定てい態たい

在ざい量子力學りょうしりきがく裏うら，定てい態たい（stationary state）是ぜ一いち種しゅ量子りょうし態たい，定てい態たい的てき機き率りつ密度みつど與あずか時間じかん無關むせき。以方程式ほうていしき表ひょう式しき，定てい態たい的てき機き率りつ密度みつど對たい於時間あいだ的てき導しるべ數すう為ため

設しつらえ想そう經典きょうてん力學りきがく裏うら的てき諧振子ふりこ系統けいとう（A-B），一條いちじょう彈たま簧的てき一いち端はし固定こてい不動ふどう，另一端有一個帶質量圓球；在ざい量子力學りょうしりきがく裏うら，（C-H）展示てんじ出で同樣どうよう系統けいとう的てき薛丁格かく方程式ほうていしき的てき六ろく個こ波は函數かんすう解かい。橫よこ軸じく坐すわ標しるべ表示ひょうじ位置いち，豎軸坐すわ標しるべ表示ひょうじ機き率りつ幅はば的てき實み部ぶ（藍色あいいろ）或ある虛きょ部ぶ（紅色こうしょく）。（C-F）是ぜ定てい態たい，（G、H）不ふ是ぜ定てい態たい。定てい態たい的てき能のう量りょう為ため駐ちゅう波なみ振動しんどう頻しき率りつ與あずか約やく化か普ふ朗ろう克かつ常數じょうすう的てき乘じょう積せき。

描述諧振子ふりこ的てき含時薛丁格かく方程式ほうていしき的てき三さん個こ波は函數かんすう解かい。左邊さへん：波なみ函數かんすう機き率りつ幅はば的てき實み部ぶ（藍色あいいろ）或ある虛きょ部ぶ（紅色こうしょく）。右邊うへん：找到粒子りゅうし在ざい某ぼう位置いち的てき機き率りつ，這說明せつめい了りょう為ため甚麼いんも機き率りつ與あずか時間じかん無關むせき的てき量子りょうし態たい被ひ稱しょう為ため「定てい態たい」。上面うわつら兩個りゃんこ橫よこ排はい是ぜ定てい態たい，最下さいか面めん橫よこ排はい是ぜ疊たたみ加か態たい $\psi _{N}=(\psi _{0}+\psi _{1})/{\sqrt {2}}$ 。

{\frac {d}{dt}}|\Psi (x,\,t)|^{2}=0

；

其中， $\Psi (x,\,t)$ 是ぜ定てい態たい的てき波なみ函數かんすう， $x$ 是ぜ位置いち， $t$ 是ぜ時間じかん。

設定せってい一いち個こ量子りょうし系統けいとう的てき含時薛丁格かく方程式ほうていしき為ため

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi +V\Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi

；

其中， $\hbar$ 是これ約やく化か普ふ朗ろう克かつ常數じょうすう， $m$ 是ぜ質量しつりょう， $V(x)$ 是これ位い勢ぜい。

這個方程式ほうていしき有ゆう一個定態的波函數解：

\Psi (x,\,t)=\psi (x)e^{-iEt/\hbar }

；

其中， $\psi (x)$ 是これ $\Psi (x,\,t)$ 的てき不ふ含時間あいだ部分ぶぶん， $E$ 是能これよし量りょう。

將はた這定態たい波は函數かんすう代入だいにゅう含時薛丁格かく方程式ほうていしき，則のり可か除去じょきょ時間じかん關係かんけい：

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi +V\psi =E\psi

。

這是一いち個こ不ふ含時薛丁格かく方程式ほうていしき，可か以用來らい求もとめ得え本ほん徵ちょう能のう量りょう $E$ 與あずか伴とも隨ずい的てき本ほん徵ちょう函數かんすう $\psi _{E}(x)$ 。定てい態たい的てき能のう量りょう都と是ぜ明確めいかく的てき，是ぜ定てい態たい薛丁格かく方程式ほうていしき的てき本ほん徵ちょう能のう量りょう $E$ ，波なみ函數かんすう $\psi (x)$ 是ぜ定てい態たい薛丁格かく方程式ほうていしき的てき本ほん徵ちょう函數かんすう $\psi _{E}(x)$ 。

機き率りつ密度みつど與あずか時間じかん無關むせき

雖然定てい態たい $\Psi (x,\,t)$ 很明顯あらわ的てき含時間あいだ。含時間あいだ部分ぶぶん是ぜ個こ相そう位い因子いんし。定てい態たい的てき機き率りつ密度みつど不ふ含有がんゆう相しょう位い因子いんし這項目め：

|\Psi (x,\,t)|^{2}=|\psi (x)|^{2}

。

所以ゆえん，定てい態たい的てき機き率りつ密度みつど與あずか時間じかん無關むせき。一個直接的後果就是期き望もち值也都與あずか時間じかん無關むせき。例れい如，位置いち的てき期き望もち值 $\langle x\rangle$ 是これ

{\begin{aligned}\langle x\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}(x,\,t)x\Psi (x,\,t)\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\,x|\Psi (x,\,t)|^{2}\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\,x|\psi (x)|^{2}\,dx\\\end{aligned}}

。

再さい舉一いち例れい，動どう量的りょうてき期き望もち值 $\langle p\rangle$ 是これ

{\begin{aligned}\langle p\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}(x,\,t){\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi (x,\,t)\,dx\\&={\frac {\hbar }{i}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x)e^{iEt/\hbar }{\frac {\partial }{\partial x}}(\psi (x)e^{-iEt/\hbar })\,dx\\&={\frac {\hbar }{i}}\int _{-\infty }^{\infty }\,\psi ^{*}(x){\frac {\partial }{\partial x}}\psi (x)\,dx\\\end{aligned}}

。

所以ゆえん， $\langle x\rangle$ 和わ $\langle p\rangle$ 都と與あずか時間じかん無關むせき。一般いっぱん而言，給きゅう予よ任意にんい一個位置與動量的函數 $f(x,\,p)$ ，期き望もち值 $\langle f(x,\,p)\rangle$ 必然ひつぜん與あずか時間じかん無關むせき。

參まいり閱

參考さんこう文獻ぶんけん

Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.