投影とうえい切片せっぺん定理ていり

在ざい数学すうがく上じょう，二に维情况下的てき投影とうえい切片せっぺん定理ていり（英語えいご：projection-slice theorem）（或ある称しょう中心ちゅうしん切片せっぺん定理ていり，英語えいご：central slice theorem、傅でん里さと叶かのう切片せっぺん定理ていり，英語えいご：Fourier slice theorem）表明ひょうめい以下いか两个运算的てき结果相等そうとう：

• 将はた二に维函数すう$f\left(\mathbf {r} \right)$先さき投影とうえい到いた一いち维的线上（即そく进行拉ひしげ东变换），并对投影とうえい结果进行傅でん里さと叶かのう变换。
• 对相同どう的てき函数かんすう先さき进行二维傅里叶变换，然しか后きさき通どおり过平行へいこう于投影とうえい线的原点げんてん对其进行切片せっぺん。

以算子こ形式けいしき表示ひょうじ，令れい：

• $F_{1}$和わ$F_{2}$分ぶん别为一维和二维傅里叶变换算子
• $P_{1}$为投影とうえい算さん子こ（即そく将はた二维函数投影为一维的线）
• $S_{1}$为切片へん算さん子こ（从函数すう中通なかとおり过原点てん提ひっさげ取ど一いち维切片へん）

则有：

$F_{1}P_{1}=S_{1}F_{2}$

以上いじょう结论可か以推广到高だか维情况。

该定理ていり可か以应用よう于医学がくCT扫描中なか，此时，“投影とうえい”是ぜ对体内ない器官きかん的てきX光成みつなり像ぞう。对成像ぞう结果的てき傅でん里さと叶かのう变换可か以看作さく是ぜ体内たいない器官きかん三维密度的傅里叶变换的切片，而这些切片へん通どおり过插值可以构造づくり密度みつど的てき完かん整せい傅でん里さと叶かのう变换。对得到いた的てき完かん整せい结果应用傅でん里さと叶かのう逆ぎゃく变换可か以得到いた目め标体的てき密度みつど。这一技わざ术由罗纳德とく·布ぬの雷かみなり斯韦尔于1956年ねん为射电天文学ぶんがく问题开发。

N维的投影とうえい切片せっぺん定理ていり

在ざいN维情况下，投影とうえい切片せっぺん定理ていり表明ひょうめいN维函数すう$f\left(\mathbf {r} \right)$投影とうえい于m维线性子こ流りゅう形がた的てき傅でん里さと叶かのう变换等とう同どう于该函数かんすうN维傅里さと叶かのう变换的てきm维切片へん，切片せっぺん由ゆかりm维的线性子こ流りゅう形がた组成，该流形がた穿ほじ过傅里さと叶かのう空そら间中的てき原点げんてん，并平行へいこう于投影とうえい子こ流りゅう形がた。以算子こ形式けいしき表示ひょうじ该定理ていり，则有：

$F_{m}P_{m}=S_{m}F_{N}.\,$

傅でん里さと叶かのう切片せっぺん定理ていり的てき推广

除じょ了りょう推广到N维空间外，投影とうえい切片せっぺん定理ていり还可以通过改变基函数かんすう得え到いた进一いち步ほ推广。为了方便ほうべん表示ひょうじ，我わが们将基もと的てき变化表示ひょうじ为矩阵$B$，该矩阵为大小だいしょう为$N\times N$的てき可逆かぎゃく矩のり阵。广义傅でん里さと叶かのう切片せっぺん定理ていり则可以表示ひょうじ为：

$F_{m}P_{m}B=S_{m}{\frac {B^{-T}}{|B^{-T}|}}F_{N}$

其中$B^{-T}=(B^{-1})^{T}$是ぜ对基变换矩のり阵$B$求もとめ逆ぎゃく的てき转置。

二维情况下的证明

二维投影切片定理的图示。$f\left(\mathbf {r} \right)$和わ$F\left(\mathbf {k} \right)$ 是ぜ二维傅里叶变换对。$f\left(\mathbf {r} \right)$在ざい x 轴上的てき投影とうえい是ぜ$f\left(\mathbf {r} \right)$沿平行へいこう于 y 轴的方向ほうこう的てき线积分ぶん，记为$p\left(x\right)$。通つう过$F\left(\mathbf {k} \right)$的てき切片せっぺん位い于$k_{x}$ 轴上，该轴平行へいこう于$x$ 轴并，记为 $s\left(k_{x}\right)$。投影とうえい切片せっぺん定理ていり指出さしで$p\left(x\right)$ 和わ$s\left(k_{x}\right)$ 是ぜ一维傅里叶变换对。

二维的情况下的投影切片定理容易证明。此处取投影とうえい线作为 x 轴，由ゆかり于可以通过平移うつり和わ旋转变换投影とうえい线到x轴上，所しょ该选取方式ほうしき具有ぐゆう普遍ふへん性せい。

设$f\left(x,y\right)$为二に维函数すう，其在x轴方向ほうこう方かた向上こうじょう的てき投影とうえい$p\left(x\right)$为：

$p(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dy.$

$f\left(x,y\right)$的てき二维傅里叶变换为：

$F(k_{x},k_{y})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,e^{-2\pi i(xk_{x}+yk_{y})}\,dxdy.$

在ざい傅でん里さと叶かのう域いき的てき切片せっぺん$s(k_{x})$为：

$s(k_{x})=F(k_{x},0)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,e^{-2\pi ixk_{x}}\,dxdy$

$=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dy\right]\,e^{-2\pi ixk_{x}}dx$

$=\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\,e^{-2\pi ixk_{x}}dx$

其正是ぜ$p\left(x\right)$的てき傅でん里さと叶かのう变换。更さら高だか维的证明可か以从以上いじょう例れい子中こなか推广得え到いた。

FHA（Fourier-Hankel-Abel）循环

如果二に维函数すう $f\left(\mathbf {r} \right)$是ぜ圆对称しょう的てき，它可以表示ひょうじ为$f\left(r\right)$，其中$r=\left|\mathbf {r} \right|$。此时，投影とうえい到いた任にん何なん投影とうえい线上都と是ぜ$f\left(r\right)$的てき阿おもね贝尔变换。$f\left(\mathbf {r} \right)$ 的てき二维傅里叶变换等价于$f\left(r\right)$零れい阶汉克尔变换给出的てき圆对称しょう函数かんすう，因いん此它也将表示ひょうじ通どおり过原点てん的てき任にん何なん切片せっぺん。投影とうえい切片せっぺん定理ていり指出さしで，投影とうえい的てき傅でん里さと叶かのう变换等とう同どう于傅里さと叶かのう变换的てき切片せっぺん，以算子こ形式けいしき表示ひょうじ为：

$F_{1}A_{1}=H,$

其中$A_{1}$表示ひょうじ阿おもね贝尔变换算さん子こ，将はた二维圆对称函数投影到一维的线上，$F_{1}$表示ひょうじ一维傅里叶变换算子，$H$表示ひょうじ零れい阶汉克かつ尔变换算子こ。

扇形せんけい束たば和わ锥形束たばCT的てき推广

投影とうえい切片せっぺん定理ていり适用于具有ぐゆう平行へいこう束たば投影とうえい的てきCT图像重じゅう建けん，但ただし其并不ふ适用于扇形がた束たばね或ある锥形束たば的てきCT。该定理ていり于1995年ねん被ひShuang-ren Zhao扩展到いた了りょう扇形せんけい束たば和わ锥形束たばCT图像重じゅう建けん。

参まいり见

• 拉ひしげ东变换#与あずか傅でん里さと叶かのう变换的てき关系