四よん維頻率りつ

本条ほんじょう目め中ちゅう，向むかい量りょう與あずか标量分別ふんべつ用よう粗そ體からだ與あずか斜體しゃたい顯示けんじ。例れい如，位置いち向こう量りょう通どおり常用じょうよう $\mathbf {r} \,\!$ 表示ひょうじ；而其大小だいしょう則そく用よう $r\,\!$ 來らい表示ひょうじ。四維矢量用加有標號的斜體しゃたい顯示けんじ。例れい如，${x}^{\mu }\,\!$或ある${x}_{\mu }\,\!$。為ため了りょう避免歧意，四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例れい如，$(x)^{2}\,\!$表示ひょうじ$x\,\!$平方へいほう；而${x}^{2}\,\!$是これ${x}^{\mu }\,\!$的てき第だい二に個こ分量ぶんりょう。

在ざい電磁でんじ學がく裏うら，平面へいめん電磁波でんじは的てき四よん維頻率りつ $f^{\mu }$ 以公式しき定義ていぎ為ため

$f^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left(f,\,f\mathbf {n} \right)$ ；

其中，$f$ 是ぜ電磁波でんじは的てき頻しき率りつ，$\mathbf {n}$ 是ぜ朝あさ著ちょ電磁波でんじは傳播でんぱ方向ほうこう的てき單位たんい矢や量りょう。

四維頻率與自己的內積永遠えいえん等とう於零：

${f}^{\mu }{f}_{\mu }=(f)^{2}(1-n^{2})=0$ 。

類似るいじ地ち，四維角頻率 $\omega ^{\mu }$ 以公式しき定義ていぎ為ため

$\omega ^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left(\omega ,\,\omega \mathbf {n} \right)$ ；

其中，$\omega$ 是ぜ電磁波でんじは的てき角かく頻しき率りつ。

顯然けんぜん地ち，

$\omega ^{\mu }=2\pi f^{\mu }$ 。

四よん維波向むこう量りょう ${k}^{\mu }$ 與あずか四維角頻率有密切的關係，定義ていぎ為ため

${k}^{\mu }=\left(k,\,\mathbf {k} \right)$ ；

其中，$\mathbf {k}$ 是ぜ電磁波でんじは的てき波なみ向むこう量りょう。

在ざい本ほん篇へん文章ぶんしょう裏うら，閔可夫おっと斯基度ど規ぶんまわし的てき形式けいしき被ひ規定きてい為ため $diag(1,-1,-1,-1)$ ，這是参考さんこう了りょう約やく翰·傑すぐる克かつ森もり（John D. Jackson）的てき著作ちょさく《經典きょうてん電動でんどう力學りきがく》中ちゅう所しょ採用さいよう的てき形式けいしき；並なみ且使用よう了りょう經典きょうてん的てき張ちょう量りょう代数だいすう以及愛あい因いん斯坦求もとめ和わ約定やくじょう。

勞ろう侖茲變換へんかん

給きゅう予よ兩個りゃんこ慣性かんせい參考さんこう系けい ${\mathcal {S}}$ 、${\overline {\mathcal {S}}}$ ；相對そうたい於參考さんこう系けい ${\mathcal {S}}$ ，參考さんこう系けい ${\overline {\mathcal {S}}}$ 以速度そくど $\mathbf {v}$ 移動いどう。對たい於這兩個りゃんこ參考さんこう系けい，相關そうかん的てき勞ろう侖茲變換へんかん矩のり陣じん $\Lambda _{\nu }^{\mu }$ 是これ

$\Lambda _{\nu }^{\mu }={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta _{x}\,\gamma &-\beta _{y}\,\gamma &-\beta _{z}\,\gamma \\-\beta _{x}\,\gamma &1+(\gamma -1){\frac {\beta _{x}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{x}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{x}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\beta _{y}\,\gamma &(\gamma -1){\frac {\beta _{y}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\frac {\beta _{y}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{y}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\beta _{z}\,\gamma &(\gamma -1){\frac {\beta _{z}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{z}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\frac {\beta _{z}^{2}}{\beta ^{2}}}\\\end{bmatrix}}$ ；

其中，$\gamma ={\cfrac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}$ 是これ勞ろう侖茲因子いんし，$\beta ={\frac {v}{c}}$ 是これ貝かい他た因子いんし，$\beta _{x}$ 、$\beta _{y}$ 、$\beta _{z}$ 分別ふんべつ是ぜ參考さんこう系けい ${\overline {\mathcal {S}}}$ 對たい於參考さんこう系けい ${\mathcal {S}}$ 的てき x-軸じく、y-軸じく、z-軸じく方向ほうこう的てき相對そうたい速度そくど $v_{x}$ 、$v_{y}$ 、$v_{z}$ 的てき貝かい他た因子いんし。

設定せってい一いち個こ朝あさ著ちょ ${\hat {\mathbf {k} }}$ 方向ほうこう傳播でんぱ於真空しんくう的てき平面へいめん電磁波でんじは，對たい於參考さんこう系けい ${\mathcal {S}}$ ，這平面めん電磁波でんじは以公式こうしき表ひょう達たち為ため

$\mathbf {E} =E_{0}e^{-i(k^{\mu }x_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}$ 、

$\mathbf {B} =B_{0}e^{-i(k^{\mu }x_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}$ ；

其中，$\mathbf {E}$ 、$\mathbf {B}$ 分別ふんべつ是ぜ電磁波でんじは的てき電場でんじょう、磁場じば，$E_{0}$ 、$B_{0}$ 分別ふんべつ是ぜ其波なみ幅はば，$k^{\mu }$ 是ぜ四よん維波向むこう量りょう，$x_{\mu }=(ct,-\mathbf {x} )$ 是これ四よん維位置いち，$\mathbf {x}$ 是ぜ位置いち，${\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}$ 、${\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}$ 分別ふんべつ垂直すいちょく於 ${\hat {\mathbf {k} }}$ ，而且 ${\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}={\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}$ 。

那な麼，對たい於參考さんこう系けい ${\overline {\mathcal {S}}}$ ，這平面めん電磁波でんじは以公式こうしき表ひょう達たち為ため

${\overline {\mathbf {E} }}={\overline {E}}_{0}e^{-i({\overline {k}}^{\mu }{\overline {x}}_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}$ 、

${\overline {\mathbf {B} }}={\overline {B}}_{0}e^{-i({\overline {k}}^{\mu }{\overline {x}}_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}$ 。

四よん維波向むこう量りょう ${\overline {k}}^{\mu }$ 與あずか ${k}^{\mu }$ 之これ間あいだ的てき關係かんけい為ため

${\overline {k}}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }{k}^{\nu }$ 。

經過けいか一番いちばん運算うんざん，可か以求得とく

${\overline {k}}={\overline {k}}^{0}=\gamma (k-\beta _{x}k_{x}-\beta _{y}k_{y}-\beta _{z}k_{z})=k^{\mu }v_{\mu }/c$ ；

其中，$v_{\mu }=(\gamma c,\,-\gamma \mathbf {v} )$ 是ぜ參考さんこう系けい ${\overline {\mathcal {S}}}$ 相對そうたい於參考さんこう系けい ${\mathcal {S}}$ 的てき四よん維速度そくど，$\mathbf {v}$ 是ぜ參考さんこう系けい ${\overline {\mathcal {S}}}$ 相對そうたい於參考さんこう系けい ${\mathcal {S}}$ 的てき速度そくど。

在ざい真空しんくう裏うら，四維頻率與四維波向量之間的關係為

$f^{\mu }=ck^{\mu }/2\pi$ 。

所以ゆえん，

${\overline {f}}={\overline {f}}^{0}=f^{\mu }v_{\mu }/c$ 。

這也是ぜ參考さんこう系けい ${\overline {\mathcal {S}}}$ 的てき觀察かんさつ者しゃ所しょ觀かん察到的てき頻しき率りつ。

參まいり閱

• 四よん維向量りょう
• 電磁でんじ張はり量りょう

參考さんこう文獻ぶんけん

• Woodhouse, N.M.J. Special Relativity. London: Springer-Verlag. 2003: 84-90. ISBN 1852334266. 
• Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 477–543. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式かくしき1维护：冗余文ぶん本ほん (link)