擬なずらえ群ぐん

在ざい數學すうがく中なか，特別とくべつ是ぜ抽象ちゅうしょう代數だいすう裏うら，擬なずらえ群ぐん是ぜ一いち種しゅ類似るいじ於群ぐん的てき代數だいすう結構けっこう。擬なずらえ群ぐん與あずか群ぐん的てき相しょう像ぞう之の處しょ是ぜ也能夠進行しんこう除法じょほう運算うんざん，但ただし擬なずらえ群ぐん中ちゅう並なみ沒ぼつ有ゆう群ぐん所しょ擁よう有ゆう的てき結合けつごう律りつ。有ゆう單位たんい元もと的てき擬なずらえ群ぐん稱しょう作さく么擬群ぐん或ある者もの圈けん（loop）。

定義ていぎ

擬なずらえ群ぐん的てき正規せいき定義ていぎ有ゆう兩りょう種たね，分別ふんべつ帶たい有ゆう一いち種しゅ和わ三さん種しゅ二元にげん運算うんざん。

代數だいすう

一いち個こ擬なずらえ群ぐん (Q, *) 是ぜ一いち個こ集合しゅうごう Q 與あずか一いち個こ二元にげん運算うんざん * 的てき結合けつごう（即そく一いち個こ原はら群ぐん），滿足まんぞく對たい Q 中なか的てき任意にんい元素げんそ a 和わ b，都と存在そんざい唯一ゆいいつ的てき Q 中元ちゅうげん素もと x 和わ y，使つかい得とく：

$a*x=b$ ；
$y*a=b$ 。

這兩個りゃんこ唯一ゆいいつ的てき元素げんそ被ひ記き作さく：x = a \ b 和わ y = b / a。其中「\」和わ「/」分別ふんべつ表示ひょうじ被ひ二に元もと運算うんざん所しょ定義ていぎ的てき「左ひだり除法じょほう」和かず「右みぎ除法じょほう」。擬なずらえ群ぐん的てき公理こうり化か需要じゅよう用よう到いた存在そんざい量りょう詞し，因いん此也就需要よう建立こんりゅう在ざい一いち階かい邏輯之これ上じょう。

泛代數すう

擬なずらえ群ぐん的てき第だい二に個こ定義ていぎ是ぜ建立こんりゅう在ざい泛代數すう的てき背景はいけい中ちゅう。泛代數すう希望きぼう代數だいすう結構けっこう為ため簇むらが，也就是ぜ說せつ其公理化りか過程かてい應おう該只需要じゅよう到いた等式とうしき的てき概念がいねん。在ざい這樣的てき要求ようきゅう下か，擬なずらえ群ぐん被ひ定義ていぎ為ため：

一いち個こ擬なずらえ群ぐん (Q, *, \, /) 是ぜ一いち種しゅ (2,2,2) 代數だいすう，其滿足まんぞく等式とうしき:

y = x * (x \ y) ；
y = x \ (x * y) ；
y = (y / x) * x ；
y = (y * x) / x 。

因いん此如果はて (Q, *) 是ぜ依據いきょ第だい一種いっしゅ定義ていぎ的てき擬なずらえ群ぐん，那な麼 (Q, *, \, /) 則のり是ぜ其在泛代數すう範疇はんちゅう內對應おう的てき概念がいねん。

圈けん

一いち個こ有ゆう單位たんい元もと的てき擬なずらえ群ぐん稱しょう為ため一いち個こ么擬群ぐん或ある一いち個こ圈けん。這裏的てき單位たんい元もと是ぜ指ゆび Q 中元ちゅうげん素もと e 使つかい得とく：

x*e = x = e*x 。

可か以證明しょうめい單位たんい元もと e 是ぜ唯一ゆいいつ的てき，並なみ且這時じ每ごと一いち個こ Q 中元ちゅうげん素もと都と有ゆう唯一ゆいいつ的てき一いち個こ左ひだり逆ぎゃく元もと和わ右みぎ逆ぎゃく元もと。

例れい子こ

每まい個こ群ぐん都みやこ是ただし圈けん，因よし為ため a * x = b 若わか且唯若わか x = a⁻¹ * b，以及y * a = b 若わか且唯若わか y = b * a⁻¹。
整數せいすう集合しゅうごう Z 以及其上的てき減法げんぽう (−) 構成こうせい擬なずらえ群ぐん（但ただし不ふ構成こうせい半はん群ぐん）。
所有しょゆう非ひ零れい的てき有理數ゆうりすう的てき集合しゅうごう Q* （或ある者もの所有しょゆう非ひ零れい實數じっすう構成こうせい的てき R*）以及其上的てき除法じょほう (÷) 構成こうせい一いち個こ擬なずらえ群ぐん。
所有しょゆう特徵とくちょう不為ふため2的てき域いき上うえ的てき向むかい量りょう空間くうかん以及其上的てき二に元もと運算うんざん x * y = (x + y) / 2 構成こうせい了りょう一いち個こ冪べき等とう的てき交換こうかん的てき擬なずらえ群ぐん。
每まい個こ斯坦納おさめ三さん元げん系統けいとう都と定義ていぎ了りょう一いち個こ冪べき等とう交換こうかん的てき擬なずらえ群ぐん：其運算うんざん為ため將しょう a * b 對應たいおう到いた包含ほうがん a 和わ b 的てき三さん元げん數すう組くみ的てき第だい三さん個こ元もと。
集合しゅうごう{±1, ±i, ±j, ±k}，其中ii = jj = kk = 1 並なみ且其他た運算うんざん同どう於四よん元げん群ぐん，構成こうせい了りょう非ひ結合けつごう的てき8元げん圈けん。
非ひ零れい八はち元げん數すう以及其上的てき乘法じょうほう構成こうせい了りょう一いち個こ圈けん，稱たたえ為ためMoufang圈けん.
一般いっぱん來らい說せつ，一いち個こ可か除じょ代數だいすう上うえ的てき所有しょゆう非ひ零れい元もと構成こうせい一いち個こ擬なずらえ群ぐん。

性質せいしつ

擬なずらえ群ぐん具有ぐゆう可か消去しょうきょ性せい：如果 ab = ac，那な麼 b = c。同樣どうよう地ち，如果 ba = ca，那な麼 b = c。

左ひだり乘じょう與あずか右みぎ乘じょう

擬なずらえ群ぐん Q 的てき定義ていぎ說明せつめい擬なずらえ群ぐん中ちゅう的てき左ひだり乘じょう變換へんかん和わ右みぎ乘じょう變換へんかん：

L(x)y=xy\,

R(x)y=yx\,

都みやこ是ただし Q 到いた自身じしん的てき雙そう射い。原はら群ぐん Q 是ぜ擬なずらえ群ぐん若わか且唯若わか這兩個りゃんこ變換へんかん是ぜ雙そう射い變換へんかん，而且它們的てき逆ぎゃく變換へんかん給きゅう出で了りょう右みぎ除じょ和わ左ひだり除じょ變換へんかん：

L(x)^{-1}y=x\backslash y\,

R(x)^{-1}y=y/x\,

在ざい這種標記ひょうき下か，擬なずらえ群ぐん寫うつし作さく：

{\begin{aligned}L(x)L(x)^{-1}&=1\qquad &x(x\backslash y)&=y\\L(x)^{-1}L(x)&=1\qquad &x\backslash (xy)&=y\\R(x)R(x)^{-1}&=1\qquad &(y/x)x&=y\\R(x)^{-1}R(x)&=1\qquad &(yx)/x&=y\end{aligned}}

拉ひしげ丁ひのと方かた

一個有限擬群的乘法構成的乘法表是一個拉ひしげ丁ひのと方かた：一いち個こ n × n 的まと表ひょう格かく，每まい行くだり每ごと列れつ都と是ぜ n 個こ不同ふどう的てき元素げんそ的てき排列はいれつ，並なみ且每個こ元素げんそ恰好かっこう出現しゅつげん在ざい每まい一いち行ぎょう和わ每ごと一いち列れつ各かく一いち次じ。

反はん之これ，每まい個こ拉ひしげ丁ひのと方かた都と可か以以多種たしゅ方式ほうしき成なり為ため一いち個こ擬なずらえ群ぐん的てき乘法じょうほう表ひょう。

逆ぎゃく的てき性質せいしつ

對たい於每個こ圈けん，圈けん中ちゅう的てき每まい個こ元素げんそ都と有ゆう左ひだり逆ぎゃく和わ右みぎ逆ぎゃく：

x^{\lambda }=e/x\qquad x^{\lambda }x=e

x^{\rho }=x\backslash e\qquad xx^{\rho }=e

稱たたえ一いち個こ圈けん是ぜ雙そう邊あたり可逆かぎゃく的てき，如果對たい圈けん所有しょゆう的てき x， $x^{\lambda }=x^{\rho }$ 。這時的てき擬なずらえ元素げんそ一般いっぱん簡記為ため $x^{-1}$ 。

一いち個こ圈けん有ゆう 左ひだり可逆かぎゃく性質せいしつ，如果對たい所有しょゆう的てき $x$ 和わ $y$ 都みやこ有ゆう $x^{\lambda }(xy)=y$ 。同樣どうよう地ち， $L(x)^{-1}=L(x^{\lambda })$ 或ある者もの $x\backslash y=x^{\lambda }y$ 。
一いち個こ圈けん有ゆう 右みぎ可逆かぎゃく性質せいしつ，如果對たい所有しょゆう的てき $x$ 和わ $y$ 都みやこ有ゆう $(yx)x^{\rho }=y$ 。同樣どうよう地ち， $R(x)^{-1}=R(x^{\rho })$ 或ある者もの $y/x=yx^{\rho }$ 。
一いち個こ圈けん有ゆう 反はん自じ同どう構逆性質せいしつ ，如果 $(xy)^{\lambda }=y^{\lambda }x^{\lambda }$ 或ある者もの $(xy)^{\rho }=y^{\rho }x^{\rho }$ 。
一いち個こ圈けん有ゆう 弱じゃく可逆かぎゃく性質せいしつ，如果 $(xy)z=e$ 若わか且唯若わか $x(yz)=e$ 。一個等價的敘述是對所有的 $x$ 和わ $y$ 都みやこ有ゆう $(xy)^{\lambda }x=y^{\lambda }$ 或ある者もの $x(yx)^{\rho }=y^{\rho }$ 。

如果一個圈同時具有左可逆和右可逆性質，則のり稱しょう其有 可逆かぎゃく性質せいしつ。可逆かぎゃく的てき圈けん同時どうじ也擁有ゆう反はん自じ同どう構逆性質せいしつ和わ弱じゃく可逆かぎゃく性質せいしつ。實際じっさい上じょう，滿足まんぞく以上いじょう四個性質中任意兩個的圈都是可逆的，而滿足まんぞく前まえ三個性質之一的圈都是雙邊可逆的。

態たい射しゃ

一いち個こ擬なずらえ群ぐん或ある圈けん同どう態たい是ぜ兩個りゃんこ擬なずらえ群ぐん（圈けん）之の間あいだ的てき映うつ射い：f : Q → P 滿足まんぞく f(xy) = f(x)f(y)。擬なずらえ群ぐん同どう態たい保持ほじ了りょう左右さゆう除法じょほう以及單位たんい元もと（如果有ゆう的てき話ばなし）。

同どう倫りん與あずか同どう痕あと

設しつらえ Q 和わ P 為ため擬なずらえ群ぐん，一いち個こ從したがえ Q 到いた P 的てき 擬なずらえ群ぐん同どう倫りん 是ぜ一いち個こ從したがえ Q 到いた P 的てき映うつ射い三さん元げん組ぐみ(αあるふぁ, βべーた, γがんま) 使つかい得とく對たい Q 中ちゅう所有しょゆう的てき x, y，有ゆう

\alpha (x)\beta (y)=\gamma (xy)\,

三個映射都相同時，就是一いち個こ擬なずらえ群ぐん同どう態たい。

一いち個こ同どう痕あと是ぜ使し得とく (αあるふぁ, βべーた, γがんま) 中ちゅう所有しょゆう的てき三個映射都是雙そう射い的てき擬なずらえ群ぐん同どう倫りん。兩個りゃんこ擬なずらえ群ぐん是ぜ同どう痕あと的てき若わか且唯若わか它們之の間あいだ存在そんざい同どう痕あと映うつ射しゃ。在ざい拉ひしげ丁ひのと方かた中ちゅう，三さん元げん組ぐみ (αあるふぁ, βべーた, γがんま) 由よし第だい αあるふぁ和わ第だい βべーた列れつ的てき一個置換以及其餘集合上的一個置換 γがんま給きゅう出で。

一いち個こ自じ同どう痕あと是ぜ從したがえ Q 射い到いた自身じしん的てき同どう痕あと。一個擬群的所有自同痕構成一個群。

每まい個こ擬なずらえ群ぐん都と與あずか某ぼう個こ圈けん同どう痕あと。如果一個圈與某個群同痕，那な麼它與此群同どう構，因いん此也為ため一いち個こ群ぐん。但ただし是ぜ，如果一個擬群與某個群同痕，由よし於缺乏けつぼう單位たんい元もと，擬なずらえ群ぐん本身ほんみ不ふ一定いってい是ぜ群ぐん。比ひ如說，實數じっすう集合しゅうごう R 與あずか其上的てき運算うんざん(x+y)/2 構成こうせい的てき擬なずらえ群ぐん同どう痕あと於 R 上うえ的てき加法かほう群ぐん，但ただし它本身ほんみ不ふ是ぜ群ぐん。

參まいり見み

參考さんこう來らい源げん

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