同どう餘よ關係かんけい

在ざい数学すうがく特とく别是抽象ちゅうしょう代数だいすう中なか，同どう餘よ关系或ある简称同どう餘よ是ぜ相しょう容よう于某个代数すう运算的てき等とう价关系けい。

模かたぎ算さん术

元もと型かた例れい子こ是ぜ模かたぎ算さん术：对于一いち个正整数せいすうn，如果a − b整除せいじょ于n（还有一个等价的条件是它们除以n得とく出で同どう样的餘あまり数すう），则两个整数すうa和わb被ひ称しょう为同どう餘よ模もn。

例れい如，5和わ11同どう餘よ模も3：

11 ≡ 5 (mod 3)

因いん为11 − 5得とく出で6，它整除せいじょ于3。或ある者もの等とう价的说，这两个数除じょ以3得え到いた相あい同どう的まと餘あまり数すう：

11 = 3×3 + 2

5 = 1×3 + 2

如果 $a_{1}\equiv b_{1}{\pmod {n}}$ 并且 $a_{2}\equiv b_{2}{\pmod {n}}$ ，则 $a_{1}+a_{2}\equiv b_{1}+b_{2}{\pmod {n}}$ 并且 $a_{1}a_{2}\equiv b_{1}b_{2}{\pmod {n}}$ 。这把同どう餘あまり(mod n)变成了りょう在ざい所有しょゆう整数せいすう的てき环上的てき一いち个等价。

线性代数だいすう

两个实数矩のり阵A和わB被ひ称しょう为合同ごうどう的てき，如果存在そんざい可逆かぎゃく实数矩のり阵P使つかい得とく

P^{\top }AP=B

。

对称矩のり阵有实数特とく征せい值。对称矩のり阵的“惯性”是ぜ由正よしまさ特とく征せい值的数すう目もく、零れい特とく征せい值的数すう目もく和わ负特征せい值的数すう目もく组成的てき三さん元げん组。Sylvester惯性定律ていりつ声こえ称しょう两个对称实数矩のり阵是合同ごうどう的てき，当とう且仅当とう它们有ゆう相しょう同どう的てき惯性。所以ゆえん，全ぜん等とう变换可か以改变矩阵的特とく征せい值但不能ふのう改あらため变特征せい值的符号ふごう。

对于复数矩のり阵，必须区分くぶん“^T合同ごうどう”（A和わB是これ^T合同ごうどう，如果有可ゆか逆ぎゃく矩のり阵P使つかい得とくP^TAP = B）和かず“*合同ごうどう”（A和わB是ぜ*合同ごうどう，如果有可ゆか逆ぎゃく矩のり阵P使つかい得とくP*AP = B）。

泛代数すう

想そう法ほう是ぜ推广到泛代数すう中なか：代数だいすうA上うえ的てき同どう餘よ关系是ぜ直ちょく积A×A的てき子こ集しゅう，它既是ぜ在ざいA上うえ的てき等とう价关系けい又また是これA×A的てき子こ代数だいすう。

同どう态的てき核かく总是同どう餘あまり。实际上じょう，所有しょゆう同どう餘よ引起自じ核かく。对于给定在ざいA上うえ的てき同どう餘あまり~，等とう价类的てき集合しゅうごうA/~可か以自然しぜん的てき方式ほうしき给出自しゅつじ代数だいすう的てき结构商しょう代数だいすう。映うつ射い所有しょゆうA的てき元素げんそ到いた它的等とう价类的てき函数かんすう是ぜ同どう态，这个同どう态的核かく是ぜ~。

在ざい一个代数上的所有同餘关系的格かく是これ代数だいすう格かく。

群ぐん的てき同どう餘あまり、正せい规子群ぐん和わ理想りそう

在ざい群ぐん的てき特殊とくしゅ情じょう况下，同どう餘よ关系可か以用基本きほん术语描述为：如果G是ぜ群ぐん（带有单位元もとe）并且~是ぜ在ざいG上うえ的てき二元にげん关系，则~是ぜ同どう餘よ只ただ要よう：

给定G的てき任にん何なに元素げんそa，a ~ a（自じ反はん关系）。
给定G任にん何なん的てき元素げんそa和わb，如果a ~ b，则b ~ a（对称关系）。
给定G的てき任にん何なん元素げんそa,b和わc，如果a ~ b 并且b ~ c，则a ~ c（传递关系）。
给定G的てき任にん何なん元素げんそa,a',b和わb' ，如果a ~ a' 并且b ~ b' ，则a * b ~ a' * b' 。
给定G的てき任にん何なん元素げんそa和わa' ，如果a ~ a' ，则a⁻¹ ~ a' ⁻¹（这个条件じょうけん可か以从其他四个条件证明，所以ゆえん严格上じょう是ぜ冗餘的てき）。

条件じょうけん1, 2和わ3声こえ称しょう~是ぜ等とう价关系けい。

同どう餘あまり~完全かんぜん确定自じG的てき同どう餘よ于单位い元もと的てき那な些元素的すてき集合しゅうごう{a ∈ G : a ~ e}，而这个集合しゅうごう是ぜ正せい规子群ぐん。特とく别是，a ~ b当とう且仅当とうb⁻¹ * a ~ e。所以ゆえん替がえ代だい谈论在ざい群ぐん上じょう同どう餘よ，人にん们通常つうじょう以正规子群ぐん的てき方式ほうしき谈论它们；事ごと实上，所有しょゆう同どう餘よ都と唯一ゆいいつ的てき对应于G的てき某ぼう个正规子群ぐん。

环理想りそう和わ一般いっぱん情じょう况的核かく

类似的てき技巧ぎこう允まこと许谈论环中ちゅう的てき核かく为理想りそう来らい替がえ代だい同どう餘よ关系，在ざい模かたぎ理り论中ちゅう为子こ模も来らい替がえ代だい同どう餘よ关系。

这个技巧ぎこう不ふ适用于幺半群ぐん，所以ゆえん同どう餘よ关系的てき研究けんきゅう在ざい幺半群ぐん理り论扮演えんじ更さら中心ちゅうしん的てき角かく色しょく。

参まいり见

引用いんよう

Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2.（Section 4.5 discusses congruency of matrices.）