功こう

功こう（英語えいご：work），也叫机つくえ械功，是ぜ物理ぶつり学がく中ちゅう表示ひょうじ當とう外界がいかい沿物體ぶったい位い移うつり的てき方向ほうこう施ほどこせ加か力ちから時とき，外界がいかい的てき能のう量りょう被ひ轉移てんい到いた移動いどう的てき物體ぶったい身上しんじょう，因いん為ため根據こんきょ能のう量りょう守恆もりつね定律ていりつ，兩個りゃんこ物體ぶったい的てき能のう量りょう總和そうわ不ふ會かい增加ぞうか。与あずか机つくえ械能相似そうじ的てき是ぜ，功こう也是标量，意味いみ著ちょ有ゆう多少たしょう能のう量りょう被ひ轉移てんい，国くに际单位い制せい单位为焦こげ耳みみ。

球たま员对球だま作さく正せい功こう，使つかい其动能のう增加ぞうか。
通用つうよう符號ふごう：W
SI單位たんい：J（焦こげ耳みみ）
基本きほん公式こうしき：W = F×D，W = τたうθしーた

“功いさお”一词最初是法国数学家贾斯帕-古こ斯塔夫おっと·科か里さと奥おく利とし创造的てき。

由ゆかり动能定理ていり，若わか一个外力作用于一物体使之动能从E_k0增ぞう至いたりE_k，那な么，此力所しょ做的机つくえ械功为：

$W=\Delta E_{\rm {k}}=E_{\rm {k}}-E_{\mathrm {k} 0}={\tfrac {1}{2}}m(v^{2}-v_{0}^{2})\,\!$

其中m是ぜ物体ぶったい的てき质量，v是ぜ物体ぶったい的てき速度そくど。

机つくえ械功就是力りょく与あずか位くらい移うつり的てき內積：

$W={\vec {F}}\cdot {\vec {d}}$

若わか力ちから与あずか位くらい移うつり的てき夹角小しょう于直角かく，则机械功为正，亦また称たたえ为力作さく正せい功こう。若わか力ちから与あずか位くらい移うつり的てき夹角大だい于直角かく，则机械功为负，或ある力ちから做负功こう，或ある物体ぶったい克服こくふく力作りきさく功こう。

若わか力ちから的てき方向ほうこう与あずか位くらい移うつり方向ほうこう垂直すいちょく，则此力りょく不作ふさく功いさお：

$W=0$

简介

即そく使つかい存在そんざい力りょく，也可能かのう没ぼつ有作ゆうさく功こう。例れい如，在ざい匀速圆周运动中なか，向こう心力しんりょく没ぼつ有作ゆうさく功こう，因いん为做圆周运动的てき物体ぶったい的てき动能没ぼつ有ゆう发生变化。同どう样的，桌上的てき一本いっぽん书，尽つき管かん桌对书有支持しじ力りょく，但ただし因いん没ぼつ有ゆう位い移うつり而没有作ゆうさく功こう。

单位

国くに际单位い制せい中ちゅう功こう的てき单位为焦こげ耳みみ（J）。焦こげ耳みみ被ひ定てい义为用よう1牛うし顿的力りょく对一物体使其发生1米まい的てき位い移うつり所しょ做的机つくえ械功的てき大小だいしょう。量りょう纲相あい同どう的てき单位牛うし·米まい有ゆう时也使用しよう，但ただし是ぜ一般いっぱん牛うし·米まい用よう于力ちから矩のり，使つかい其跟功こう和わ能のう区く别开。

非ひ国くに际单位い制せい单位包括ほうかつ尔格、英えい尺じゃく·磅、千せん瓦かわら时（kW·h）、大氣たいき壓力あつりょく、马力时（HP·h）。而由於具有ぐゆう相しょう同どう的てき物理ぶつり量りょう─熱ねつ能のう，偶爾會見かいけん到いた以熱量りょう熱ねつ能のう形式けいしき表示ひょうじ的てき測量そくりょう單位たんい，如：卡路里さと（cal）、BTU等とう。

功こう與能よのう

功こう與能よのう息いき息いき相關そうかん，根據こんきょ系統けいとう能のう量的りょうてき守恆もりつね，內部總そう能のう量的りょうてき變化へんか等とう於添加てんか的てき熱ねつ能のう加か上じょう环境对系統けいとう所作しょさ的てき功こう。見み熱ねつ力學りきがく第だい一いち定律ていりつ。

$\mathrm {d} E=\delta Q+\delta W$

只ただ有ゆう机つくえ械能时的情じょう况

1.保守ほしゅ力りょく作さく功こう使し「存そん」在ざい物體ぶったい中ちゅう的てき位くらい能のう釋放しゃくほう出來でき，亦また即そく保守ほしゅ力作りきさく功こう等とう於負的てき位い能のう變化へんか：

$W=-\Delta U$

2.非ひ保守ほしゅ力作りきさく功こう時じ，若わか有ゆう保守ほしゅ力作りきさく負ふ功こう則そく優先ゆうせん化か為ため位い能のう，剩あま下した的てき功こう才ざい化か為ため物體ぶったい的てき動どう能のう，即そく非ひ保守ほしゅ力作りきさく功こう等とう於總力學りきがく能のう（動どう能のう+位くらい能のう）變化へんか：

$W=\Delta E=\Delta E_{\rm {k}}+\Delta U$

3.綜合そうごう以上いじょう兩りょう點てん，一物體所受的合力包含了保守力與非保守力，非ひ保守ほしゅ力りょく使し總力そうりょく學がく能のう變へん，而保守ほしゅ力りょく將之まさゆき部ぶ份化為ため位い能のう，二に者しゃ相しょう加か，即そく合力ごうりょく作さく功こう等とう於動能のう變化へんか：

$W=\Delta E_{\rm {k}}$

根據こんきょ這些公式こうしき證明しょうめい功こう是ぜ與作よさく用よう力りょく相關そうかん的てき能のう量りょう，所以ゆえん作さく功こう是能これよし被ひ測量そくりょう的てき，是ぜ一種具有物理單位的能量。

上面うわつら所しょ討論とうろん的てき作さく功こう、能のう量りょう原理げんり也适用よう于非机つくえ械能，例れい如電じょでん器き和わ能のう源げん等とう，其原そのはら理り是ぜ相しょう同どう的てき。

約束やくそく力りょく

约束力りょく决定了りょう系けい统中物件ぶっけん的てき位い移うつり，將はた其限制せい在ざい範圍はんい內（以斜面めん加重かじゅう力りょく為ため例れい，當とう物體ぶったい受到無法むほう再さい伸長しんちょう的てき緊繩約束やくそく使し其不能ふのう再さい下した滑すべり，物體ぶったい就會卡在ざい斜面しゃめん上じょう）。它消除じょ了りょう在ざい該方向上こうじょう所有しょゆう的てき位い移うつり，即そく物體ぶったい平行へいこう此力的てき速度そくど被ひ約束やくそく為ため0，因いん此約束やくそく力りょく不ふ對たい系統けいとう作さく功いさお。

例れい如：用もちい一根绳子系上一个小球做匀速圆周运动，小しょう球たま会かい受到来とうらい自じ绳子，方向ほうこう指向しこう圆心的てき一いち个向心力しんりょく。这个力りょく的てき方向ほうこう和わ球速きゅうそく度ど的てき方向ほうこう垂直すいちょく，所以ゆえん这个力りょく不作ふさく功こう（W=0）。又また如桌上じょう有ゆう一本いっぽん书，施ほどこせ加か外力がいりょく会かい使し书在桌面上移かみうつし动。如果再さい对书施ほどこせ加か一いち个垂直すいちょく的てき力りょく（实际上じょう书受到的てき重力じゅうりょく和わ支持しじ力りょく就属于这个力），和かず其欲移うつり动之方向ほうこう垂直すいちょく，则此约束力りょく（施ほどこせ加か的てき垂直すいちょく力りょく）不作ふさく功こう。

磁场中ちゅう的てき带电粒子りゅうし受到磁力じりょく（洛らく伦兹力りょく）的てき大小だいしょう为F = qv×B，其中q为电荷に，v是ぜ粒子りゅうし速度そくど，而B为磁场强度ど。外そと积结果恆つね垂直すいちょく于兩原向はらむこう量りょう，因いん此F⊥v。而两垂直すいちょく向こう量的りょうてき內积恆つね零れい，因いん此磁力作りきさく的てき功こうW = 0。磁力じりょく可か改あらため变此粒子りゅうし运动的てき方向ほうこう，但ただし是永これなが远无法ほう改あらため变运动速率りつ（磁力じりょく不作ふさく功こう，動どう能のう不變ふへん）。帶電たいでん粒子りゅうし在ざい均ひとし強きょう磁場じば中ちゅう受到與あずか速度そくど方向ほうこう垂直すいちょく，固定こてい大小だいしょう的てき力りょく，因いん此粒子りゅうし會かい以原來らい的てき速そく率りつ作さく圓周えんしゅう運動うんどう。(質しつ譜ふ儀ぎ的てき原理げんり)

数学すうがく计算

對たい於一移動いどう的てき物體ぶったい而言，作さく功こう量りょう/時間じかん可か以從距離きょり/時間じかん（即そく速度そくど$v$）來らい計算けいさん。因よし此，在任ざいにん何なん時じ刻きざめ，力作りきさく功こう的てき功こう率りつ（焦こげ耳みみ/秒びょう、瓦かわら），其值為ため力りょく的てき純量じゅんりょう積せき（矢や量りょう）和かず作用さよう點てん上じょう的てき速度そくど矢や量りょう。力ちから的てき純量じゅんりょう積せき和わ速度そくど被ひ歸き類るい為ため瞬時しゅんじ功こう率りつ。

而正如速度ど可能かのう會かい隨ずい著ちょ時間じかん的てき推移すいい以獲得かくとく更さら長ちょう的てき距離きょり，同どう一いち條じょう路ろ徑みち上じょう的てき總そう功こう率りつ也同樣どうよう是ぜ作用さよう點てん沿著同どう一條路徑上之瞬時功率的時間積分的總和。

功こう是ぜ指ゆび質點しつてん受外力りょく作用さよう位い移うつり而產生せい的てき量りょう，當とう質點しつてん移動いどう時じ，它沿著ちょ曲線きょくせん$X$和かず速度そくど$v$在ざい所有しょゆう的てき時間じかん$t$。少量しょうりょう的てき功こう$\delta W$發生はっせい在ざい瞬時しゅんじ時間じかん$\mathrm {d} t$能のう夠寫成なり：

$\delta W=\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,\mathrm {d} t$

其中$\mathbf {F} \cdot \mathbf {v}$是ぜ在ざい$\mathrm {d} t$內的瞬時しゅんじ功こう率りつ，這些少量しょうりょう功こう的てき總和そうわ超過ちょうか該質點てん運動うんどう位い移うつり所產しょさん生せい的てき功こう量りょう。

$W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {s} }{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s}$

其中$C$的まと位い移うつり是ぜ從したがえ$\mathbf {x} (t_{1})$到いた$\mathbf {x} (t_{2})$，計算けいさん質點しつてん位い移うつり的てき積分せきぶん。

如果力りょく的てき方向ほうこう總そう是ぜ沿著這條線せん，力ちから的てき大小だいしょう為ため$F$，那な麼此積分せきぶん可か簡化為ため：

$W=\int _{C}F\,\mathrm {d} s$

其中$s$是ぜ沿著直線ちょくせん的てき位い移うつり，假設かせつ$F$固定こてい，且沿著ちょ此直線せん，則のり此積分せきぶん可か進しん一いち步ほ簡化成かせい：

$W=\int _{C}F\,\mathrm {d} s=F\int _{C}\mathrm {d} s=Fs$

其中$s$是ぜ質點しつてん沿著直線ちょくせん前進ぜんしん的てき距離きょり。

此計算けいさん可か歸納きのう為ため恆つね定じょう力りょく並なみ非ひ沿著線せん而是沿著質點しつてん。在ざい此情況きょう下か內積$\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =F\cos \theta \,\mathrm {d} s$，其中$\theta$是ぜ力りょく矢や量りょう和わ運動うんどう方向ほうこう之の間あいだ的てき角度かくど。即そく：

$W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =Fs\cos \theta$

一般いっぱん常見つねみ的てき情況じょうきょう，施ほどこせ加か的てき力りょく和わ速度そくど矢や量りょう對たい物體ぶったい成なり$90^{\circ }$（向こう心力しんりょく朝あさ下か物體ぶったい繞にょう一いち圓えん圈けん運動うんどう），由ゆかり於$\cos 90^{\circ }=0$，所以ゆえん不作ふさく功こう。因よし此可以延伸えんしん至いたり重力じゅうりょく對たい於星球だま在ざい圓形えんけい軌道きどう上じょう運動うんどう不作ふさく功こう（此為理想りそう情況じょうきょう，一般情況下軌道略呈橢圓形）。

此外物體ぶったい作さく等とう速そく圓周えんしゅう運動うんどう受到機械きかい外力がいりょく作用さよう時じ，作さく的てき功こう也為0，就像在ざい一理想情況之無摩擦力的離心機中作等速圓周運動一般。

計算けいさん功こう在ざい時間じかん和わ力作りきさく用よう在ざい一直線路徑上的數值只適用在最簡單的情況下，如上じょじょう文ぶん所しょ述じゅつ。如果力りょく會かい變化へんか，或ある物體ぶったい沿曲線せん方向ほうこう移動いどう，物體ぶったい可能かのう轉てん動どう甚至並なみ非ひ剛性ごうせい物體ぶったい，那な麼其所作しょさ的てき功こう只ただ和わ作用さよう力りょく的てき角度かくど、路みち徑みち有ゆう關せき，並なみ且只有ゆう部分ぶぶん的てき力りょく平行へいこう在ざい作用さよう點てん上じょう形成けいせい的てき速度そくど才ざい作さく功こう （相あい同どう方向ほうこう為ため正ただし，反はん方向ほうこう為ため負ふ值），此處ここ的てき力りょく可か以被描述為ため純量じゅんりょう或ある是ぜ切線せっせん分量ぶんりょう的てき純量じゅんりょう。（$F\cos \theta$，其中$\theta$是ぜ力りょく和わ速度そくど之の間あいだ的てき夾角）。

至いたり於功最さい普遍ふへん的てき定義ていぎ如下：力作りきさく功こう是ぜ其沿著作ちょさく用よう點てん上じょう的てき路ろ徑みち之の切線せっせん分量ぶんりょう的てき純量じゅんりょう也就是ぜ線せん性せい積分せきぶん。

轉うたて矩のり和わ轉てん動どう

轉うたて矩のり是ぜ從したがえ相等そうとう但ただし方向ほうこう相反あいはん的てき力作りきさく用よう於剛性せい體たい上じょう兩個りゃんこ不同ふどう的てき點てん所しょ形成けいせい。這些力りょく總和そうわ為ため零れい，但ただし它會對たい物體ぶったい影響えいきょう形成けいせい轉てん矩のりΤたう，計算けいさん作さく功こう形成けいせい的てき轉てん矩のり公式こうしき為ため：

$\delta W=\mathbf {T} \cdot {\vec {\omega }}\delta t$，其中T.ωおめが是ぜ作用さよう在ざい時間じかん點てんδでるたt上うえ。這些少量しょうりょう的てき功こう之の和大かずひろ於剛性せい體からだ運動うんどう軌跡きせき所產しょさん生せい的てき功こう。

$W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\vec {\omega }}dt$，此積分ぶん是ぜ計算けいさん剛體ごうたい沿軌跡あと運動うんどう與あずか時間じかん變化へんか的てき角速度かくそくどωおめが，可か以說與あずか運動うんどう的てき路ろ徑みち息いき息いき相關そうかん。

如果角速度かくそくど矢や量りょう保持ほじ恆つね定じょう的てき方向ほうこう，那な麼可以寫成なり：

${\vec {\omega }}={\dot {\phi }}\mathbf {S}$，其中φふぁい為ため轉てん動どう角度かくど，單位たんい矢や量りょうS。在ざい此情況きょう下か，功こう的てき轉てん矩のり可か寫うつし成なり：

$W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\vec {\omega }}dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} {\frac {d\phi }{dt}}dt=\int _{C}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} d\phi$，其中C是ぜ從したがえφふぁい（t₁）到いたφふぁい（t₂）的てき運動うんどう軌跡きせき。此積分つみわけ取ど決けつ於φふぁい（t）的てき值，因いん此與路ろ徑みち相關そうかん。

如果轉てん矩のりT與あずか角速度かくそくど矢や量りょう一致いっち，那な麼可寫うつし成なり：

$\mathbf {T} =\tau \mathbf {S}$

而且若わか轉てん矩のり和わ角速度かくそくど是ぜ恆つね定じょう的てき，那な麼功可か寫うつし成なり這個形式けいしき：

$W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\tau {\dot {\phi }}dt=\tau (\phi _{2}-\phi _{1})$。

一个大小不变且垂直于杠杆臂的力

此結果けっか可か以更簡單かんたん的てき理解りかい，如圖所しょ示しめせ。這股力りょく將はた通過つうか圓弧えんこ的てき距離きょりs=rφふぁい，所作しょさ的てき功こう即そく是ぜ：

$W=Fs=Fr\phi$，導出どうしゅつ轉てん矩のりτたう=Fr，得とく：

$W=Fr\phi =\tau \phi$

以上いじょう，請注意ちゅうい只ただ有ゆう轉てん矩のり在ざい角速度かくそくど矢や量りょう方向ほうこう的てき部分ぶぶん才ざい有作ゆうさく功こう。

力ちから与あずか位くらい移うつり

力ちから与あずか位くらい移うつり都と是ぜ矢や量りょう。功こう是ぜ力りょく与あずか位くらい移うつり的てき内うち积，為ため标量。

$W={\vec {F}}\cdot {\vec {d}}=Fd\cos \theta$           （1）

其中$\theta$是ぜ力りょく矢や量りょう和わ位い移うつり矢や量的りょうてき夹角。

为使此式正せい确，力ちから须为常つね矢や量りょう，路みち径みち须为一条いちじょう直ただし线。

如力随ずい时间变化或ある路みち径みち不ふ为直线，上うえ式しき不ふ再さい适用，此时需使用しよう曲きょく线积分ぶん。故こ功こう的てき一般いっぱん公式こうしき为：

$W=\int _{C}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}$            （2）

其中

$\textstyle _{C}$是ぜ路ろ径みち

${\vec {F}}$是ぜ力りょく矢や量りょう

${\vec {x}}$是ぜ位い移うつり矢や量りょう

表おもて达式$\delta W={\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}$是ぜ一いち个非ひ恰当微分びぶん，$\textstyle {W_{C}}$与路よろ径みち有ゆう关，求もとめ微分びぶん后きさき不能ふのう得え到いた${\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}$。

非ひ零れい力りょく可か以不作さく功こう，这一いち点てん与あずか冲量不同ふどう。冲量是ぜ力りょく对时间的累るい积。冲量是ぜ矢や量りょう，所以ゆえん圆周运动时虽向こう心力しんりょく不作ふさく功こう，但ただし产生了りょう对物体ぶったい的てき非ひ零れい冲量。

力ちから矩のり

力ちから矩のり所作しょさ功こう可か由よし下か式しき计算得え到いた：

$W=\tau \theta \$

其中$\tau$为力矩のり。

功こう與あずか動どう能のう

（功いさお）動どう能のう定理ていり（The work–kinetic energy theorem）或ある稱しょう功こう能のう定理ていり（The work–energy theorem）、功こう能のう原理げんり（The work–energy principle），意い指ゆび合力ごうりょく作用さよう在ざい物質ぶっしつ上うえ（合力ごうりょく作さく功こう）的てき功こう等とう於物質ぶっしつ的てき動どう能のう變化へんか量りょう。

合力ごうりょくW在ざい質點しつてん上うえ所作しょさ的てき功こう等とう於其動どう能のう的てき變化へんか量りょう$E_{k}$,

$W=\Delta E_{\rm {k}}={\tfrac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}mv_{1}^{2}$,

$v_{1}$ 和わ $v_{2}$分別ふんべつ是ぜ質點しつてん的てき初はつ速度そくど和わ末まつ速度そくど，m則のり是ぜ質量しつりょう。

概がい述じゅつ

功こう與能よのう的てき原理げんり由ゆかり牛うし頓ひたぶる第だい二に運動うんどう定律ていりつ推導，其中包括ほうかつ作用さよう在ざい質點しつてん上じょう的てき合力ごうりょく和わ約束やくそく反はん力ちから對質たいしつ點てん造成ぞうせい的てき位い移うつり量りょう。

对于匀变速そく直ちょく线运动的てき情じょう形がた，推导如下式しき。

$W=Fd=mad=ma\left({\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}\right)={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta {E_{k}}$，$d={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}$，$v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2ad$

一般情况下的推导则如下式。

$W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F\,vdt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}ma\,vdt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}v\,{dv \over dt}\,dt=m\int _{v_{1}}^{v_{2}}v\,dv={\tfrac {1}{2}}m(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})$。

参考さんこう

• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. Physics for Scientists and Engineers 6th ed. Brooks/Cole. 2004. ISBN 0-534-40842-7.  引文格式かくしき1维护：冗余文ぶん本ほん (link)
• Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Mechanics 3rd ed., extended version. W. H. Freeman. 1991. ISBN 0-87901-432-6.