积分

「曲きょく线下面めん积」重定しげさだ向むかい至いたる此。关于血ち浆中药物浓度随ずい时间的てき定てい积分，请见「曲きょく线下面めん积 (药物代だい谢动力学りきがく)」。

提示ていじ：此条目め页的主ぬし题不是ぜ得分とくぶん。

积分（英語えいご：Integral）是これ微ほろ积分学まなべ与あずか数学すうがく分析ぶんせき裡うら的てき一いち个核心こころ概念がいねん。通常つうじょう分ぶん为定てい积分和わ不定ふてい积分两种。直ちょく观地说，对于一いち个给定じょう的てき正ただし实值函数かんすう$f(x)$，$f(x)$在ざい一いち个实数すう区く间$[a,b]$上うえ的てき定てい积分

$$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$$

可か以在数かず值上うえ理解りかい为在$\textstyle Oxy$坐すわ标平面めん上じょう，由ゆかり曲きょく线$(x,f(x))$（$x\in [a,b]$），直ちょく线$x=a$，$x=b$以及$x$轴围成なり的てき曲きょく边梯形がた的てき面めん积值。

函数かんすう $f(x)$ 的てき定てい积分是ぜ函数かんすう与あずかx轴围成なり的てき曲きょく边梯形がた的てき有向ゆうこう面めん积：在ざいx轴上方かた（蓝色）的てき面めん积为正ただし，下方かほう（黄色おうしょく）的てき面めん积为负。

$f(x)$的てき不定ふてい积分（或ある原げん函数かんすう）是ぜ指ゆび任にん何なん满足导数是ぜ函数かんすう$f(x)$的てき函数かんすう$F(x)$。一いち个函数すう$f(x)$的てき不定ふてい积分不ふ是ぜ唯一ゆいいつ的てき：只ただ要よう$F(x)$是これ$f(x)$的てき不定ふてい积分，那な么与之の相差おうさつ一いち个常数すう的てき函数かんすう $F(x)+C$也是$f$的てき不定ふてい积分。

微ほろ积分基本きほん定理ていり是ぜ微ほろ积分学がく中ちゅう的てき一いち条じょう重要じゅうよう定理ていり，由ゆかり艾もぐさ萨克·牛うし顿和わ戈ほこ特とく弗どる里さと德とく·威い廉かど·莱布尼あま茨いばら在ざい十じゅう七世纪分别独立发现。微ほろ积分基本きほん定理ていり将はた积分与ぶんよ微分びぶん建立こんりゅう联系，通つう过找出で一个函数的原函数，即そく可か方便ほうべん地ち计算它在一个区间上的积分。积分和わ导数已やめ成なり为高等こうとう数学すうがく中ちゅう最さい基本きほん的てき工具こうぐ，并在自然しぜん科学かがく和わ工程こうてい学がく中ちゅう得え到いた广泛运用。

积分的てき一个严格的数学定义由波なみ恩おん哈德·黎はじむ曼给出，因いん此习惯上我わが们常见的积分也称为“黎はじむ曼积分ぶん”。黎はじむ曼的定てい义运用よう了りょう极限的てき概念がいねん，把わ曲きょく边梯形がた设想为一系列矩形组合的极限。从十じゅう九きゅう世せい纪起，更さら高だか级的积分定てい义逐渐出现，有ゆう了りょう对各种积分ぶん区く间上うえ的てき各かく种类型がた的てき函数かんすう的てき积分。对微分びぶん形式けいしき的てき积分是ぜ微分びぶん几何中なか的てき基本きほん概念がいねん。

对积分ぶん概念的がいねんてき推广来き自じ于物理ぶつり学がく的てき需要じゅよう，并体现在许多重要じゅうよう的てき物理ぶつり定律ていりつ中ちゅう，尤ゆう其是电动力学りきがく。现代的てき积分概念がいねん基もと于测度论，主要しゅよう是ぜ由ゆかり昂のぼる利り·勒貝格かく建立こんりゅう的てき勒贝格かく积分。

简介

函数かんすう$f$在ざい区く间[0,1]上じょう积分的てき近似きんじ ■ 极大值（5部分ぶぶん）和わ■ 极小值（12部分ぶぶん）

积分发展的てき动力源げん自じ实际应用中ちゅう的てき需求。实际操作そうさ中ちゅう，有ゆう时候可か以用粗略そりゃく的てき方式ほうしき进行估算一いち些未知みち量りょう，但ただし随ずい着ぎ科技かぎ的てき发展，很多时候需要じゅよう知道ともみち精せい确的数すう值。要求ようきゅう简单几何形体けいたい的てき面めん积或体たい积，可か以套用よう已やめ知的ちてき公式こうしき。但ただし如果游泳ゆうえい池いけ是ただし卵たまご形がた、抛ほう物もの型がた或ある更さら加か不ふ规则的てき形状けいじょう，就需要用ようよう积分来らい求もとめ出で容よう积。物理ぶつり学がく中ちゅう，常常つねづね需要じゅよう知道ともみち一いち个物理ぶつり量りょう（比ひ如位い移うつり）对另一いち个物理ぶつり量りょう（比ひ如力ちから）的てき累るい积效果こうか，这时也需要用ようよう到いた积分。

什麼いんも是ぜ積分せきぶん（動畫どうが

我わが们以下面かめん这个问题作さく为介绍积分ぶん概念的がいねんてき开始：

考こう虑平方根へいほうこん函数かんすう$f:\,x\mapsto {\sqrt {x}}$，其中$x\in [0,\,1]$。在ざい区く间[0,1]上じょう，函数かんすう$f$“下方かほう”的てき面めん积是多少たしょう？

问题中ちゅう的てき“下方かほう”面めん积，是ぜ指ゆび函数かんすう$y=f(x)$的てき图象与あずかx轴之间的部分ぶぶん的てき面めん积$S$（见右图）。我わが们把这个面めん积称为函数すう$f$在ざい区く间[0,1]上じょう的てき积分，写うつし作さく：

$S=\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,\mathrm {d} x\,\!.$

其中的てき$\mathrm {d} x$称しょう为积分变量，表示ひょうじ要求ようきゅう面めん积的范围是ぜ用よう坐すわ标轴横よこ轴的刻こく度ど计算；$\int _{0}^{1}$则表示ひょうじ从0开始算さん起おこり，到いた1为止，称しょう为积分范围或ある积分域いき，其中0称しょう为积分下界げかい，1称しょう为积分上うえ界かい，$\int$叫さけべ做积分号ごう，是ぜ从拉长的字母じぼS演えんじ变过来らい的てき。函数かんすう${\sqrt {x}}$写うつし在中ざいちゅう间，称しょう为被ひ积函数すう。

改あらため进的方法ほうほう是ぜ用よう更さら多た的てき小方おがた框かまち来らい将はた函数かんすう图象“覆くつがえ盖”，如右图中的てき做法，就是将はた坐すわ标轴横よこ轴[0,1]等分とうぶん成なり5个部分ぶん：[0,0.2)、[0.2,0.4)、[0.4,0.6)、[0.6,0.8)、[0.8,1]，然しか后きさき每ごと一部分上放一个黄色的长方形（见右图■）。这5个长方形ほうけい的てき高度こうど分ぶん别是函数かんすう在ざい每まい个部分ぶぶん的てき极大值（也就是ぜ最さい右みぎ侧的值）：${\sqrt {0.2}}$、${\sqrt {0.4}}$、${\sqrt {0.6}}$、${\sqrt {0.8}}$、$1$。这样函数かんすう下方かほう的てき部分ぶぶん就被5个黄色しょく长方形がた覆くつがえ盖了，所以ゆえん面めん积$S$小しょう于5个黄色しょく长方形がた面めん积之和わ：

${\sqrt {0.2}}\left(0.2-0\right)+{\sqrt {0.4}}\left(0.4-0.2\right)+{\sqrt {0.6}}\left(0.6-0.4\right)+{\sqrt {0.8}}\left(0.8-0.6\right)+{\sqrt {1}}\left(1-0.8\right)\approx 0.7497.\,\!$

求もとめ出で了りょう$S$的てき上限じょうげん之の后きさき，用よう类似的てき方法ほうほう可か以求$S$的てき下限かげん。同どう样是将はた坐すわ标轴等分とうぶん成なり若干じゃっかん部分ぶぶん，然しか后きさき在ざい每まい个部分ぶぶん放ひ上うわ长方形がた，不ふ过这时候长方形がた的てき高度こうど需要じゅよう是ぜ函数かんすう在ざい这个部分ぶぶん的てき最小さいしょう值，也就是ぜ最さい左ひだり侧的值。比ひ如，如果将はた横よこ轴等分とうぶん成なり12个部分ぶぶん，然しか后きさき按照以上いじょう的てき方法ほうほう放ひ上うわ绿色长方形がた（如右图■），那な么从图中可か以看出で，$S$必定ひつじょう大だい于绿色しょく长方形がた面めん积之和わ：

${\sqrt {\frac {0}{12}}}\left({\frac {1}{12}}-0\right)+{\sqrt {\frac {1}{12}}}\left({\frac {2}{12}}-{\frac {1}{12}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {11}{12}}}\left(1-{\frac {11}{12}}\right)\approx 0.6203.\,\!$

于是，面めん积$S$的てき取と值介于0.6203和わ0.7497之これ间。要よう取得しゅとく更さら加か精せい确的估计，可か以将横よこ轴细分ぶん成なり更さら多た的てき部分ぶぶん，并按照あきら同どう样的方法ほうほう放置ほうち长方形がた，计算长方形がた的てき面めん积之和わ。随ずい着ぎ长方形がた越来ごえく越えつ多た，每まい个长方形ほうけい越来ごえく越えつ“细”，计算出さんしゅつ的てき$S$的てき范围会かい越来ごえく越えつ窄，最さい后きさき得とく出で$S$的てき精せい确值。

以上いじょう的てき方法ほうほう可能かのう出で现的“漏も洞ほら”，是ぜ所しょ谓的“取と值范围”不ふ一定いってい会かい越来ごえく越えつ小しょう，最さい后きさき聚集到いた同どう一いち个值上じょう。虽然直ちょく观上来らい说，由ゆかり于函数すう下方かほう的てき图形面めん积是确定的てき，只ただ要よう不断ふだん地ち用よう相似そうじ的てき形状けいじょう“逼近”，最さい后きさき总会趋向函数かんすう下方かほう图形的てき真ま实面积。然しか而，对于某ぼう些“病やまい态”的てき函数かんすう，以上いじょう的てき方法ほうほう是ぜ无法得え到いた确定的てき数すう值的。十じゅう九きゅう世せい纪的数学すうがく家か波なみ恩おん哈德·黎はじむ曼证明了りょう，对于满足某ぼう些条件じょうけん的てき良りょう态函数すう，以上いじょう的てき方法ほうほう一定能求出函数下方的面积。现代的てき数学すうがく家か将はた这种方法ほうほう求もとめ出で的てき面めん积称为黎はじむ曼积分ぶん，并给出で了りょう严格的てき定てい义（见#严格定てい义一いち节）。对于那な些无法用ほうよう黎はじむ曼的方法ほうほう定てい义“函数かんすう下方かほう图形面めん积”的てき函数かんすう，黎はじむ曼之后きさき的てき数学すうがく家か发展出で了りょう一些更宽泛的定义，让这些函数すう也能定てい义积分ぶん。

术语和わ标记

如果一个函数的积分存在，并且有限ゆうげん，就说这个函数かんすう是ぜ可か积的。一般いっぱん来らい说，被ひ积函数すう不ふ一定いってい只ただ有ゆう一いち个变量，积分域いき也可以是不同ふどう维度的てき空そら间，甚至是ぜ没ぼつ有ゆう直ちょく观几何なん意い义的抽象ちゅうしょう空そら间。如同上面うわつら介かい绍的，对于只ただ有ゆう一いち个变量りょう $x$的てき实值函数かんすう $f$ ， $f$在ざい闭区间 $[a,b]$上うえ的てき积分记作

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.$

其中的てき$\mathrm {d} x$除じょ了りょう表示ひょうじ$x$是これ$f$ 中ちゅう要よう进行积分的てき那な个变量りょう（积分变量）之これ外がい，还可以表示ひょうじ不同ふどう的てき含义。在ざい黎はじむ曼积分ぶん中ちゅう，$\mathrm {d} x$表示ひょうじ分割ぶんかつ区く间的标记；在ざい勒贝格かく积分中なか，表示ひょうじ一いち个测度；或ある仅仅表示ひょうじ一いち个独立どくりつ的てき量りょう（微分びぶん形式けいしき）。一般的区间或者积分范围$J$，$J$上うえ的てき积分可か以记作さく$\int _{J}f(x)\,\mathrm {d} x.$

如果变量不ふ只ただ一いち个，比ひ如说在ざい二に重じゅう积分中なか，函数かんすう$f(x,y)\,\!$ 在ざい区域くいきD上うえ的てき积分记作

$\iint _{D}f(x,y)\,\!\,\mathrm {d} \sigma$ 或ある者もの $\iint _{D}f(x,y)\,\!\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y$

其中 $\mathrm {d} \sigma$ 与あずか区域くいきD对应，是ぜ相しょう应积分ぶん域いき中ちゅう的てき微分びぶん元もと。

严格定てい义

定てい义积分ぶん的てき方法ほうほう不ふ止とめ一いち种，各かく种定义之间也不ふ是ぜ完全かんぜん等とう价的。其中的てき差さ别主要よう是ぜ在ざい定てい义某些特殊こと的てき函数かんすう：在ざい某ぼう些积分ぶん的てき定てい义下这些函数かんすう不可ふか积分，但ただし在ざい另一些定义之下它们的积分存在。然しか而有时也会かい因いん为教学がく的てき原因げんいん造成ぞうせい定てい义上的てき差さ别。最さい常つね见的积分定てい义是黎はじむ曼积分ぶん和わ勒贝格かく积分。

黎はじむ曼积分ぶん

主しゅ条目じょうもく：黎はじむ曼积分ぶん

在ざい闭区间上取と定てい一いち个（不ふ规则的てき）取と样分割ぶんかつ后きさき获得的てき黎はじむ曼和

黎はじむ曼积分ぶん得とく名めい于德国こく数学すうがく家か波なみ恩おん哈德·黎はじむ曼，建立こんりゅう在ざい函数かんすう在ざい区く间取样分割ぶんかつ后きさき的てき黎はじむ曼和之の上うえ。设有闭区间$[a,b]$，那な么$[a,b]$的てき一いち个分割ぶんかつ是ぜ指ゆび在ざい此区间中取と一个有限的点列$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b$。每まい个闭区く间$[x_{i},x_{i+1}]$叫さけべ做一个子区く间。定てい义$\lambda$ 为这些子区く间长度ど的てき最大さいだい值：$\lambda =\max(x_{i+1}-x_{i})$，其中$0\leq i\leq n-1$。而闭区く间$[a,b]$上うえ的てき一いち个取と样分割ぶんかつ是ぜ指ゆび在ざい进行分割ぶんかつ$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b$后きさき，于每一个子区间中$[x_{i},x_{i+1}]$取出とりで一いち点てん $x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}$。

确定的てき子こ区く间上不同ふどう的てき取と样方式しき构成的てき黎はじむ曼和：■ 右みぎ端はし值，■ 极小值， ■ 极大值， ■ 左端ひだりはし值。

对一个在闭区间$[a,b]$有定ありさだ义的实值函数かんすう$f$，$f$关于取样分割ぶんかつ$x_{0},\ldots ,x_{n}$ 、$t_{0},\ldots ,t_{n-1}$的てき黎はじむ曼和定てい义为以下いか和式わしき：

$\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})$

和式わしき中ちゅう的てき每ごと一项是子区间长度$x_{i+1}-x_{i}$与あずか在ざい$t_{i}$处的函数かんすう值$f(t_{i})$的てき乘じょう积。直ちょく观地说，就是以标记点$t_{i}$到いたX轴的距离为高，以分割ぶんかつ的てき子こ区く间为长的矩形くけい的まと面めん积。

最さい简单的てき取と样分割ぶんかつ方法ほうほう是ぜ将しょう区く间均匀地分ぶん成なり若干じゃっかん个长度ど相等そうとう的てき子こ区く间，然しか后きさき在ざい每まい个子区く间上按相同どう的てき准じゅん则取得しゅとく标记点てん。例れい如取每ごと个子区く间右端はし$t_{i}=x_{i+1}$（见左图左上角うえすみ）或ある者もの取と每まい个子区く间上函数かんすう的てき极大值对应的$t_{i}$（左ひだり图左下角したすみ）等とう等とう。不同ふどう的てき取と样分割ぶんかつ方式ほうしき得え到いた的てき黎はじむ曼和一般都不相同，而如果はて当とう$\lambda$足あし够小的てき时候，所有しょゆう的てき黎はじむ曼和都と趋于某ぼう个极限，那な么这个极限げん就叫做函数すう$f$在ざい闭区间$[a,b]$上うえ的てき黎はじむ曼积分ぶん。即そく，$S$是ぜ函数かんすう$f$在ざい闭区间$[a,b]$上うえ的てき黎はじむ曼积分ぶん，当とう且仅当とう对于任意にんい的てき$\epsilon >0$，都と存在そんざい$\delta >0$，使つかい得とく对于任意にんい的てき取と样分割ぶんかつ$x_{0},\ldots ,x_{n}$、$t_{0},\ldots ,t_{n-1}$，只ただ要よう它的子こ区く间长度ど最大さいだい值$\lambda \leq \delta$ ，就有：

$\left|\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})-S\right|<\epsilon .\,$

也就是ぜ说，对于一いち个函数すう$f$，如果在ざい闭区间$[a,b]$上うえ，无论怎样进行取と样分割ぶんかつ，只ただ要よう它的子こ区く间长度ど最大さいだい值足够小，函数かんすう$f$的てき黎はじむ曼和都会とかい趋向于一个确定的值$S$，那な么$f$在ざい闭区间$[a,b]$上うえ的てき黎はじむ曼积分ぶん存在そんざい，并且定てい义为黎はじむ曼和的てき极限$S$。这时候こう称しょう函数かんすう$f$为黎はじむ曼可积的てき。将はた$f$在ざい闭区间$[a,b]$上うえ的てき黎はじむ曼积分ぶん记作：

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x.$

勒贝格かく积分

主しゅ条目じょうもく：勒贝格かく积分

勒贝格かく积分的てき出で现源于概がい率りつ论等とう理り论中对更为不规则的てき函数かんすう的てき处理需要じゅよう。黎はじむ曼积分ぶん无法处理这些函数かんすう的てき积分问题。因よし此，需要じゅよう更さら为广义化か的てき积分概念がいねん，使つかい得どく更さら多た的てき函数かんすう能のう够定义积分ぶん。同どう时，对于黎はじむ曼可积的函数かんすう，新しん积分的てき定てい义不应当与あずか之これ冲突。勒贝格かく积分就是这样的てき一いち种积分ぶん。 黎はじむ曼积分ぶん对初等しょとう函数かんすう和かず分段ぶんだん连续的てき函数かんすう定てい义了积分的てき概念がいねん，勒贝格かく积分则将积分的てき定てい义推广到测度空そら间裡うら。

勒贝格かく积分的てき概念がいねん定てい义在测度的てき概念がいねん上じょう。测度是ぜ日常にちじょう概念がいねん中ちゅう测量长度、面めん积的推广，将はた其以公理こうり化か的てき方式ほうしき定てい义。黎はじむ曼积分ぶん实际可か以看成なり是ぜ用よう一系列矩形来尽可能铺满函数曲线下方的图形，而每个矩形がた的てき面めん积是长乘宽，或ある者もの说是两个区く间之长度的てき乘じょう积。测度为更一般的空间中的集合定义了类似长度的概念，从而能のう够“测量”更さら不ふ规则的てき函数かんすう曲きょく线下方かた图形的てき面めん积，从而定てい义积分ぶん。在ざい一维实空间中，一いち个区间 A = [a, b] 的てき勒贝格かく测度μみゅー(A)是ぜ区く间的右みぎ端はし值减去左端ひだりはし值， b − a。这使得とく勒贝格かく积分和かず正常まさつね意い义上的てき黎はじむ曼积分ぶん相しょう兼けん容よう。在ざい更さら复杂的てき情じょう况下，积分的てき集合しゅうごう可か以更加か复杂，不ふ再さい是ぜ区く间，甚至不ふ再さい是ぜ区く间的交集或ある并集，其“长度”则由测度来らい给出。

给定一いち个集合しゅうごう$\Omega$上うえ的てき$\sigma -$代数だいすう${\mathcal {F}}$以及${\mathcal {F}}$上うえ的てき一いち个测度ど$\mu$，那な么对于${\mathcal {F}}$中なか的てき一いち个元素げんそ$A\subset \Omega$，定てい义指示しじ函数かんすう$1_{A}$关于测度$\mu$的てき积分为：

黎はじむ曼积分ぶん（蓝色）和かず勒贝格かく积分（红色）

$\int 1_{A}\,\mathrm {d} \mu =\mu (A)$

再さい定てい义可测的非ひ负简单函数かんすう$f=\sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}$（其中 $A_{i}\in {\mathcal {F}},\,\,a_{i}\geqslant 0$）的てき积分为：

$\int f\,\mathrm {d} \mu =\int \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}\right)\,\mathrm {d} \mu =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\int 1_{A_{i}}\,\mathrm {d} \mu =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mu (A_{i})$

对于一般いっぱん的てき函数かんすう$f:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$，如果对每个区间$(a,b]$，都と满足 $f^{-1}\left((a,b]\right)\in {\mathcal {F}}$，那な么测度ど论中定てい义$f$是ぜ可か测函数すう。对于一いち个非ひ负的可か测函数すう$f$，它的积分定てい义为：

$\int f\,\mathrm {d} \mu =\sup {\bigg \{}g,\quad g$为简单函数すう，并且$f-g$恒つね大だい于零$.\,{\bigg \}}$

这个积分可か以用以下いか的てき方式ほうしき逼近：

$\int f\,\mathrm {d} \mu =\lim _{n\to +\infty }\left[\sum _{k=0}^{n2^{n}-1}{\frac {k}{2^{n}}}\mu \left({\frac {k}{2^{n}}}\leqslant f<{\frac {k+1}{2^{n}}}\right)+n\mu (f\geqslant n)\right]=\lim _{n\to +\infty }\left[{\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n2^{n}-1}\mu \left({\frac {k}{2^{n}}}\leqslant f\right)\right]$

直ちょく观上，这种逼近方式ほうしき是ぜ将しょう$f$的てき值域分割ぶんかつ成なり等とう宽的区く段だん，再さい考察こうさつ每ごと段だん的てき“长度”，用よう其测度ど表示ひょうじ，再さい乘じょう以区段だん所在しょざい的てき高度こうど。其覆盖之处如右みぎ图中的てき红色区域くいき所しょ示しめせ。佛ふつ兰德（Folland）总结说，“黎はじむ曼积分ぶん是これ把わ定じょう义域区く间[a, b]划分为子区く间”，而勒贝格积分则是“划分$f$的てき值域”。

至いたり于一般いっぱん的てき（有正ありまさ有ゆう负的）可か测函数すう$f$，它的积分是ぜ函数かんすう曲きょく线在x轴上方かた“围出”的てき面めん积，减去曲きょく线在x轴下方かた“围出”的てき面めん积。严格定てい义需要よう引进“正部しょうぶ函数かんすう”和かず“负部函数かんすう”的てき概念がいねん：

$f^{+}:$ 如果$f(x)\geqslant 0,$ 则$f^{+}(x)=f(x),$ 否いや则$f^{+}(x)=0.$

$f^{-}:$ 如果$f(x)\leqslant 0,$ 则$f^{-}(x)=-f(x),$ 否いや则$f^{-}(x)=0.$

可か以验证，总有$f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x).$ 而$f$的てき积分定てい义为：$\int f\,\mathrm {d} \mu =\int f^{+}\,\mathrm {d} \mu -\int f^{-}\,\mathrm {d} \mu$

以上いじょう定てい义有意ゆうい义仅当とう$\int f^{+}\,\mathrm {d} \mu$和わ$\int f^{-}\,\mathrm {d} \mu$中ちゅう至いたり少しょう有ゆう一个的值是有限的（否いや则会出で现无穷大减无穷大的てき情じょう况），这时称しょう$f$的てき勒贝格かく积分存在そんざい或ある积分有意ゆうい义。如果$\int f^{+}\,\mathrm {d} \mu$和わ$\int f^{-}\,\mathrm {d} \mu$都みやこ是ただし有限ゆうげん的てき，那な么称$f$可か积。

给定一いち个可测集合しゅうごう$A$，可か以定义可积函数すう在ざい$A$上うえ的てき积分为：

$\int _{A}f\,\mathrm {d} \mu =\int f1_{A}\,\mathrm {d} \mu .$

其他定てい义

除じょ了りょう黎はじむ曼积分ぶん和わ勒贝格かく积分以外いがい，还有若干じゃっかん不同ふどう的てき积分定てい义，适用于不同どう种类的てき函数かんすう。

• 达布积分：等とう价于黎はじむ曼积分ぶん的てき一いち种定义，比ひ黎はじむ曼积分ぶん更さら加か简单，可用かよう来らい帮助定てい义黎曼积分ぶん。
• 黎はじむ曼－斯蒂尔杰斯积分ぶん：黎はじむ曼积分ぶん的てき推广，用よう一般いっぱん的てき函数かんすうg(x)代替だいたいx作さく为积分ぶん变量，也就是ぜ将はた黎はじむ曼和中ちゅう的てき$(x_{i+1}-x_{i})$推广为$(g(x_{i+1})-g(x_{i}))$。
• 勒贝格かく－斯蒂尔杰斯积分ぶん：勒贝格かく积分的てき推广，推广方式ほうしき类似于黎曼－斯蒂尔杰斯积分ぶん，用よう有界ゆうかい变差函数かんすうg代替だいたい测度$\mu$。
• 哈尔积分：由よし阿おもね尔弗雷かみなり德とく·哈尔于1933年ねん引入，用よう来らい处理局部きょくぶ紧拓扑群上じょう的てき可か测函数すう的てき积分，参まいり见哈尔测度。
• 伊藤いとう积分：由ゆかり伊藤いとう清きよし于二に十じゅう世せい纪五十じゅう年ねん代引だいびき入いれ，用よう于计算さん包含ほうがん随ずい机つくえ过程如维纳过程或ある半はん鞅的てき函数かんすう的てき积分。

性せい质

通常つうじょう意い义上的てき积分都と满足一些基本的性质。以下いか的てき${\mathcal {I}}$在ざい黎はじむ曼积分ぶん意い义上表示ひょうじ一いち个区间，在ざい勒贝格かく积分意い义下表示ひょうじ一いち个可测集合しゅうごう。

线性

积分是ぜ线性的てき。如果一いち个函数すう$f$可か积，那な么它乘じょう以一个常数後仍然可积。如果函数かんすう$f$和わ$g$可か积，那な么它们的和わ与あずか差さ也可积。

$\int _{\mathcal {I}}(\alpha f+\beta g)=\alpha \int _{\mathcal {I}}f+\beta \int _{\mathcal {I}}g\,$

所有しょゆう在ざい${\mathcal {I}}$上うえ可か积的函数かんすう构成了りょう一いち个线性空そら间。黎はじむ曼积分ぶん的てき意い义上，所有しょゆう区く间[a, b]上うえ黎はじむ曼可积的函数かんすう$f$和わ$g$都と满足：

$\int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,\mathrm {d} x=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x.\,$

所有しょゆう在ざい可か测集合しゅうごう${\mathcal {I}}$上うえ勒贝格かく可か积的函数かんすう$f$和わ$g$都と满足：

$\int _{\mathcal {I}}(\alpha f+\beta g)\,\mathrm {d} \mu =\alpha \int _{\mathcal {I}}f\,\mathrm {d} \mu +\beta \int _{\mathcal {I}}g\,\mathrm {d} \mu .$

在ざい积分区域くいき上じょう，积分有可ゆか加か性せい。黎はじむ曼积分ぶん意い义上，如果一いち个函数すう$f$在ざい某ぼう区く间上黎はじむ曼可积，那な么对于区间内的てき三さん个实数すうa, b, c，有ゆう

$\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,$

如果函数かんすう$f$在ざい两个不ふ相あい交的可か测集${\mathcal {I}}$和わ${\mathcal {J}}$上うえ勒贝格かく可か积，那な么

$\int _{{\mathcal {I}}\cup {\mathcal {J}}}f\,\mathrm {d} \mu =\int _{\mathcal {I}}f\,\mathrm {d} \mu +\int _{\mathcal {J}}f\,\mathrm {d} \mu .$

如果函数かんすう$f$勒贝格かく可か积，那な么对任意にんい$\epsilon >0$，都と存在そんざい$\delta$，使つかい得とく${\mathcal {F}}$中ちゅう任意にんい的てき元素げんそ$A$，只ただ要よう$\mu (A)<\delta$，就有$\int _{A}\left|f\right|\,\mathrm {d} \mu <\epsilon$

保ほ号ごう性せい

如果一いち个函数すう$f$在ざい某ぼう个区间上黎はじむ曼可积，并且在ざい此区间上大だい于等于零。那な么它在ざい这个区く间上的てき积分也大于等于零。如果$f$勒贝格かく可か积并且几乎总是大だい于等于零，那な么它的てき勒贝格かく积分也大于等于零。作さく为推论，如果两个${\mathcal {I}}$上うえ的てき可か积函数すう$f$和わ$g$相そう比ひ， $f$（几乎）总是小しょう于等于$g$，那な么$f$的てき（勒贝格かく）积分也小于等于$g$的てき（勒贝格かく）积分。

如果黎はじむ曼可积的非ひ负函数すう$f$在ざい${\mathcal {I}}$上うえ的てき积分等とう于0，那な么除了りょう有限ゆうげん个点以外いがい，$f=0$。如果勒贝格かく可か积的非ひ负函数すう$f$在ざい${\mathcal {I}}$上うえ的てき积分等とう于0，那な么$f$几乎处处为0。如果${\mathcal {F}}$中元ちゅうげん素もと$A$的てき测度$\mu (A)$等とう于0，那な么任何なん可か积函数すう在ざい$A$上うえ的てき积分等とう于0。

函数かんすう的てき积分表示ひょうじ了りょう函数かんすう在ざい某ぼう个区域くいき上じょう的てき整体せいたい性せい质，改あらため变函数すう某ぼう点てん的てき取と值不会かい改あらため变它的てき积分值。对于黎はじむ曼可积的函数かんすう，改あらため变有限げん个点的てき取と值，其积分ぶん不ふ变。对于勒贝格かく可か积的函数かんすう，某ぼう个测度ど为0的てき集合しゅうごう上じょう的てき函数かんすう值改变，不ふ会かい影かげ响它的てき积分值。如果两个函数かんすう几乎处处相しょう同どう，那な么它们的积分相しょう同どう。如果对${\mathcal {F}}$中ちゅう任意にんい元素げんそ$A$，可か积函数すう$f$在ざい$A$上うえ的てき积分总等于（大だい于等于）可か积函数すう$g$在ざい$A$上うえ的てき积分，那な么$f$几乎处处等とう于（大だい于等于）$g$。

介かい值性质

如果$f$在ざい${\mathcal {I}}$上うえ可か积， $M$和わ$m$分ぶん别是$f$在ざい${\mathcal {I}}$上うえ的てき最大さいだい值和最小さいしょう值，那な么：

$mL({\mathcal {I}})\leqslant \int _{\mathcal {I}}f\leqslant ML({\mathcal {I}})$

其中的てき$L({\mathcal {I}})$在ざい黎はじむ曼积分ぶん中ちゅう表示ひょうじ区く间${\mathcal {I}}$的てき长度，在ざい勒贝格かく积分中ちゅう表示ひょうじ${\mathcal {I}}$的てき测度。

绝对连续性せい

积分的てき绝对连续性せい表明ひょうめい，如果函数かんすう在ざい某ぼう区く间或集合しゅうごう上じょう可か积，那な么当积分区域くいき是ぜ近きん乎全区域くいき的てき时候，积分的てき值也会かい逼近在ざい全ぜん区域くいき上じょう的てき积分值。如果函数かんすう$f$在ざい某ぼう区く间${\mathcal {I}}$上うえ黎はじむ曼可积，那な么对于满足あし${\mathcal {I}}_{n}\subset {\mathcal {I}}_{n+1}$，$\lim _{n\to \infty }{\mathcal {I}}_{n}={\mathcal {I}}$的いくわ区く间序列じょれつ$\left({\mathcal {I}}_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$，有ゆう

$\lim _{n\to \infty }\int _{{\mathcal {I}}_{n}}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{\mathcal {I}}f(x)\,\mathrm {d} x$

积分不等式ふとうしき

涉わたる及积分ぶん的てき基本きほん不等式ふとうしき可か以看作さく是ぜ一些离散不等式的类比。如柯西不等式ふとうしき的てき积分版本はんぽん：假かり如有函数かんすう$f$和わ$g$使つかい得とく$fg$、$f^{2}$、$g^{2}$都と在ざい区く间${\mathcal {I}}$上うえ黎はじむ曼可积，那な么

$\left(\int _{\mathcal {I}}(fg)(x)\,\mathrm {d} x\right)^{2}\leq \left(\int _{\mathcal {I}}f(x)^{2}\,\mathrm {d} x\right)\left(\int _{\mathcal {I}}g(x)^{2}\,\mathrm {d} x\right).$

而更广泛的てき赫尔德とく不等式ふとうしき也有やゆう积分版本はんぽん。设有正せい实数$p$和わ$q$，其倒数すう和わ为1：${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$，则对黎はじむ曼可积函数すう$f$和わ$g$，有ゆう以下いか不等ふとう关系（在ざい下した式しき各かく项有意ゆうい义的时候）：

$\left|\int f(x)g(x)\,\mathrm {d} x\right|\leqslant \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{q}}.$

可か以看出で柯西不等式ふとうしき是ぜ赫尔德とく不等式ふとうしき在ざい$p=q=2$的てき时候的てき特例とくれい。

此外闵可夫おっと斯基不等式ふとうしき也有やゆう积分版本はんぽん。设有正せい实数$p\geqslant 1$，则对黎はじむ曼可积函数すう$f$和わ$g$，有ゆう以下いか不等ふとう关系：

$\left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int \left|g(x)\right|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}.$

对于勒贝格かく可か积的函数かんすう，类似的てき不等式ふとうしき可か以帮助じょ构建$L^{p}$空そら间。

一いち个函数すう$f$可か积当且仅当とう函数かんすう$|f|$可か积，并且$f$的てき积分的てき绝对值，小しょう于等于其绝对值的积分：$\left|\int _{\mathcal {I}}f\right|\leqslant \int _{\mathcal {I}}|f|$。如果函数かんすう$f$勒贝格かく可か积，那な么$|f|$几乎处处有限ゆうげん。

微ほろ积分基本きほん定理ていり

主しゅ条目じょうもく：微ほろ积分基本きほん定理ていり

微ほろ积分基本きほん定理ていり是ぜ将しょう微分びぶん运算（求もとめ导运算ざん）和かず积分运算（原はら函数かんすう）联系在ざい一いち起おこり的てき基本きほん定理ていり。从基本きほん定理ていり可か以看出で微分びぶん和わ积分运算之の间的互逆关系。定理ていり叙述じょじゅつ如下：

设有在ざい闭区间[a, b]上じょう连续的てき可か积函数すう$f$。考こう虑积分ぶん上限じょうげん函数かんすう$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$，则$F$在ざい闭区间[a, b]上じょう连续，在ざい开区间(a, b) 上じょう可か导，并且对开区く间(a, b) 中ちゅう任意にんい的てき$x$有ゆう：

$F'(x)=f(x)$

微ほろ积分基本きほん定理ていり的てき一个实用的直接推论，也被称しょう为微积分第だい二に基本きほん定理ていり：

设有在ざい闭区间[a, b]上じょう连续的てき可か积函数すう$f$。考こう虑它的てき一いち个原函数かんすう$F(x)$，即そく：

$F'(x)=f(x)$

则$f$在ざい区く间[a, b]上じょう的てき定てい积分满足：

$\int _{a}^{b}f(t)\mathrm {d} t=F(b)-F(a).$

推广

反はん常つね积分

主しゅ条目じょうもく：反はん常つね积分

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi$
这是一个既含有无限积分区间，被ひ积函数すう也无限げん的てき积分

狭せま义的黎はじむ曼积分ぶん中ちゅう，被ひ积函数すう是ぜ定てい义在闭区间（长度有限ゆうげん）上じょう的てき函数かんすう，因いん此取值也是ぜ在ざい有限ゆうげん区く间中。反はん常つね积分也称为广义积分ぶん，是ぜ对更一般区间上的函数定义的积分，研究けんきゅう在ざい狭せま义黎曼积分ぶん的てき被ひ积函数すう条件じょうけん没ぼつ有ゆう满足时，是ぜ否ひ能のう够有积分的てき定てい义。一个基本的情形是，被ひ积函数すう在ざい半はん开区间[a, b)上じょう有定ありさだ义，然しか而在自あらじ变量趋向开区间的某ぼう一いち端はし（比ひ如说b）时，函数かんすう有ゆう“瑕きず点てん”（函数かんすう值趋向こう无穷或ある没ぼつ有ゆう极限）。这时候こう，考察こうさつ被ひ积函数すう在ざい闭区间[a, b - εいぷしろん]上じょう的てき积分值$I_{\epsilon }$，如果当とう其中的てき正せい实数 εいぷしろん 趋向于0的てき时候，积分值$I_{\epsilon }$趋于一いち个极限げん$I$，那な么就称たたえ被ひ积函数すう在ざい[a, b)上じょう广义可か积，并且称しょう其为瑕きず积分$I$。这个定てい义也可か以简单地记作：

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{\epsilon \to 0}\int _{a}^{b-\epsilon }f(x)\,\mathrm {d} x$

另一个基本的情形是区间长度为无限大的情形，称しょう为无穷限广义积分。比ひ如说被ひ积函数すう在ざい在ざい闭区间[a, ∞)上じょう有定ありさだ义。考こう虑被积函数すう在ざい闭区间[a, b]上じょう的てき积分值$I_{b}$，如果当とうb趋向正せい无穷大だい的てき时候，积分值$I_{b}$趋于一いち个极限げん$I$，那な么就称たたえ被ひ积函数すう在ざい[a, ∞)上じょう广义可か积，并且称しょう为无穷限积分$I$。这个定てい义也可か以简单地记作：

$\int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

其余更さら加か复杂的てき情じょう形がた包括ほうかつ瑕きず点在てんざい区く间内部ぶ，或ある者もの同どう时包含ほうがん了りょう无穷限げん的てき情じょう形がた等とう等とう。这些情じょう形がた都と可か以拆分ぶん为基本きほん情じょう形がた的てき组合，然しか后きさき使用しよう以上いじょう的てき方法ほうほう探さがせ讨广义积分ぶん的てき存在そんざい性せい。比ひ如，考こう虑函数すう$f(x)={\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}$在ざい正せい实数すう区く间（0到いた正せい无穷）上じょう的てき积分（如右图所示しめせ）。这是一个双重广义积分。一方いっぽう面めん函数かんすう在ざい0处有瑕きず点てん（在ざい0附近ふきん趋向正せい无穷），另一方面函数积分区域是无穷限（直ちょく到いた正せい无穷大だい）。这时候こう可か以将这个积分分割ぶんかつ为两个部分ぶん来らい考察こうさつ。比ひ如说以1为界限げん，左右さゆう分割ぶんかつ为0到いた1的てき积分和わ1到いた正せい无穷大だい的てき积分。

首くび先さき考察こうさつ1到いた正せい无穷大だい的てき部分ぶぶん，依よ据すえ上述じょうじゅつ方法ほうほう，可か以首先さき考察こうさつ$f(x)$在ざい闭区间[1, t]上じょう的てき积分：

$I_{t}=\int _{1}^{t}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}=2\arctan {\sqrt {t}}-{\frac {\pi }{2}}$

当とう实数t趋于无穷大だい的てき时候，上述じょうじゅつ积分值的极限为$\lim _{t\to \infty }\left(2\arctan {\sqrt {t}}-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}.$ 所以ゆえん$f(x)$从1到いた正せい无穷大だい的てき积分可か以定义为：

$\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}={\frac {\pi }{2}}$

同どう样地，考察こうさつ从0到いた1的てき部分ぶぶん，可か以首先さき考察こうさつ$f(x)$在ざい闭区间[s, 1]上じょう的てき积分：

$I_{s}=\int _{s}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}={\frac {\pi }{2}}-2\arctan {\sqrt {s}}$

当とう正せい实数s趋于0的てき时候，上述じょうじゅつ积分值的极限为$\lim _{s\to 0}\left({\frac {\pi }{2}}-2\arctan {\sqrt {s}}\right)={\frac {\pi }{2}}.$ 所以ゆえん$f(x)$从0到いた1的てき积分可か以定义为：

$\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\lim _{s\to 0}\int _{s}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}={\frac {\pi }{2}}$

因いん此可以定义$f(x)={\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}$在ざい正せい实数すう区く间（0到いた正せい无穷）上じょう的てき积分为这两部分ぶぶん的てき和わ：

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}+\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{(x+1){\sqrt {x}}}}={\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{2}}=\pi$

多重たじゅう积分

主しゅ条目じょうもく：多重たじゅう积分

狭せま义积分ぶん的てき积分范围是ぜ实数的てき一个区间或者可测子集。多重たじゅう积分将はた积分范围扩展到いた多た维空间中的てき区域くいき或ある可か测子集しゅう。比ひ如说二重积分的积分范围是平面上的一个区域。这时候こう积分$\int _{D}f(x)\,\mathrm {d} x$中なか的てき变量$x$可か以是（赋予了りょう拓つぶせ扑结构的まと）向むかい量りょう空そら间里さと面めん的てき一いち个向量りょう。富とみ比ひ尼あま定理ていり证明，在ざい一定いってい条件下じょうけんか，多重たじゅう积分可か以转换为累次るいじ积分。也就是ぜ说，在ざい多た维空间上的てき积分可か以通过转化か为多个嵌套的一重积分来计算。通常つうじょう的てき方法ほうほう是ぜ将はた多重たじゅう的てき积分变量转变为各个坐标指标上的てき积分变量。例れい如，考こう虑以下か二に重じゅう积分：

$\int _{C}e^{-x^{2}-y^{2}}\,\mathrm {d} \sigma .$

其中的てき$C=\{(x,y)\;|\;x^{2}+y^{2}\leqslant 1\}$是ぜ一个半径为1的てき圆盘。这个二重积分可以转变成：

$\int _{C}e^{-x^{2}-y^{2}}\,\mathrm {d} \sigma =\int _{-1}^{1}\int _{-{\sqrt {1-y^{2}}}}^{\sqrt {1-y^{2}}}e^{-x^{2}-y^{2}}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}e^{-r^{2}}\,r\mathrm {d} r\mathrm {d} \theta .$

路みち径みち积分与ぶんよ曲面きょくめん积分

主しゅ条目じょうもく：路みち径みち积分和わ曲面きょくめん积分

路みち径みち积分也称曲きょく线积分ぶん，可か以看作さく是ぜ区く间上积分的てき推广。积分的てき范围不ふ是ぜ区く间（直ちょく线段），而是高だか维空间中的てき有向ゆうこう曲きょく线。后きさき者しゃ称しょう为积分ぶん路ろ径みち。路みち径みち积分有ぶんゆう很多种类，当とう积分路ろ径みち为闭合ごう曲きょく线时，称しょう为环路ろ积分或ある围道积分。路みち径みち积分的てき被ひ积函数すう可か以是标量函数かんすう（标量场）或ある向こう量りょう函数かんすう（向むこう量りょう场）。如果被ひ积函数すうF是ぜ一いち个梯はしご度ど场，那な么F的まと曲きょく线积分与ぶんよ所しょ取的とりてき路ろ径みち无关，而只与路よろ径みち的てき起点きてん和わ终点的てき选取有ゆう关。与路よろ径みち积分类似，平面へいめん区域くいき的てき二重积分可以推广为在高维空间中的（有向ゆうこう）曲面きょくめん上うえ进行积分，称しょう为曲面めん积分。路みち径みち积分和わ曲面きょくめん积分是ぜ物理ぶつり学がく中ちゅう很重要じゅうよう的てき工具こうぐ，例れい如计算さん电场或ある重力じゅうりょく场中的てき做功、量子力学りょうしりきがく中ちゅう计算粒子りゅうし出で现的概がい率りつ，会かい用よう到いた路みち径みち积分。流体りゅうたい力学りきがく中ちゅう计算流体りゅうたい的てき流量りゅうりょう、电力学がく中ちゅう使用しよう高こう斯定律ていりつ计算电场和わ电荷分布ぶんぷ时，会かい用よう到いた曲面きょくめん积分。

种类

• 黎はじむ曼积分ぶん
• 达布积分
• 勒贝格かく积分
• 黎はじむ曼-斯蒂爾しか吉よし斯积分ぶん
• 數かず值積分ぶん

參まいり見み

• 微ほろ积分基本きほん定理ていり
• 不定ふてい积分
• 定てい积分
• 積分せきぶん符號ふごう
• 积分表ひょう
• 曲きょく线下面めん积 (药物代だい谢动力学りきがく)