區間くかん

此條目め介かい紹的是ぜ数学すうがく上じょう的てき区く间概念がいねん。关于铁路运输的てき区く间概念がいねん，请见「闭塞 (铁路)」。

區間くかん（英語えいご：interval）在ざい數學すうがく上うえ是ただし指ゆび某ぼう個こ範圍はんい的てき數すう的てき集合しゅうごう，或ある者もの更さら一般地是指某个范围的预序集しゅう元素げんそ的てき集合しゅうごう，一いち般以集合しゅうごう形式けいしき表示ひょうじ。

在ざい圖ず中ちゅう的てき數すう軸じく上じょう，所有しょゆう大だい于x和かず小しょう于x+a的てき数すう组成了りょう一いち个开区く间。

簡說

在ざい初等しょとう代數だいすう，傳統でんとう上じょう區間くかん指ゆび一いち個こ集しゅう，包含ほうがん在ざい某ぼう兩個りゃんこ特定とくてい實數じっすう之これ間あいだ的てき所有しょゆう實數じっすう，亦また可能かのう包含ほうがん該兩個りゃんこ實數じっすう（或ある其中之の一いち）。區間くかん表示法ひょうじほう是ぜ表示ひょうじ一個變數在某個區間內的方式。通用つうよう的てき區間くかん表示法ひょうじほう中ちゅう，圓えん括くく號ごう表示ひょうじ排除はいじょ，方ぽう括くく號ごう表示ひょうじ包括ほうかつ。例れい如，開ひらき區間くかん$(10,20)$表示ひょうじ所有しょゆう在ざい$10$和わ$20$之これ間あいだ的てき實數じっすう，但ただし不ふ包括ほうかつ$10$或ある$20$。另一方面ほうめん，閉區間あいだ$[10,20]$表示ひょうじ所有しょゆう在ざい$10$和わ$20$之これ間あいだ的てき實數じっすう，以及$10$和わ$20$。

定てい义

实区间

在ざい赋予通常つうじょう序じょ的てき实数集しゅう$\mathbb {R}$里さと，以$a,b\in \mathbb {R}$为端点てん的てき开区间和わ闭区间分ぶん别是：

$(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}$

$[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x\leq b\}$

类似地ち，以$a,b$为端点てん的てき两个半はん开区间定てい义为：

$(a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leq b\}$

$[a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x<b\}$

在ざい一いち些上下じょうげ文中ぶんちゅう，两个端点たんてん要求ようきゅう满足$a<b$。这排除はいじょ了りょう$a=b$从而区く间或是ぜ单元素げんそ集合しゅうごう或ある是ぜ空そら集しゅう的てき情じょう形がた，也排除はいじょ了りょう$a>b$从而区く间为空そら集しゅう的てき情じょう形がた。

只ただ有ゆう左端ひだりはし点てん$a$的てき开区间和わ半はん开区间分ぶん别如下か。

$(a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},$

$[a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x\geq a\},$

只ただ有ゆう右みぎ端点たんてん$b$的てき开区间和わ半はん开区间分ぶん别如下か。

$(-\infty ,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon x<b\},$

$(-\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon x\leq b\},$

整せい个实数すう线等于没有ゆう端点たんてん的てき区く间：

$(-\infty ,\infty )=\mathbb {R}$

偏へん序じょ集しゅう或ある预序集中しゅうちゅう的てき区く间

区く间的概念がいねん在任ざいにん何なに偏へん序じょ集しゅう或ある者もの更さら一般いっぱん地ち，在任ざいにん何なに预序集しゅう中ちゅう有定ありさだ义。对于预序集しゅう$(X,\lesssim )$和かず两个元素げんそ$a,b\in X,$，我わが们可以类似に定てい义

$(a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}$

$[a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}$

$(a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}$

$[a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x<b\}$

$(a,\infty )=\{x\in X\colon a<x\}$

$[a,\infty )=\{x\in X\colon a\lesssim x\}$

$(-\infty ,b)=\{x\in X\colon x<b\}$

$(-\infty ,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}$

$(-\infty ,\infty )=X$

其中$x<y$意思いし是ぜ$x\lesssim y\not \lesssim x$。其实，只ただ有ゆう一个端点或者没有端点的区间等同于更大的预序集

${\bar {X}}=X\sqcup \{-\infty ,\infty \}$

$-\infty <x<\infty \qquad (\forall x\in X)$

上うえ具有ぐゆう两个端点たんてん的てき区く间，使つかい得とく它是$X$的てき子こ集しゅう。当とう$X=\mathbb {R}$时，可か以取${\bar {\mathbb {R} }}$为扩展实数线。

序じょ凸とつ集しゅう和わ序じょ凸とつ分ぶん支ささえ

预序集しゅう$(X,\lesssim )$的てき子こ集しゅう$A\subseteq X$是これ序じょ凸とつ集しゅう，如果对于任意にんい$x,y\in A$以及任意にんい$x\lesssim z\lesssim y$有ゆう$z\in A$。与あずか实区间的情じょう形がた不同ふどう，预序集しゅう的てき序じょ凸とつ集しゅう不ふ一定いってい是ぜ区く间。例れい如，在ざい有理数ゆうりすう的てき全ぜん序じょ集しゅう$(\mathbb {Q} ,\leq )$中なか，

$\mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \colon x^{2}<2\}$

是ぜ序じょ凸とつ集しゅう，但ただし它不是ぜ$\mathbb {Q}$的いくわ区く间，这是因いん为2的てき平方根へいほうこん在ざい$\mathbb {Q}$中ちゅう是ぜ不ふ存在そんざい的てき。

设$(X,\lesssim )$是ぜ一いち个预序集しゅう，且$Y\subseteq X$。包含ほうがん在ざい$Y$中なか的てき$X$的てき序じょ凸とつ集しゅう关于包含ほうがん关系构成偏へん序じょ集しゅう。这个偏へん序じょ集しゅう的てき极大元もと叫さけべ做$Y$的てき序じょ凸とつ分ぶん支ささえ。由ゆかり佐さ恩おん引理，包含ほうがん在ざい$Y$中なか的てき$X$的てき任意にんい序じょ凸とつ集しゅう包含ほうがん于$Y$的てき一いち个序凸とつ分ぶん支ささえ，然しか而这种序凸とつ分ぶん支ささえ不ふ一定いってい是ぜ唯一ゆいいつ的てき。在ざい全ぜん序じょ集しゅう中なか，这样的てき序じょ凸とつ分ぶん支ささえ确实唯一ゆいいつ。也就是ぜ说，全ぜん序じょ集しゅう的てき子こ集しゅう的てき序じょ凸とつ分ぶん支ささえ构成分ぶん划。

區間くかん算術さんじゅつ

區間くかん算術さんじゅつ又また稱しょう區間くかん數學すうがく、區間くかん分析ぶんせき、區間くかん計算けいさん，在ざい1950、60年ねん代引だいびき進しん以作數すう值分析ぶんせき上じょう計算けいさん捨去すてさ誤差ごさ的てき工具こうぐ。

$T\times S=\{x\mid {}$屬ぞく於$T$的てき某ぼう些$y$，及屬於$S$的てき某ぼう些$z$，使つかい得とく$x=y\times z\}$

區間くかん算術さんじゅつ的てき基本きほん運算うんざん是ぜ，對たい於實數すう線上せんじょう的てき子こ集しゅう$[a,b]$及$[c,d]$：

$[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]$

$[a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]$

$[a,b]\times [c,d]=[\min\{ac,ad,bc,bd\},\max\{ac,ad,bc,bd\}]$

${\frac {[a,b]}{[c,d]}}=\left[\min \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\},\max \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\}\right]$

被ひ一いち個こ包含ほうがん零れい的てき區間くかん除じょ，在ざい基礎きそ區間くかん算術さんじゅつ上じょう無む定義ていぎ。

加法かほう和わ乘法じょうほう符合ふごう交換こうかん律りつ、結合けつごう律りつ和子かずこ分配ぶんぱい律りつ：集しゅう$X(Y+Z)$是これ$XY+XZ$的てき子こ集しゅう。

另一いち種しゅ寫うつし法ほう

在ざい法ほう国こく及其他た一いち些欧おう洲しゅう国家こっか，用よう$][$代替だいたい$()$來らい表示ひょうじ开区间，例れい如：

$\left]a,b\right[=\{x\mid a<x<b\}$

$\left[a,b\right]=\{x\mid a\leq x\leq b\}$

$\left[a,b\right[=\{x\mid a\leq x<b\}$

$\left]a,b\right]=\{x\mid a<x\leq b\}$

國際こくさい標準ひょうじゅん化か組織そしき編制へんせい的てきISO 31-11也允許いんきょ這種寫うつし法ほう。

另外，在ざい小數點しょうすうてん以逗號ごう來らい表示ひょうじ的てき情況じょうきょう下か，為ため免めん產さん生せい混淆こんこう，分ふん隔へだた兩りょう數すう的てき逗號要用ようよう分ぶん號ごう來らい代替だいたい，例れい如將$[1,2.3]$寫うつし成なり$[1;2,\!3]$。若わか只ただ把わ小數點しょうすうてん寫うつし成なり逗號，就會變成へんせい$[1,2,\!3]$，此時不易ふえき判斷はんだん究竟きゅうきょう是ぜ$1.2$與あずか$3$之これ間あいだ，還かえ是これ$1$與あずか$2.3$之これ間あいだ的てき閉區間あいだ。