全ぜん序じょ关系

全ぜん序じょ关系，也称为线性顺序（英語えいご：Total order, linear order）即そく集合しゅうごう$X$上うえ的てき反はん对称的てき、传递的てき和わ完全かんぜん的てき二元にげん关系（一般いっぱん称しょう其为$\leq$）。

若わか$X$满足全ぜん序じょ关系，则下列れつ陈述对于$X$中なか的てき所有しょゆう$a,b$和わ$c$成立せいりつ：

• 反はん对称性せい：若わか$a\leq b$且$b\leq a$则$a=b$
• 传递性せい：若わか$a\leq b$且$b\leq c$则$a\leq c$
• 完全かんぜん性せい：$a\leq b$或ある$b\leq a$

满足全ぜん序じょ关系的てき集合しゅうごう叫さけべ做全ぜん序じょ集合しゅうごう、线性序じょ集合しゅうごう、简单序じょ集合しゅうごう或ある链。 链还常用よう来らい描述偏へん序じょ集合しゅうごう的てき全ぜん序じょ子こ集しゅう。

全ぜん序じょ关系的てき完全かんぜん性せい可か以如下か这样描述：集合しゅうごう中ちゅう的てき任にん何なん一对元素都是可か相互そうご比ひ较的てき。

注意ちゅうい完全かんぜん性せい条件じょうけん蕴涵了りょう自じ反はん性せい：$a\leq a$，因いん此全序じょ关系也是（满足“完全かんぜん性せい”条件じょうけん的てき）偏へん序じょ关系。

严格全ぜん序じょ

对于每ごと一いち（非ひ严格）全ぜん序じょ关系≤都と有ゆう一关联的非对称的严格全ぜん序じょ关系<，它可以用以下いか两种等とう价的方式ほうしき定てい义：

• $a<b$当とう且仅当とう$a\leq b$且$a\neq b$
• $a<b$当とう且仅当とう$\neg (b\leq a)$（即そく$>$为$\leq$的てき逆ぎゃく补关系けい）

性せい质：

• 传递性せい：$a<b$且$b<c$蕴涵$a<c$。
• 三さん分ふん性せい：$a<b$, $b<a$和わ$a=b$中有ちゅうう且仅有ゆう一いち个成立せいりつ。
• 弱じゃく序じょ性せい：其中关联的てき等とう价是相等そうとう的てき。

我わが们可以通过指定してい$<$为三さん分ふん二に元げん关系，用よう这两种等阶的方式ほうしき来き定てい义全序じょ$\leq$：

• $a\leq b$当とう且仅当とう$a<b$或ある$a=b$
• $a\leq b$当とう且仅当とう$\neg (b<a)$

另两个关联的关系是ぜ补关系けい$\geq$和わ$>$，它们构成了りょう四元よつもと组$\{<,>,\leq ,\geq \}$。

我わが们可以用这四个关系中的任何一个来定义全序集，符号ふごう指ゆび明あきら了りょう全ぜん序じょ集しゅう的てき严格性せい。

例れい子こ

• 字典じてん序じょ的てき字母じぼ表ひょう，比ひ如$A<B<C$等ひとし等ひとし。
• 全ぜん序じょ集しゅう的てき任にん何なん保持ほじ原げん次序じじょ不ふ变的子こ集しゅう。
• 满足完全かんぜん性せい的てき偏へん序じょ集しゅう。
• 基数きすう或ある序じょ数すう集しゅう（严格地ち说，它们都と是ぜ良りょう序じょ集しゅう）。
• 若わか$X$为任何なん集合しゅうごう，$f$为$X$到いた一いち全ぜん序じょ集しゅう的てき单射，则$f$诱导$X$为$x_{1}<x_{2}$当とう且仅当とう$f(x_{1})<f(x_{2})$的てき全ぜん序じょ集しゅう。
• 有ゆう序じょ数すう的てき全ぜん序じょ集しゅう的てき直ちょく积的字典じてん序じょ是ぜ全ぜん序じょ的てき，例れい如按字典じてん序じょ排はい序じょ的てき任にん何なん单词表ひょう——长为$n$的てき单词可か视为字母じぼ表ひょう集合しゅうごう的てき直ちょく积自乘じじょう$n$次じ所得しょとく结果集合しゅうごう中ちゅう的てき元素げんそ。
• 拥有小しょう于（$<$）和大かずひろ于关系けい（$>$）的てき实数集しゅう是ぜ全ぜん序じょ的てき，因いん此其子こ集しゅう（自然しぜん数すう集しゅう、整数せいすう集しゅう、有理数ゆうりすう集しゅう等とう）均ひとし为全序じょ集しゅう。
  • 自然しぜん数すう集しゅう是ぜ最小さいしょう的てき无上うえ界かい全ぜん序じょ集しゅう。
  • 整数せいすう集しゅう是ぜ最小さいしょう的てき无界全ぜん序じょ集しゅう。
  • 有理数ゆうりすう集しゅう是ぜ最小さいしょう的てき无界稠密ちゅうみつ全ぜん序じょ集しゅう。
  • 实数集しゅう是ぜ最小さいしょう的てき无界连通全ぜん序じょ集しゅう。

参まいり见

• 二元にげん关系
• 偏へん序じょ关系

引用いんよう

• George Grätzer (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0442-0
• John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4