度量どりょう张量

度量どりょう張はり量りょう（英語えいご：Metric tensor）在ざい黎はじむ曼幾何なに裡うら面めん又また叫さけべ黎はじむ曼度量りょう，物理ぶつり学がく译为度ど規ぶんまわし張はり量りょう，是ぜ指ゆび一いち用よう來らい衡量度量どりょう空そら间中距離ちゅうきょり，面積めんせき及角度かくど的てき二に階かい張ちょう量りょう。

内容ないよう

當とう选定一個局部坐標系統$x^{i}$，度量どりょう張はり量りょう為ため二に階かい張ちょう量りょう一般いっぱん表示ひょうじ為ため $\textstyle \mathrm {d} s^{2}=\sum _{ij}g_{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}$，也可以用矩のり陣じん $(g_{ij})$ 表示ひょうじ，記き作為さくいG或あるg。而 $g_{ij}$ 記號きごう傳統でんとう地ち表示ひょうじ度量どりょう張ちょう量的りょうてき協きょう變へん分量ぶんりょう（亦また為ため「矩のり陣じん元素げんそ」）。

$a$ 到いた $b$ 的てき弧線こせん長ちょう度たび定てい义如下か，其中参さん数すう定てい為ためt，t由よしa到いたb:

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{ij}g_{ij}{\mathrm {d} x^{i} \over \mathrm {d} t}{\mathrm {d} x^{j} \over \mathrm {d} t}}}\mathrm {d} t$

兩個りゃんこ切せつな向こう量的りょうてき夾角 $\theta$,設しつらえ向こう量りょう $\textstyle U=\sum _{i}u^{i}{\partial \over \partial x_{i}}$ 和わ $\textstyle V=\sum _{i}v^{i}{\partial \over \partial x_{i}}$，定義ていぎ為ため：

$\cos \theta ={\frac {\langle u,v\rangle }{|u||v|}}={\frac {\sum _{ij}g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|\sum _{ij}g_{ij}u^{i}u^{j}\right|\left|\sum _{ij}g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}$

若わか $f$ 為ため$\mathbb {R} ^{n}$ 到いた $\mathbb {R} ^{n}$ 的てき局部きょくぶ微分びぶん同どう胚はい，其誘導出どうしゅつ的てき度量どりょう張ちょう量的りょうてき矩のり陣じん形式けいしき $G$，由ゆかり以下いか方程式ほうていしき計算けいさん得とく出で：

$G=J^{T}J$

$J$ 表示ひょうじ $f$ 的てき雅みやび可か比ひ矩のり阵，它的轉置てんち为 $J^{T}$。著名ちょめい例れい子こ有ゆう $\mathbb {R} ^{2}$ 之これ間あいだ從したがえ極座標きょくざひょう系けい $(r,\theta )$ 到いた直角ちょっかく座標ざひょう $(x,y)$ 的てき座標ざひょう變換へんかん，在ざい這例子こ裡うら有ゆう：

$x=r\cos \theta$

$y=r\sin \theta$

這映射的しゃてき雅みやび可か比ひ矩のり陣じん為ため

$J={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}.$

所以ゆえん

$G=(g_{ij})=J^{\mathrm {T} }J={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &-r\sin \theta \cos \theta +r\sin \theta \cos \theta \\-r\cos \theta \sin \theta +r\cos \theta \sin \theta &r^{2}\sin ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}\$

這跟微積分びせきぶん裡うら極座標きょくざひょう的てき黎はじむ曼度量りょう, $\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}$，一致いっち。

例れい子こ

歐おう幾里いくさと德とく幾何きか度量どりょう

二維歐幾里德度量張量：

$(g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

弧線こせん長ちょう度ど轉うたて為ため熟じゅく悉微積分びせきぶん方程式ほうていしき：

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x^{1}}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t$

在ざい其他坐すわ標しるべ系統けいとう的てき歐おう氏し度量どりょう：

极坐标系：$(x^{1},x^{2})=(r,\theta )$

$(g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0\\0&(x^{1})^{2}\end{bmatrix}}$

圓柱えんちゅう坐すわ標しるべ系けい：$(x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,z)$

$(g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

球たま坐すわ標しるべ系けい：$(x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\phi ,\theta )$

$(g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&(x^{1}\sin x^{2})^{2}\end{bmatrix}}$

平坦へいたん的てき闵可夫おっと斯基空そら间 (狭せま义相对论)：$(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)\,$

$(g_{\mu \nu })=(\eta _{\mu \nu })\equiv {\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

在ざい一いち些習慣しゅうかん中ちゅう，與あずか上面うわつら相反あいはん地ち，時間じかんct的まと度ど規ぶんまわし分量ぶんりょう取と正號せいごう而空間あいだ (x,y,z)的てき度ど規ぶんまわし分量ぶんりょう取と負號ふごう，故こ矩のり陣じん表示ひょうじ為ため：

$(g_{\mu \nu })=(\eta _{\mu \nu })\equiv {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}$

參看さんかん

• 偽にせ黎はじむ曼度量りょう