立方りっぽう和わ

立方りっぽう和わ的てき簡單かんたん圖解ずかい

立方りっぽう和わ是ぜ數學すうがく公式こうしき的てき一いち種しゅ，它屬於因いん式しき分解ぶんかい、乘法じょうほう公式こうしき及恆等こうとう式しき，被ひ普遍ふへん使用しよう。立方りっぽう和かず是ただし指ゆび一いち個こ立方りっぽう數すう，加か上じょう另一いち個こ立方りっぽう數すう，即そく是ぜ它們的てき總和そうわ。公式こうしき如下：

$a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})=(a\pm b)^{3}\mp 3ab(a\pm b)$

立方りっぽう和わ被ひ因いん式しき分解ぶんかい後ご，答案とうあん分別ふんべつ包含ほうがん二に項こう式しき及三さん項こう式しき，與あずか立方りっぽう差さ相しょう同どう。

驗けん證しょう

主しゅ驗けん證しょう

驗けん證しょう此公式しき，可か透過とうか因いん式しき分解ぶんかい，首しゅ先さき設しつらえ以下いか公式こうしき：

$a^{2}b-a^{2}b+ab^{2}-ab^{2}=0\,\!$

然しか後こう代入だいにゅう：

$a^{3}+b^{3}=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!$

透過とうか因いん式しき分解ぶんかい，可か得とく：

$a^{3}+b^{3}=a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

這樣便びん可か驗けん證しょう：$a^{3}+b^{3}\equiv (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

和かず立方りっぽう驗けん證しょう

透過とうか和かず立方りっぽう可か驗けん證しょう立方りっぽう和わ的てき原理げんり：

$(x+y)^{3}\,\!$

$=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,\!$

那な即そく是ぜ只ただ要よう減げん去さ$3x^{2}y$及$3xy^{2}$便びん可か得え到いた立方りっぽう和わ，可か設しつらえ：

$x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!$

右邊うへん的てき方かた程ほど $=(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!$

運用うんよう因いん式しき分解ぶんかい的てき方法ほうほう：

$=(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\!$

$=(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!$

$=(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!$

$=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!$

這樣便びん可か驗けん證しょう出で：$x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!$

幾何きか驗けん證しょう

圖ず象ぞう化か$a^{3}+b^{3}$

透過とうか繪え立體りったい的てき圖像ずぞう，也可驗けん證しょう立方りっぽう和わ。 根據こんきょ右みぎ圖ず，設しつらえ兩個りゃんこ立方りっぽう，總和そうわ為ため：

$x^{3}+y^{3}\,\!$

把わ兩個りゃんこ立方體りっぽうたい對たい角かく貼は在ざい一起かずき，根據こんきょ虛きょ線せん，可か間接かんせつ得え到いた：

$(x+y)^{3}\,\!$

要よう得え到いた$x^{3}+y^{3}$，可か使用しよう$(x+y)^{3}$的てき空白くうはく位置いち。該空白しろ位置いち可か分割ぶんかつ為ため3個こ部分ぶぶん：

• $x\times y\times (x+y)$
• $x\times (x+y)\times y$
• $(x+y)\times y\times x$

把わ三さん個こ部分ぶぶん加か在ざい一いち起おこり，便びん得とく：

$=xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)\,\!$

$=3xy(x+y)\,\!$

之これ後ご，把わ$(x+y)^{3}$減げん去さ它，便びん得とく： $=(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\!$ 上うえ公式こうしき發現はつげん兩個りゃんこ數すう項こう皆みな有ゆう一いち個こ公おおやけ因子いんし，把わ它抽出ちゅうしゅつ，並なみ得とく：

$=(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!$

$(x+y)^{2}$可か透過とうか和平わへい方かた公式こうしき，得とく到いた：

$=(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!$

$=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!$

這樣便びん可か證明しょうめい$x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!$

反はん驗けん證しょう

透過とうか$(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$也可反はん驗けん證しょう立方りっぽう和わ。

$(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

$=a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

$=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!$

$=a^{3}+b^{3}\,\!$

以上いじょう計算けいさん方法ほうほう亦また可か簡化為ため一いち個こ表ひょう格かく：

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

x)	$+a^{2}$	$-ab$	$+b^{2}$
$+a$	$+a^{3}$	$-a^{2}b$	$+ab^{2}$
$+b$	$+a^{2}b$	$-ab^{2}$	$+b^{3}$

這樣便びん可か證明しょうめい$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

立方りっぽう差さ

立方りっぽう差さ也可以使用しよう立方りっぽう和わ來らい驗けん證しょう，例れい如：

$125u^{3}-343v^{3}\,\!$

把わ兩個りゃんこ數すう項こう都と轉てん為ため立方りっぽう數すう：

$=(5u)^{3}-(7v)^{3}\,\!$

運用うんよう負ふ正せい得とく負まけ，可か得とく：

$=(5u)^{3}+(-7v)^{3}\,\!$

然しか後こう運用うんよう立方りっぽう和わ，可か得とく：

$=\left[5u+(-7v)\right]\left[25u^{2}-(5u)(-7v)+(-7v)^{2}\right]$

$=(5u-7v)(25u^{2}+35uv+49v^{2})\,\!$

這個方法ほうほう更さら可か驗けん證しょう到いた立方りっぽう差さ的てき公式こうしき是ぜ$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!$

兩りょう組立くみたて方かた和わ的てき數すう

有ゆう些整數すう可か以有兩個りゃんこ立方りっぽう和わ組合くみあい， 而最少さいしょう的てき，已やめ是ぜ過か千せん的てき1729。它是兩りょう組くみ不同ふどう的てき立方りっぽう和わ：

$1729=1^{3}+12^{3}\,\!$

$1729=9^{3}+10^{3}\,\!$

下した一個同樣有兩個立方和組合的整數是4104：

$4104=9^{3}+15^{3}\,\!$

$4104=2^{3}+16^{3}\,\!$

首くび十個兩組立方和的數：1729、4104、13832、20683、32832、39312、40033、46683、64232、65728

参まいり见

• 幾何きか學がく
• 工程こうてい學がく