雙そう曲きょく餘弦よげん

雙そう曲きょく餘弦よげん
性質せいしつ
奇偶きぐう性せい	偶
定義ていぎ域いき	(-∞,∞)
到達とうたつ域いき	[1,∞)
特定とくてい值
當とうx=0	1
當とうx=+∞	+∞
當とうx=-∞	+∞
最大さいだい值	+∞
最小さいしょう值	1
其他性質せいしつ
渐近线	無む
根ね	無む實根みね 見み雙そう曲きょく餘弦よげん#根ね一節いっせつ
臨界りんかい點てん	0
拐點	無む
不動點ふどうてん	無む

在ざい數學すうがく中なか，雙そう曲きょく餘弦よげん是ぜ一いち種しゅ雙そう曲きょく函數かんすう，是ぜ雙そう曲きょく幾何きか中なか，與あずか歐おう幾里いくさと得とく幾何きか的てき餘弦よげん函數かんすう相對そうたい應おう的てき函數かんすう。雙そう曲きょく餘弦よげん一いち般以cosh表示ひょうじ，在ざい部分ぶぶん較舊的てき文獻ぶんけん中有ちゅうう時じ會かい以${\mathfrak {Cos}}$表示ひょうじ。雙そう曲きょく餘弦よげん可か以用來らい描述悬链线，即そく兩りょう端はし固定こてい自然しぜん下垂かすい的てき繩なわ索さく，因いん此可以用於進行しんこう悬索桥的てき工程こうてい計算けいさん。

定義ていぎ

雙そう曲きょく餘弦よげん一般いっぱん記き為ため$\cosh$（有ゆう時じ會かい簡寫為ため$\operatorname {ch}$），其在複ふく分析ぶんせき中ちゅう定義ていぎ為ため：

${\begin{matrix}\cosh :&\mathbb {C} &\to &\mathbb {C} \\&z&\mapsto &\displaystyle {\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}\end{matrix}}$

其中$z\mapsto e^{z}$是これ複ふく變へん指數しすう函數かんすう。

複數ふくすう域いき雙そう曲きょく餘弦よげん的てき色相しきそう環たまき複ふく變へん函數かんすう圖形ずけい

雙そう曲きょく餘弦よげん與あずか自然しぜん指數しすう函數かんすう的てき關聯かんれん

綠色みどりいろ線せん為ため雙そう曲きょく餘弦よげん函數かんすう、藍色あいいろ線せん為ため自然しぜん指數しすう函數かんすう、橙色だいだいいろ線せん為ため自然しぜん指數しすう函數かんすう的てき倒たおせ數すう。可か以看到いた雙そう曲きょく餘弦よげん函數かんすう為ため自然しぜん指數しすう函數かんすう與あずか其倒數すう的てき平均へいきん數すう

也就是ぜ說せつ，雙そう曲きょく餘弦よげん可か以視為ため指數しすう函數かんすう與あずか其倒たおせ數すう的てき算術さんじゅつ平均へいきん數すう，即そく雙そう曲きょく餘弦よげん為ため自然しぜん指數しすう函數かんすう的てき偶函數すう部分ぶぶん。

在ざい雙そう曲きょく幾何きか中ちゅう，雙そう曲きょく餘弦よげん函數かんすう類似るいじ於歐幾里いくさと得とく幾何きか中ちゅう的てき餘弦よげん函數かんすう。一般いっぱん的てき餘弦よげん可か以表示ひょうじ為ため單位たんい圓上えんじょう特定とくてい角かく的てき終おわり邊あたり正ただし向こう與あずか圓えん之の交點こうてん的てきx座標ざひょう；而雙曲きょく餘弦よげん則そく代表だいひょう單位たんい雙曲線そうきょくせん上じょう特定とくてい雙そう曲きょく角かく的てき終おわり邊あたり正ただし向こう與あずか單位たんい雙曲線そうきょくせん之の交點こうてん的てきx座標ざひょう。 對たい於非單位たんい雙曲線そうきょくせん的てき情じょう形がた，如以下か列れつ形式けいしき定義ていぎ的てき雙曲線そうきょくせん：

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

令れい$P$為ため雙そう曲きょく角かく的てき終おわり邊あたり與あずか雙曲線そうきょくせん的てき交點こうてん，並なみ令れい$P'$為ため點てん$P$在ざい共軛きょうやく雙曲線そうきょくせん${\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1$上うえ對應たいおう的てき點てん：

$P=\left(x_{P},\,y_{P}\right)$

$P'=\left({\frac {ay_{P}}{b}},\,{\frac {bx_{P}}{a}}\right)$

此時雙そう曲きょく角かく$\alpha$可か以透過とうか交點こうてん$P$ 、共軛きょうやく點てん$P'$與原よはら點てん構成こうせい的てき三角形さんかっけい（三角形さんかっけい$OPP'$）與あずか雙そう曲きょく扇形せんけい$OAP$的てき面積めんせき比ひ來らい定義ていぎ：

$\alpha ={\frac {\mathrm {sector} OAP}{\triangle {OPP'}}}$

在ざい這個定義ていぎ下か，雙そう曲きょく餘弦よげん為ため雙そう曲きょく角かく$\alpha$的てき終おわり邊あたり正ただし向こう與あずか單位たんい雙曲線そうきょくせん之の交點こうてん的てきx座標ざひょう除じょ以雙曲線きょくせん方かた程ほど${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$係數けいすう$a$的てき結果けっか：

$\cosh \alpha ={\frac {x_{P}}{a}}$

(a)雙曲線そうきょくせん中ちゅう雙そう曲きょく角かく可か透過とうか雙そう曲きょく扇形せんけいQOP 與三よそう角形かくがた$\triangle {OPP'}$的てき面積めんせき比ひ定義ていぎ，此時雙そう曲きょく餘弦よげん則そく為ため$\triangle {OQP'}$與あずか$\triangle {OPP'}$的てき面積めんせき比ひ

(b)同樣どうよう地ち，在ざい圓上えんじょう也適用てきよう，並なみ且對應おう三さん角かく函數かんすう中ちゅう的てき餘弦よげん函數かんすう

此外，亦また可か以透過とうか三角形面積比來定義雙曲餘弦。若わか右みぎ圖ず(a)中ちゅう雙そう曲きょく角かくQOP 定義ていぎ為ため：

$u={\frac {\mathrm {sector} OPQ}{\triangle {OPP'}}}$

則のり其雙曲きょく餘弦よげん為ため：

$\cosh u={\frac {\triangle {OQP'}}{\triangle {OPP'}}}$

這個定義ていぎ對應たいおう到いた單位たんい圓えん上うえ則そく可か以定義ていぎ一般いっぱん的てき餘弦よげん函數かんすう。若わか右みぎ圖ず(b)中角なかずみQOP 定義ていぎ為ため：

$\theta ={\frac {\mathrm {sector} OPQ}{\triangle {OPP'}}}$

則のり其對應おう餘弦よげん為ため：

$\cos \theta ={\frac {\triangle {OQP'}}{\triangle {OPP'}}}$

性質せいしつ

雙そう曲きょく餘弦よげん曲線きょくせん下か的てき面積めんせき（黃色おうしょく部分ぶぶん）與あずか曲線きょくせん長ちょう度ど（紅色こうしょく部分ぶぶん）相あい同どう

雙そう曲きょく餘弦よげん在ざい實數じっすう域いき中ちゅう是ぜ連續れんぞく函數かんすう，在ざい複數ふくすう域いき中ちゅう是ぜ全ぜん純じゅん函數かんすう，因いん此在整せい個こ複數ふくすう域いき中ちゅう雙そう曲きょく餘弦よげん處處しょしょ可か微ほろ，其導函數かんすう為ため雙そう曲きょく正弦せいげん函數かんすう。雙そう曲きょく餘弦よげん是ぜ偶函數すう，這意味あじ著ちょ，雙そう曲きょく餘弦よげん滿足まんぞく以下いか等式とうしき：

$\cosh x=\cosh \left(-x\right)$

雙そう曲きょく餘弦よげん曲線きょくせん下か的てき面積めんせき（在ざい有限ゆうげん區間くかん內）總そう是ぜ等とう於該區間くかん對應たいおう的てき弧こ長ちょう：

${\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{arc length.}}$

由ゆかり歐おう拉ひしげ公式こうしき $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$和かず雙そう曲きょく函數かんすう與あずか指數しすう函數かんすう的てき關聯かんれん$e^{x}=\cosh x+\sinh x$能のう推出雙そう曲きょく餘弦よげん與あずか餘弦よげん的てき關係かんけい：

$\cos ix=\cosh x$

特殊とくしゅ值

雙そう曲きょく餘弦よげん存在そんざい一些特殊值：

• $\cosh(0)=1$
• $\cosh(1)={\frac {e^{2}+1}{2e}}$
• $\cosh(i)=\cos(1)$
• $\cosh(\ln \varphi )={\frac {\sqrt {5}}{2}}$

其中$\varphi$為ため黃金おうごん比例ひれい、$e$為ため自然しぜん對數たいすう的てき底そこ數すう。

根ね

對たい於不同どう單位たんい複數ふくすう$\omega$，$\cosh \left(\omega x\right)$的てき繪圖えず，其中藍色あいいろ線せん為ため實數じっすう部ぶ、橙色だいだいいろ線せん為ため虛數きょすう部ぶ。可か以看到いた$\cosh \left(ix\right)$有ゆう實根みね，即そく藍色あいいろ線せん與あずか橙色だいだいいろ線せん同時どうじ與あずかx軸じく相しょう交

函數かんすう的てき根ね代表だいひょう函數かんすう值為0的てき點てん。雙そう曲きょく餘弦よげん函數かんすう的てき根ね可か透過とうか求もとめ解かい下か列れつ方かた程ほど得え到いた：

$\cosh x=0$

在ざい實數じっすう域いき中ちゅう，雙そう曲きょく餘弦よげん的てき最小さいしょう值為1，不ふ與あずかx軸じく相しょう交，因いん此上述じょうじゅつ方かた程ほど無む實根みね。

而在複數ふくすう域いき中ちゅう可か以找到いた雙そう曲きょく餘弦よげん的てき根ね。所有しょゆう雙そう曲きょく餘弦よげん為ため零れい的てき點てん都みやこ是ただし純じゅん虛數きょすう：

$\cosh z=0\Leftrightarrow z\in i\pi \left(\mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}\right).$

原因げんいん是ぜ，若わか將しょう$z$表示ひょうじ成なり$x+iy$，其中$x,y$皆みな為ため實數じっすう，則のり由ゆかり$\cosh z=\cosh x\cos y+i\sinh x\sin y$有ゆう：

$\cosh z=0\Leftrightarrow \left(\cos y=0\land \sinh x=0\right)\Leftrightarrow \left(y\in \{{\frac {\pi }{2}}+k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \}\land x=0\right)$

例れい如：

$\cosh \left({\frac {\pi i}{2}}\right)=0.$

用途ようと

物理ぶつり學がく

主しゅ条目じょうもく：懸かか鏈線

不同ふどう$a$值的懸かか鏈線函數かんすう圖形ずけい

雙そう曲きょく餘弦よげん可か以用來らい描述懸かか鏈線。懸かか鏈線在ざい物理ぶつり學がく中ちゅう，可か以用於描繪え軟繩位い於水平すいへい兩りょう點てん間あいだ，在ざい鉛直えんちょく方向ほうこう均ひとし勻受力りょく下か自然しぜん形がた變へん後ご的てき形狀けいじょう。其可以表示ひょうじ為ため：

$y=a\cosh {\frac {x}{a}}$

其中，$y$為ため繩なわ子こ的てき高度こうど，繩なわ子こ的てき最低さいてい點てん定てい為ためy軸じく（$x=0$），$a$是ぜ一いち個こ常數じょうすう，由ゆかり繩なわ子こ本身ほんみ性質せいしつ（如密度みつど）、與あずか懸がか鏈線懸かか掛かけ的てき方式ほうしき決定けってい，通常つうじょう可か以表示ひょうじ為ため$a={\frac {T_{0}}{g\lambda }}$，其中$g$是これ重力じゅうりょく加速度かそくど、$\lambda$是ぜ繩なわ子こ的てき密度みつど、$T_{0}$為ため繩なわ子こ上じょう每ごと一點處張力的水平分量。

建築けんちく學がく

聖ひじり路ろ易えき斯拱門もん是ぜ一個使用雙曲餘弦曲線設計的建築物

雙そう曲きょく餘弦よげん在ざい建築けんちく學がく與あずか工程こうてい學がく中ちゅう一般用於計算懸索橋工程產生的懸鏈線。安やす东尼·高だか迪すすむ是これ最早もはや將はた雙そう曲きょく餘弦よげん曲線きょくせん融とおる入にゅう建築けんちく設計せっけい的てき建築けんちく師し之の一いち，例れい如其作品さくひん聖せい家いえ堂どう以及科か洛らく尼あま亚桂尔教堂どう就有用よう到いた。

美國びくに密みつ蘇そ里さと州しゅう聖きよし路ろ易えき的てき聖ひじり路ろ易えき斯拱門もん是ぜ一個倒過來的雙曲餘弦曲線外型的建築物。該拱門もん的てき最高さいこう點てん離はなれ地面じめん約やく192公おおやけ尺じゃく，其拱頂いただき近似きんじ於以下方かほう程ほど：

$y=-39\,\mathrm {m} \cosh \left({\frac {x}{39}}\right)+231\,\mathrm {m}$

其中$\mathrm {m}$表示ひょうじ單位たんい為ため公おおやけ尺じゃく，且$x$滿足まんぞく$-96<x<96$公おおやけ尺じゃく。而具體ぐたい的てき幾何きか結構けっこう由ゆかり結構けっこう工程こうてい師し漢かん斯卡爾なんじ·班はん德とく爾なんじ提供ていきょう給きゅう埃ほこり罗·萨里宁的てき數學すうがく方かた程ほど確定かくてい。

$y=A\left(\cosh {\frac {Cx}{L}}-1\right)\quad \Leftrightarrow \quad x={\frac {L}{C}}\cosh ^{-1}\left(1+{\frac {y}{A}}\right)$,

其中，常つね量りょう$A$為ため${\frac {f_{c}}{{\frac {Q_{b}}{Q_{t}}}-1}}=\,$ 68.7672英えい尺じゃく（21米まい）、常數じょうすう$C$為ため$\cosh ^{-1}{\frac {Q_{b}}{Q_{t}}}=3.0022$；$f_{c}=$625.0925英えい尺じゃく（191米まい）為ため質しつ心的しんてき最高さいこう點てん、$Q_{b}=$1,262.6651 sq ft（117 m²）為ため截面積めんせき的てき最大さいだい值（在ざい拱底取と到いた）、$Q_{t}=$125.1406 sq ft（12 m²）為ため截面積めんせき的てき最小さいしょう值（在ざい拱頂取と到いた）、$L=$299.2239英えい尺じゃく（91米まい）質しつ心しん位い於拱底そこ之の寬ひろし度ど的てき一半いっぱん。

參まいり見み

• 餘弦よげん