立方根りっぽうこん

如果一いち個こ數かず$x$的てき立方りっぽう等とう於$a$，那な麼這個數こすう$x$就是$a$的てき立方根りっぽうこん，其中$a$稱たたえ為ため被ひ開ひらけ方かた數すう，而$x$可か以是正數せいすう、0、負數ふすう或ある虚数きょすう。例れい如3的てき立方りっぽう為ため27，那な麼這個數こすう3就是27的てき一いち个立方根りっぽうこん（在ざい实数范围内ない）。若わか$x$是正ぜせい實數じっすう，這個乘の積せき相當そうとう於一いち個こ邊あたり長ちょう為ため$x$的てき立方体りっぽうたい的てき体積たいせき。

$y={\sqrt[{3}]{x}}\quad (x\geq 0)$的てき图像

符號ふごう

在ざい实数系けい中なか，实数$a$的てき立方根りっぽうこん通どおり常用じょうよう${\sqrt[{3}]{a}}$表示ひょうじ，可か读作「$a$的てき立方根りっぽうこん」，「立方根りっぽうこん$a$」或ある「根號こんごう$a$開ひらけ三さん次じ方かた」。

值得注意ちゅうい的てき是ぜ，某ぼう个实数すう$a$的てき立方根りっぽうこん在ざい複數ふくすう系けい中ちゅう可能かのう有ゆう1个，或ある者もの2个，或ある者もの3个，但ただし在ざい实数系けい中ちゅう有ゆう且仅有ゆう1个。即そく在ざい实数系けい中ちゅう，实数$a$的てき立方根りっぽうこん唯一ゆいいつ确定。習慣しゅうかん上じょう，三さん次じ根号こんごう${\sqrt[{3}]{a}}$僅用来らい表示ひょうじ實數じっすう解かい。例れい如：${\sqrt[{3}]{1}}$仅表示ひょうじ实数1，而不表示ひょうじ複數ふくすう${\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}$，与あずか${\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}$。

1的てき立方根りっぽうこん

即そく解かい$x^{3}=1$，解法かいほう如下：

$\Rightarrow x^{3}-1=0$

$\Rightarrow (x-1)(x^{2}+x+1)=0$（立方りっぽう差さ）

$\Rightarrow x-1=0$或ある$x^{2}+x+1=0$

$\Rightarrow x=1$或ある$x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}$（公式こうしき解かい）

令れい$\omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}$，則のり$\omega ^{2}={\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}$；反はん之これ，令れい$\omega ={\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}$，則のり$\omega ^{2}={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}$。由よし以上いじょう的てき式子しょくし可か看み出で$\omega$的てき特性とくせい有ゆう：

• ${{{{\omega }^{2}}+{\omega }}+{1}}=0$
• ${{\omega }^{3}}=1$（將しょう$\omega$代だい回かい$x^{3}=1$求もとめ得え）

故こ$\omega$可か代表だいひょう${\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}$中なか的てき任にん何なん一いち數すう，即そく$\omega$為ため1的てき立方りっぽう虛きょ根ね。

數かず值方法ほう

• 牛うし頓ひたぶる法ほう：$x_{i+1}={\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{x_{i}^{2}}}+2x_{i}\right)$
• 哈雷法ほう：$x_{i+1}=x_{i}\left({\frac {x_{i}^{3}+2a}{2x_{i}^{3}+a}}\right)$

符号ふごう史し

1220年ねん意い大利おおとし人ひと斐波那な契ちぎり第だい一いち次じ使用しよう$\operatorname {R} x$來らい表ひょう達たち立方根りっぽうこん，$\operatorname {R}$源みなもと于拉丁ひのと文ぶんradix的てき首くび字母じぼ，意思いし为“根ね、方ほう根ね”。

十じゅう七なな世紀せいき初はつ時じ，法ほう國こく數學すうがく家か笛ふえ卡兒（1596－1650）在ざい他た的てき著作ちょさく幾何きか學がく中ちゅう第だい一いち次じ使用しよう不連續ふれんぞく的てき「√」及「￣」表示ひょうじ根號こんごう，其中“√”为小写うつしr的てき变形。到いた了りょう18世せい纪中叶かのう，数学すうがく家か卢贝（Loubere）将はた前面ぜんめん的てき方かた根ね符号ふごう与あずか线括号ごう一いち笔写成なり，并将根ね指数しすう写うつし在ざい根号こんごう的てき左上ひだりうえ角かく，以表示ひょうじ高次こうじ方かた根ね（根ね指数しすう为2时，省略しょうりゃく不ふ写うつし）。从而，形成けいせい了りょう我わが们现在所ざいしょ用よう的てき开方符号ふごう${\sqrt {\color {white}x}}$。

參まいり見み

• 方ほう根ね

外部がいぶ連結れんけつ

• 埃ほこり里さと克かつ·韦斯坦ひろし因いん. 立方根りっぽうこん. MathWorld.