簡森不等式ふとうしき

琴きん生せい不等式ふとうしき

琴きん生せい不等式ふとうしき（英語えいご：Jensen's inequality，台湾たいわん稱しょう作さく簡森不等式ふとうしき），或ある稱しょう延のべ森もり不等式ふとうしき，以丹に麥むぎ數學すうがく家か約やく翰·延のべ森もり命名めいめい。它給出で積分せきぶん的てき凸とつ函數かんすう值和凸とつ函數かんすう的てき積分せきぶん值間的てき關係かんけい，在ざい此不等式とうしき最さい簡單かんたん形式けいしき中ちゅう，闡明せんめい了りょう對たい一いち平均へいきん做凸函數かんすう轉換てんかん，會かい小しょう於等於先做凸函數かんすう轉換てんかん再さい平均へいきん。若わか將はた簡森不等式ふとうしき應用おうよう在ざい二に點てん上じょう，就回到いた了りょう凸とつ函數かんすう的てき基本きほん性質せいしつ：过一个凸函数上任意两点所作割わり线一定在这两点间的函数图象的上方，即そく：

$tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2})\geq f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right),0\leq t\leq 1.$

一般いっぱん形式けいしき

延のべ森もり不等式ふとうしき可か以用測度そくど論ろん或ある概がい率りつ論ろん的まと語ご言げん給きゅう出で。這兩種しゅ方式ほうしき都と表明ひょうめい同どう一いち個こ很一般いっぱん的てき結果けっか。

測度そくど論ろん的てき版本はんぽん

假設かせつ$\mu$是ぜ集合しゅうごう$\Omega$的てき正せい測度そくど，使つかい得とく$\mu (\Omega )=1$。若わか$g$是これ勒貝格かく可か積せき的てき實じつ值函數かんすう，而$\varphi$是ぜ在ざい$g$的てき值域上じょう定義ていぎ的てき凸とつ函數かんすう，則のり

$\varphi \left(\int _{\Omega }g\,d\mu \right)\leq \int _{\Omega }\varphi \circ g\,d\mu$

概がい率りつ論ろん的てき版本はんぽん

以概率りつ論ろん的てき名詞めいし，$\mu$是これ個こ概がい率りつ測度そくど。函數かんすう$g$換かわ作づく實じつ值隨ずい機き變數へんすう$X$（就純數學すうがく而言，兩者りょうしゃ沒ぼつ有ゆう分別ふんべつ）。在ざい$\Omega$空間くうかん上じょう，任にん何なん函數かんすう相對そうたい於概率りつ測度そくど$\mu$的てき積分せきぶん就成了りょう期き望もち值。這不等式とうしき就說，若わか$\varphi$是ぜ任にん一いち凸とつ函數かんすう，則のり

$\varphi \left(E(X)\right)\leq E(\varphi (X))\,$

特例とくれい

機き率りつ密度みつど函數かんすう的てき形式けいしき

假設かせつ$\Omega$是ぜ實數じっすう軸じく上じょう的てき可か測はか子こ集しゅう，而$f(x)$是非ぜひ負ふ函數かんすう，使つかい得とく

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1.$

以概率りつ論ろん的てき語ご言げん，$f$是これ個こ機き率りつ密度みつど函數かんすう。

延のべ森もり不等式ふとうしき变成以下いか關せき於凸積分せきぶん的てき命題めいだい：

若わか$g$是ぜ任にん一實值可測函數，$\varphi$在ざい$g$的てき值域中ちゅう是ぜ凸とつ函數かんすう，則のり

$\varphi \left(\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\,dx\right)\leq \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (g(x))f(x)\,dx.$

若わか$g(x)=x$，則のり這形式しき的てき不等式ふとうしき簡化成かせい一いち個こ常用じょうよう特例とくれい：

$\varphi \left(\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx\right)\leq \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,f(x)\,dx.$

有限ゆうげん形式けいしき

若わか$\Omega$是ぜ有限ゆうげん集合しゅうごう$\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}$，而$\mu$是これ$\Omega$上うえ的てき正規せいき計數けいすう測度そくど，則のり不等式ふとうしき的てき一般形式可以簡單地用和式表示：

$\varphi \left(\sum _{i=1}^{n}g(x_{i})\lambda _{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\varphi (g(x_{i}))\lambda _{i},$

其中$\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}=1,\lambda _{i}\geq 0$。

若わか$\varphi$是ぜ凹函數すう，只ただ需把不等式ふとうしき符號ふごう調ちょう轉てん。

假設かせつ$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$是正ぜせい實數じっすう，$g(x)=x$，$\lambda _{i}=1/n$及$\varphi (x)=\log(x)$。上述じょうじゅつ和式わしき便びん成なり了りょう

$\log \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{n}}\right)\geq \sum _{i=1}^{n}{\frac {\log(x_{i})}{n}},$

兩邊りょうへん取と取ど以$e$为底数すう的てき指数しすう函数かんすう就得出で熟じゅく悉的平均へいきん數すう不等式ふとうしき：

${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}.$

這不等式とうしき也有やゆう無限むげん項こう的てき離散りさん形式けいしき。

統計とうけい物理ぶつり學がく

統計とうけい物理ぶつり學がく中ちゅう，若わか凸とつ函數かんすう是ぜ指數しすう函數かんすう，延のべ森もり不等式ふとうしき特別とくべつ重要じゅうよう：

$e^{\langle X\rangle }\leq \left\langle e^{X}\right\rangle ,$

其中方かた括くく號ごう表示ひょうじ期き望もち值，是ぜ以隨ずい機き變數へんすうX的てき某ぼう個こ概がい率りつ分ぶん佈算出さんしゅつ。這個情じょう形がた的てき證明しょうめい很簡單かんたん（參まいり見みChandler, Sec. 5.5）：在ざい以下いか等式とうしき的てき第だい三さん個こ指數しすう函數かんすう

$\left\langle e^{X}\right\rangle =e^{\langle X\rangle }\left\langle e^{X-\langle X\rangle }\right\rangle$

套用不等式ふとうしき

$e^{X}\geq 1+X,$

即そく得とく出所しゅっしょ求もとめ的てき不等式ふとうしき。

參考さんこう書目しょもく

• Walter Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. 1987. ISBN 0-07-054234-1. 
• David Chandler. Introduction to Modern Statistical Mechanics. Oxford. 1987. ISBN 0-19-504277-8. 

外部がいぶ連結れんけつ

• MathWorld上じょう的てき延のべ森もり不等式ふとうしき網もう頁ぺーじ （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）