德とく鲁德模型もけい

德とく鲁德模型もけい中ちゅう的てき电子（蓝色）不断ふだん在ざい较重的てき、静止せいし的てき晶あきら体からだ离子中ちゅう间（红色）徘徊はいかい。

电传导的てき德とく鲁德模型もけい在ざい1900年ねん 由ゆかり保ほ罗·德とく鲁德提出ていしゅつ，以解释电子在ざい物もの质（特とく别是金属きんぞく）中ちゅう的てき输运性せい质。这个模型もけい是ぜ分子ぶんし运动论的てき一いち个应用よう，假かり设了电子在ざい固体こたい中ちゅう的てき微ほろ观表现可以用经典的てき方法ほうほう处理，很像一いち个彈たま珠たま台だい，其中电子不断ふだん在ざい较重的てき、相あい对固定こてい的てき正せい离子之の间来回かい反はん弹。

德とく鲁德模型もけい的てき两个最さい重要じゅうよう的てき结果是ぜ电子的てき运动方かた程ほど：

${\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=q\mathbf {E} -{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }},$

以及电流密度みつど$J$与あずか电场$E$之これ间的线性关系：

$\mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .$

在ざい这里，$t$代表だいひょう时间，$p$、$q$、$n$、$m$和わ$\tau$分ぶん别代表だいひょう电子的てき动量、电荷、数かず密度みつど、质量、以及与离子碰撞之の间的平均へいきん自由じゆう时间。后きさき一个表达式尤其重要，因いん为它用よう半はん定量ていりょう的てき术语解かい释了为什么欧おう姆定律ていりつ（电磁学がく中ちゅう最さい普遍ふへん存在そんざい的てき一いち个关系けい）应该是正ぜせい确的。

解かい释

直流ちょくりゅう电场

德とく鲁德模型もけい最さい简单的てき分析ぶんせき，假かり设了电场$\mathbf {E}$既すんで是ぜ均ひとし匀的又また是ぜ恒つね定じょう的てき，且电子こ的てき热速度そくど足あし够大，使つかい得とく它们在ざい碰撞之の间仅仅积累るい了りょう无穷小しょう的てき动量$d\mathbf {p}$，这平均へいきん每ごと隔へだた$\tau$秒びょう发生一いち次じ。

于是，在ざい时间$t$分ぶん离的电子自じ从它上じょう一次碰撞将平均运动了$\tau$秒びょう，因いん此将积累了りょう动量：

$d\langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .$

在ざい它上一次碰撞期间，这个电子向こう前面ぜんめん反はん弹的机つくえ会かい将はた刚刚与あずか向こう后きさき面めん反はん弹的机つくえ会かい相等そうとう，因いん此所有しょゆう对电子こ动量的てき之の前まえ的てき贡献都と可か以忽略りゃく，便びん得え到いた表おもて达式：

$\langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .$

代入だいにゅう以下いか关系：

$\langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle ,$

$\mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle ,$

便びん得とく出上いでかみ面めん提ひっさげ到いた的てき欧おう姆定律ていりつ的てき表ひょう述じゅつ：

$\mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .$

时变分析ぶんせき

电子的てき运动也可以通过引入いれ一个有效的阻力来描述。在ざい时间$t=t_{0}+dt$，电子的てき平均へいきん动量将はた为：

$\langle \mathbf {p} (t_{0}+dt)\rangle =\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left(\langle \mathbf {p} (t_{0})\rangle +q\mathbf {E} dt+...\right),$

由よし于平均へいきん来らい说，$(1-dt/\tau )$个电子こ将はた不ふ经历另外一いち次じ碰撞，而那些经历另外がい一次碰撞的电子将对总的动量仅有可忽略的贡献。

经过一いち番ばん计算，便びん得とく出で以下いか的てき微分びぶん方かた程ほど：

${\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\mathbf {E} -{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},$

其中$\langle \mathbf {p} \rangle$表示ひょうじ平均へいきん动量，m表示ひょうじ有效ゆうこう质量，q表示ひょうじ电子的てき电荷。这是一个非齐次微分方程，它的通どおり解かい为：

$\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\tau \mathbf {E} +\mathbf {C} e^{-t/\tau }$

于是，稳态解かい（${\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} \rangle =0$）为：

$\langle \mathbf {p} \rangle =q\tau \mathbf {E} ,$

像ぞう上面うわつら一いち样，平均へいきん动量可か以与平均へいきん速度そくど有ゆう关，而这又また可か以与电流密度みつど有ゆう关：

$\langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle ,$

$\mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle ,$

于是可か以证明あきら，物もの质满足あし欧おう姆定律ていりつ，其直流ちょくりゅう电电导率りつ为$\,\sigma _{0}$：

$\mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .$

德とく鲁德模型もけい还可以预言げん在ざい角かく频率为$\,\omega$的てき时变电场的てき响应下か的てき电流，在ざい这种情じょう况下：

$\sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1+i\omega \tau }}.$

这里假かり设了

$E(t)=\Re (E_{0}e^{i\omega t});$

$J(t)=\Re (\sigma (\omega )E_{0}e^{i\omega t}).$

还存在そんざい另一种惯例れい，所有しょゆう方かた程ほど中なか的てき$\,i$都と用よう$\,-i$来らい代替だいたい。虚数きょすう部分ぶぶん表示ひょうじ电流落后于电场，这是由よし于电子こ大だい约需要よう时间$\,\tau$来らい对电场的变化作出さくしゅつ响应。这里德とく鲁德模型もけい是ぜ应用于电子こ的てき；它既可か以应用よう于电子こ，又また可か以应用よう于空穴あな，也就是ぜ说，半はん导体中ちゅう的てき正せい电荷载流子こ。

模型もけい的てき准じゅん确性

这个简单、经典的てき德とく鲁德模型もけい提供ていきょう了りょう金属きんぞく中なか的てき直流ちょくりゅう电和交流こうりゅう电传导、霍尔效こう应，以及热传导的てき非常ひじょう好このみ的てき解かい释。这个模型もけい也解释了1853年ねん发现的てき魏ぎ德とく曼-弗どる朗ろう茨いばら定律ていりつ。然しか而，它大大高おおたか估了金属きんぞく的てき电子热容。实际上じょう，金属きんぞく和わ绝缘体たい在ざい常温じょうおん下か的てき热容大だい致上相等そうとう。虽然模型もけい可か以应用よう于正电荷（空そら穴あな）载流子こ，像ぞう霍尔效こう应所验证的てき那な样，它并不ふ预言它们的てき存在そんざい。

德とく鲁德在ざい最初さいしょ的てき论文中ちゅう犯はん了りょう一个概念性的错误，他た估计电导率りつ仅有实际值的一半いっぱん。

参まいり见

• 自由じゆう电子模型もけい
• 阿おもね诺·索さく末まつ菲
• 经典和かず量子りょうこ传导
• 电导率りつ