−1

在ざい數學すうがく中なか，負ふ一いち寫うつし作さく −1，是ぜ 1 的てき加法かほう逆ぎゃく元もと，即そく當とう −1 加か上じょう 1 之これ後ご就變為ため 0。−1 是ぜ介かい於 −2 與あずか 0 之これ間あいだ的てき整數せいすう，亦また是ぜ最大さいだい的てき負ふ整數せいすう。

-1

← −2 −1 0 →
数かず表ひょう — 整数せいすう <<  −10  −9‍  −8‍ −7 −6  −5‍ −4 −3 −2 −1 >>
命名めいめい
小しょう寫うつし	负一
大だい寫うつし	负壹
序數詞じょすうし	第だい負まけ一いち negative first
識別しきべつ
種類しゅるい	整數せいすう
性質せいしつ
質しつ因數いんすう分解ぶんかい	單位たんい元もと
因數いんすう	1
絕對ぜったい值	1
相反あいはん数すう	1
表示ひょうじ方式ほうしき
值	-1
算さん筹
二に进制	−1(2)
八はち进制	−1(8)
十じゅう二に进制	−1(12)
十じゅう六ろく进制	−1(16)
語かたり言げん
阿おもね拉ひしげ伯はく文ぶん	−١
孟はじめ加か拉ひしげ语	−১

高こう斯整數すう導しるべ航こう
			↑
			2i
		−1+i	i	1+i
←	−2	−1	0	1	2	→
		−1−i	−i	1−i
			−2i
			↓

負ふ一いち與あずか歐おう拉ひしげ恆等こうとう式しき相あい關聯かんれん，此恆等こうとう式しき表示ひょうじ為ため${{e}^{{i}\,{\pi }}}=-1$。

在ざい軟體開發かいはつ中ちゅう，用よう來らい表示ひょうじ變量へんりょう包含ほうがん無用むよう的てき信しん息いき，亦また能のう作為さくい函數かんすう錯誤さくご時じ的てき傳つて回かい值。

在ざい编程语言中なか，取と决于第だい一个元素是用 0 还是 1 表示ひょうじ，−1 可か以用来らい索引さくいん数かず组的てき最さい后きさき一いち个元素げんそ，或ある者もの倒たおせ数すう第だい二に个元素げんそ。

−1 和わ 1 有ゆう许多相似そうじ但ただし略ほぼ有ゆう不同ふどう的てき特性とくせい。

代數だいすう性質せいしつ

將はた一いち數字すうじ乘じょう上じょう-1的てき動作どうさ，等價とうか於將此數值變號ごう。藉由分配ぶんぱい律りつ，以及1是ぜ乘法じょうほう運算うんざん的てき單位たんい元もと之これ公理こうり，對たい於實數すうx，我わが們得到いた

$x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0\cdot x=0$

這裡我わが們使用よう了りょう「任意にんい實數じっすうx乘じょう上じょう0等とう於0」，將はたx從したがえ等式とうしき中ちゅう約やく掉。

$0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\,$

複ふく平面へいめん或ある直角ちょっかく坐すわ標しるべ系けい上うえ的てき0, 1, −1, i, 和かず −i

也就是ぜ，

$x+(-1)\cdot x=0\,$

故こ(−1) · x是これ x的てき相反あいはん數すう。

負ふ一いち平方へいほう

−1的てき平方へいほう亦また即そく−1乘じょう於−1，等とう於1。意い即そく，兩りょう負まけ實數じっすう相乘そうじょう為ため一いち正せい實數じっすう。

代數だいすう證明しょうめい此結果けっか

$0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]$

第だい一個等式取自上一段落的結果。第だい二に個こ等式とうしき是ぜ根據こんきょ「−1是ぜ1的てき加法かほう逆ぎゃく元もと」。 再さい使用しよう分配ぶんぱい律りつ，我わが們得到いた

$0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)$

第だい三さん個こ等式とうしき依據いきょ是ぜ：1是ぜ乘法じょうほう運算うんざん的てき單位たんい元もと。然しか後ご在ざい等式とうしき前後ぜんこう加か上じょう1

$(-1)\cdot (-1)=1$

以上いじょう運算うんざん適用てきよう於任意にんい環たまき。

負ふ一いち的てき平方根へいほうこん

複數ふくすう$i$滿足まんぞく${{i}^{2}}=-1$，也可視し為ため-1的てき平方根へいほうこん。另一个能滿足まんぞくx² = −1的てき複數ふくすうx是ぜ−i。四よん元げん數すう的てき代數だいすう包含ほうがん複數ふくすう平面へいめん，等式とうしきx² = −1擁よう有無うむ限げん多た組ぐみ解かい。

負ふ一いち的てき乘じょう冪べき

我わが們定義ていぎ$x^{-1}={\frac {1}{x}}$，即そく代數だいすうx的てき−1次じ方かた，或ある代數だいすうx的てき倒たおせ數すう。可か將しょう此定義ていぎ結合けつごう指數しすう定律ていりつ$x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}\ a,b\in \mathbb {R}$ 。 負數ふすう整數せいすう形式けいしき的てき指數しすう可か以拓展てん到いた環たまき的てき逆ぎゃく元素げんそ，定義ていぎ$x^{-1}$作為さくい$x$的てき乘法じょうほう逆ぎゃく元もと。

函はこ式しき或ある矩のり陣じん右上みぎうえ的てき-1不ふ是ぜ指數しすう，而是反はん函數かんすう與あずか反はん矩のり陣じん。例れい如：$f^{-1}(x)$是これ$f(x)$的てき反はん函數かんすう，$\sin ^{-1}(x)$是これ反はん正弦せいげん函數かんすう。

负一的てき对数

包括ほうかつ-1在ざい内的ないてき所有しょゆう负数在ざい实数域いき中ちゅう是ぜ没ぼつ有ゆう对数的てき，但ただし在ざい复数域いき，根ね据すえ欧おう拉ひしげ恒等こうとう式しき${{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0$，可か以得出で-1的てき自然しぜん对数$\ln {(-1)}=i\pi$。

維數

主しゅ条目じょうもく：負ふ維空間あいだ

空そら集しゅう的てき歸納きのう維數被ひ定義ていぎ為ため-1。在ざい抽象ちゅうしょう幾何きか學がく中なか，空そら多た胞形的てき維數亦また被ひ定義ていぎ為ため-1。

計算けいさん機き的てき表示法ひょうじほう

大だい多數たすう計算けいさん機き系統けいとう使用しよう二に補數ほすう來らい表示ひょうじ負ふ整數せいすう。此系統けいとう中ちゅう，所有しょゆう位い元もと皆みな為ため一いち以表示ひょうじ-1，若わか以8-bit有ゆう符號ふごう整數せいすう表示ひょうじ，即そく為ため二に进制的てき"11111111"，或ある十じゅう六ろく進しん位い制せい的てき"FF"。若わか將しょう-1解讀かいどく為ためn位くらい無む符號ふごう整數せいすう，n個こ1將しょう表示ひょうじ為ため2ⁿ − 1，且較有ゆう符号ふごう整數せいすう系統けいとう能のう容よう納おさめ更さら大數たいすう值。例れい如，8-bit的てき"11111111"表示ひょうじ為ため${{{2}^{8}}-{1}}=255$。

在ざいSetun計算けいさん機き中ちゅう $-1$以倒轉てん的てき阿おもね拉ひしげ伯はく數字すうじ一いち「1」表示ひょうじ。

參まいり見み條目じょうもく

• 1：-1的てき相反あいはん數すう
• 数かず表ひょう