へん平方へいほう，方ぽう程ほど變成へんせい$(xy)^{2}=x^{2}$，新しん的まと方かた程ほど除じょ了りょう原ばら來らい的てき解かい外がい，還かえ多た了りょう一いち個こ解かい$y=-1$（$x$為ため任意にんい值）。

上述じょうじゅつ的てき性質せいしつ1至いたり4，表示ひょうじ在ざい抽象ちゅうしょう代數だいすう中ちゅう，方ぽう程ほど是これ體からだ的てき一いち種しゅ同どう餘よ關係かんけい。

最さい常見つねみ可か進行しんこう上述じょうじゅつ運算うんざん的てき數すう體たい是ぜ實數じっすう，不ふ過か若わか方程式ほうていしき的てき數すう體たい是ぜ自然しぜん數すう，則のり不能ふのう進行しんこう減法げんぽう及除法的ほうてき運算うんざん，因いん為ため會かい產さん生せい負數ふすう或ある非ひ整數せいすう等とう不ふ是ぜ自然しぜん數すう的てき數すう。若わか方程式ほうていしき的てき數すう體たい是ぜ整數せいすう，則のり不能ふのう進行しんこう除法じょほう的てき運算うんざん，但ただし可か以進行しんこう減げん法的ほうてき運算うんざん。

若わか一いち不ふ是ぜ单射函數かんすう的てき函數かんすう套用在ざい等式とうしき二に邊へん，原方はらかた程ほど的てき解かい也是新しん方かた程ほど的てき解かい，但ただし新しん方かた程ほど的てき解かい會かい比ひ原方はらかた程ほど多た（即そく增ぞう根ね），新しん方かた程ほど的てき用よう處しょ較少，上述じょうじゅつ性質せいしつ1、2和わ4是ぜ单射函數かんすう，性質せいしつ3在ざい不ふ乘じょう以0時じ也符合ふごう单射函數かんすう的てき條件じょうけん，一些廣義的乘積（如內積）就不是ぜ单射函數かんすう。

上述じょうじゅつ性質せいしつ可か以用在ざい代数だいすう方かた程ほど的てき求もとめ解かい。

参まいり閲

• 表ひょう達たち式しき
• 方かた程ほど组
• 微分びぶん方かた程ほど
• 函数かんすう方かた程ほど
• 參まいり數すう方ぽう程ほど
• 方かた程ほど理り论
• 公式こうしき編輯へんしゅう器き
• 不等式ふとうしき

外部がいぶ連結れんけつ

• Winplot：通用つうよう的てき繪圖えず器き，可か以繪製せい二維及三維方程的圖及動畫（英文えいぶん）
• Mathematical equation plotter （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）：繪え製せい數學すうがく方かた程ほど的てき二に維圖形がた，計算けいさん積分せきぶん，並なみ在ざい線上せんじょう計算けいさん方かた程ほど的てき解かい（英文えいぶん）
• Equation plotter （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）：一個可以製作二個未知數（x和わy）的てき方かた程ほど或ある不等式ふとうしき解かい的てきpdf檔或postscript圖ず，而且可か以下いか載の（英文えいぶん）
• EqWorld （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）：包括ほうかつ許多きょた數學すうがく方かた程ほど解かい的てき資し訊（英文えいぶん）
• EquationSolver （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）：求もとめ解方ときかた程ほど及線性せい方かた程ほど組ぐみ的てき網もう頁ぺーじ（英文えいぶん）