調しらべ變へん在ざい時じ頻しき分析ぶんせき的てき應用おうよう

調しらべ變へん的てき功こう用よう在ざい於將訊號移動いどう至いたり未み使用しよう的てき頻しき帶おび做傳輸使用しよう，然しか而當訊號在ざい傳つて遞時通常つうじょう不ふ會かい在ざい每まい一いち個こ時間じかん點てん都と把わ頻しき寬ひろし完全かんぜん佔據，造成ぞうせい某ぼう些時間あいだ點てん頻しき寬ひろし使用しよう上じょう的てき浪費ろうひ。運用うんよう時とき頻しき分析ぶんせき可か以了解任かいにん一時間點的訊號對於頻寬使用的情形，故こ可か以在一些未使用的時間頻帶加入新的傳輸訊號，使つかい得え頻しき寬ひろし資源しげん的てき運用うんよう更さら加か完かん整せい。

時とき頻しき分析ぶんせき

一般的傅立葉轉換只能分析出訊號擁有的頻率，沒ぼつ有ゆう辦法得知とくち頻しき率りつ成分せいぶん隨ずい著ちょ時間じかん的てき變化へんか，而時頻しき分析ぶんせき則そく是ぜ解決かいけつ傅でん立葉たてば轉換てんかん的てき不足ふそく，可か以分析出せきしゅつ訊號的てき頻しき譜ふ隨ずい著ちょ時間じかん的てき變化へんか情じょう形がた，常用じょうよう的てき方法ほうほう有ゆう短みじか時とき距傅立葉たてば變換へんかん（STFT）、韋格納かくのう分布ぶんぷ（WDF）、加か伯はく轉換てんかん等ひとし。

例れい如有一いち訊號$x(t)=e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j3t},-3\leq t\leq 3$，則のり時じ頻しき分析ぶんせき的てき結果けっか如圖。

（此為韋格納かくのう分布ぶんぷ的てき結果けっか）

調しらべ變へん的てき種類しゅるい與あずか結果けっか

對たい原始げんし信號しんごう進行しんこう一いち些調整ちょうせい(例れい如:乘じょう上じょう一いち個こchirp function、將はたt進行しんこう變數へんすう變換へんかん為ためat)，會かい使し得とく訊號在ざい時じ頻しき平面へいめん(t-f平面へいめん)的てき圖形ずけい產さん生せい移動いどう、縮ちぢみ放ひ、變形へんけい。

時とき頻しき平面へいめん(t-f平面へいめん)上じょう訊號的てき各種かくしゅ變形へんけい，皆みな有ゆう其對應おう的てき物理ぶつり意義いぎ。常見つねみ的てき時じ頻しき分布ぶんぷ的てき變形へんけい有ゆう下か列れつ幾いく種しゅ：水平すいへい平ひらた移うつり、鉛直えんちょく平ひらた移うつり、擴張かくちょう、斜はす推、旋轉せんてん。 時とき頻しき分布ぶんぷ的てき變形へんけい在ざい分離ぶんり信號しんごう、濾波器き設計せっけい、取と樣よう定理ていり、調しらべ變へん及多た工こう…等とう領域りょういき上うえ都と有ゆう相當そうとう的てき幫助，也有やゆう助じょ於提升ます信しん噪比(SNR)。

移動いどう（shifting）

即そく將はた頻しき譜ふ圖ず進行しんこう平ひら移うつり，又また分ぶん為ため沿著時間じかん軸じく和わ沿著頻しき率りつ軸じく的てき移動いどう

水平すいへい移動いどう

將はた訊號中ちゅう的てきt做變數すう變換へんかん，加か上じょう或ある是ぜ減げん去さ一いち個こ常數じょうすう$t_{0}$，使つかい得え頻しき譜ふ沿著水平すいへい方向ほうこう移動いどう。

沿著時間じかん軸じく移動いどう時じ，時じ頻しき圖ず的てき值會多た一いち個こ相しょう位い，但ただし並なみ不ふ影響えいきょう數すう值大小しょう。
短みじか時とき距傅立葉たてば變換へんかん、加か伯はく轉換てんかん：

$x(t-t_{0})\longrightarrow S_{x}(t-t_{0},f)$

韋格納かくのう分布ぶんぷ：

$x(t-t_{0})\longrightarrow W_{x}(t-t_{0},f)$

若わか一いち個こ信號しんごうx經過けいか水平すいへい平ひらた移うつりt0時間じかん單位たんい後ご得え到いた的てき信號しんごう為ためy，則のりx與あずかy的てき時じ頻しき分布ぶんぷ關係かんけい為ため：

$W_{y}(t,\,f)=W_{x}(t-t_{0},\,f)$

其中，

若わか$t_{0}>0$則のり整せい個こ時じ頻しき分析ぶんせき的てき圖形ずけい會かい向こう右みぎ偏へん移うつり。 若わか$t_{0}<0$則のり整せい個こ時じ頻しき分析ぶんせき的てき圖形ずけい會かい向こう左ひだり偏へん移うつり。

WDF of shifting(1)

若わか給きゅう定じょう$x(t)=e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j3t},-3\leq t\leq 3$ $y(t)=e^{j2\pi (t-t_{0})^{\frac {1}{5}}+j3(t-t_{0})},-3\leq t\leq 3$

我わが們以$t_{0}=4$為ため例れい，我わが們可以發現はつげん原本げんぽん時じ頻しき分布ぶんぷ的てき中心ちゅうしん在ざい0的てき位置いち，經過けいかshifting後ご，中心ちゅうしん位置いち水平すいへい移動いどう到いた4的てき位置いち。

垂直すいちょく移動いどう

將はた訊號中ちゅう乘じょう以一いち個こ相しょう位い項こう$e^{j2\pi f_{0}t}$，且$f_{0}$為ため一いち常數じょうすう，使つかい得え頻しき譜ふ沿著垂直すいちょく方向ほうこう移動いどう。

沿著頻しき率りつ軸じく移動いどう時じ，訊號會かい多た一いち個こ相しょう位い，並なみ不ふ影響えいきょう數すう值大小しょう。
短みじか時とき距傅立葉たてば變換へんかん、加か伯はく轉換てんかん：

$e^{j2\pi f_{0}t}x(t)\longrightarrow S_{x}(t,f-f_{0})$

韋格納かくのう分布ぶんぷ：

$e^{j2\pi f_{0}t}x(t)\longrightarrow W_{x}(t,f-f_{0})$

若わか一いち個こ信號しんごうx經過けいか鉛直えんちょく平ひらた移うつりf0頻しき率りつ單位たんい後ご得え到いたy，則のりx與あずかy的てき時じ頻しき分布ぶんぷ關係かんけい為ため：

$W_{y}(t,\,f)=W_{x}(t,\,f-f_{0})$

其中，

若わか$f_{0}>0$則のり整せい個こ時じ頻しき分析ぶんせき的てき圖形ずけい會かい向上こうじょう偏へん移うつり。 若わか$f_{0}<0$則のり整せい個こ時じ頻しき分析ぶんせき的てき圖形ずけい會かい向こう下した偏へん移うつり。

WDF of shifting(2)

若わか給きゅう定じょう$x(t)=e^{j2\pi f_{0}t^{\frac {1}{5}}+j3t},-3\leq t\leq 3$ $y(t)=e^{j2\pi f_{0}t}e^{j2\pi f_{0}t^{\frac {1}{5}}+j3t},-3\leq t\leq 3$

我わが們以$f_{0}=2$為ため例れい，我わが們可以發現はつげん原本げんぽん時じ頻しき分布ぶんぷ的てき中心ちゅうしん在ざい0的てき位置いち，經過けいかshifting後ご，中心ちゅうしん位置いち垂直すいちょく移動いどう到いた2的てき位置いち。

擴張かくちょう（dilation/scaling）

將はた訊號中ちゅう的てきt做變數すう變換へんかん成なり${\frac {t}{a}}$，其中a為ため一個常數且通常為正，時じ頻しき圖ず沿著時間じかん軸じく和わ頻しき率りつ軸じく縮小しゅくしょう或ある放ひ大だい。

若わか我わが們單純じゅん只ただ做變數すう變換へんかん，除じょ了りょう影響えいきょう時じ頻しき分布ぶんぷ的てき形狀けいじょう以外いがい，也會影響えいきょう數すう值大小しょう，因いん此需要じゅよう再さい乘じょう上じょう一いち個こ${\frac {1}{\sqrt {|a|}}}$修正しゅうせい數すう值。
短みじか時とき距傅立葉たてば變換へんかん、加か伯はく轉換てんかん：

${\frac {1}{\sqrt {|a|}}}x({\frac {t}{a}})\longrightarrow S_{x}({\frac {t}{a}},af)$

韋格納かくのう分布ぶんぷ：

${\frac {1}{\sqrt {|a|}}}x({\frac {t}{a}})\longrightarrow W_{x}({\frac {t}{a}},af)$

若わか一いち個こ信號しんごうx經過けいかa倍ばい的てき擴張かくちょう變形へんけい，得とく到いた的てき結果けっか為ためy，得とくx與あずかy的てき時じ頻しき分布ぶんぷ關係かんけい為ため：

$W_{y}(t,\,f)=W_{x}\left({\frac {t}{a}},\,af\right)$

其中，

若わか$a>1$則のり整せい個こ時じ頻しき分析ぶんせき的てき圖形ずけい會かい沿著t軸じく擴張かくちょう，沿著f軸じく縮小しゅくしょう。

若わか$a<1$則のり整せい個こ時じ頻しき分析ぶんせき的てき圖形ずけい會かい沿著t軸じく縮小しゅくしょう，沿著f軸じく擴張かくちょう。 無論むろんa的てき數すう值是多少たしょう，都と不ふ會かい改變かいへん時じ頻しき分布ぶんぷ圖形ずけい的てき面積めんせき。

WDF of scaling(1)

若わか給きゅう定じょう$x(t)=e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j3t},-3\leq t\leq 3$ $y(t)=e^{j2\pi {\frac {t}{a}}}e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j3{\frac {t}{a}}},-3\leq t\leq 3$ 這邊給きゅう定じょうa =2，可か以看到いた圖形ずけい在ざい水平すいへい軸じく上じょう被ひ拉ひしげ長ちょう，在ざい垂直すいちょく則そく被ひ壓縮あっしゅく。

WDF of scaling(2)

這邊給きゅう定じょうa =0.5，可か以看到いた圖形ずけい在ざい水平すいへい軸じく上じょう被ひ壓縮あっしゅく，在ざい垂直すいちょく則そく被ひ拉ひしげ伸しん。

修おさむ剪（shearing）

將しょう時じ頻しき圖ず沿著時間じかん軸じく或ある頻しき率りつ軸じく做線性せい位い移うつり。

將はた信號しんごう與あずかchirp函數かんすう做摺すり積せき運算うんざん，將はた沿著時間じかん軸じく方向ほうこう做斜推變形へんけい，造成ぞうせい的てき影響えいきょう是ぜ：時間じかん軸じく方向ほうこう的てき位い移うつり量りょう與あずか頻しき率りつ大だい小成こなり正ただし比ひ。

反はん之これ，將はた信號しんごう與あずかchirp函數かんすう相乘そうじょう，將はた沿著頻しき率りつ軸じく方向ほうこう做斜推變形へんけい，則のり會かい使し頻しき率りつ軸じく方向ほうこう的てき位い移うつり量りょう與あずか時間じかん大だい小成こなり正ただし比ひ。

水平すいへい修おさむ剪

和わ線せん性せい調しらべ頻しき做卷まき積つもる會かい產さん生せい時間じかん軸じく的てき線せん性せい位い移うつり。
短みじか時とき距傅立葉たてば變換へんかん、加か伯はく轉換てんかん：

$x(t)=e^{j\pi at^{2}}*y(t)\longrightarrow S_{x}(t,f)=S_{y}(t-af,f)$

韋格納かくのう分布ぶんぷ：

$x(t)=e^{j\pi at^{2}}*y(t)\longrightarrow W_{x}(t,f)=W_{y}(t-af,f)$

其中，

若わか$a>0$則のり整せい個こ時じ頻しき分析ぶんせき的てき圖形ずけい，則のり圖形ずけい中大ちゅうだい致上會かい往右上じょう-左下ひだりした的てき方向ほうこう拉ひしげ伸しん。

若わか$a<0$則のり整せい個こ時じ頻しき分析ぶんせき的てき圖形ずけい，則のり圖形ずけい中大ちゅうだい致上會かい往左上じょう-右みぎ下か的てき方向ほうこう拉ひしげ伸しん。 無論むろんa的てき數すう值是多少たしょう，都と不ふ會かい改變かいへん時じ頻しき分布ぶんぷ圖形ずけい的てき面積めんせき。

Wigner of shearing(3)

若わか給きゅう定じょう$x(t)=e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j3t}+e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j5t},-4\leq t\leq 4$ $y(t)=e^{j\pi at^{2}}*(e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j3{\frac {t}{a}}}+e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j5{\frac {t}{a}}}),-4\leq t\leq 4$ 這邊給きゅう定じょうa =0.5，可か以看到いた圖形ずけい的てき推移すいい輛是呈てい現げん正せい比ひ關係かんけい的てき。

Wigner of shearing(4)

這邊給きゅう定じょうa =-0.5，可か以看到いた圖形ずけい的てき推移すいい輛是呈てい現げん正せい比ひ關係かんけい的てき，可か以與a>0的てき情じょう形がた作さく比較ひかく。

垂直すいちょく修おさむ剪

乘の以線せん性せい調しらべ頻しき會かい產さん生なま頻しき率りつ的てき線せん性せい軸じく位い移うつり。

短みじか時とき距傅立葉たてば變換へんかん、加か伯はく轉換てんかん：

$x(t)=e^{j\pi at^{2}}y(t)\longrightarrow S_{x}(t,f)=S_{y}(t,f-at)$

韋格納かくのう分布ぶんぷ：

$x(t)=e^{j\pi at^{2}}y(t)\longrightarrow W_{x}(t,f)=W_{y}(t,f-at)$

證明しょうめい:

$x(t)=e^{j\pi at^{2}}y(t)$

$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau f}d\tau$

$=\int _{-\infty }^{\infty }e^{j2\pi a(t+\tau /2)^{2}}e^{-j2\pi a(t+\tau /2)^{2}}d\tau y(t+\tau /2)y^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau f}d\tau$

$=\int _{-\infty }^{\infty }e^{j2\pi at\tau }y(t+\tau /2)y^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau f}d\tau$

$=\int _{-\infty }^{\infty }y(t+\tau /2)y^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau (f-at)}d\tau =W_{y}(t,f-at)$

其中，

若わか$a>0$則のり整せい個こ時じ頻しき分析ぶんせき的てき圖形ずけい，則のり圖形ずけい中大ちゅうだい致上會かい往右上じょう-左下ひだりした的てき方向ほうこう拉ひしげ伸しん。

若わか$a<0$則のり整せい個こ時じ頻しき分析ぶんせき的てき圖形ずけい，則のり圖形ずけい中大ちゅうだい致上會かい往左上じょう-右みぎ下か的てき方向ほうこう拉ひしげ伸しん。 無論むろんa的てき數すう值是多少たしょう，都と不ふ會かい改變かいへん時じ頻しき分布ぶんぷ圖形ずけい的てき面積めんせき。

Wigner of shearing(1)

若わか給きゅう定じょう$x(t)=e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j3t}+e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j5t},-4\leq t\leq 4$

$y(t)=e^{j\pi at^{2}}(e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j3{\frac {t}{a}}}+e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j5{\frac {t}{a}}}),-4\leq t\leq 4$ 這邊給きゅう定じょうa =0.5，可か以看到いた圖形ずけい的てき推移すいい量りょう是ぜ呈てい現げん正せい比ひ關係かんけい的てき。

Wigner of shearing(2)

這邊給きゅう定じょうa =-0.5，可か以看到いた圖形ずけい的てき推移すいい量りょう是ぜ呈てい現げん正せい比ひ關係かんけい的てき，可か以與a>0的てき情じょう形がた作さく比較ひかく。

廣義こうぎ修おさむ剪(generalized shearing)

若わか有ゆう一已知的頻率為線性變化的信號

$x(t)=e^{j\phi (t)}y(t)$

$\phi (t)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}t^{k}$

$frequency={\frac {1}{2\pi }}{\frac {\mathrm {d} \phi (t)}{\mathrm {d} t}}$

要よう將しょう其攤平成へいせい一個水平且整齊的信號，則のり可か做以下か修おさむ剪。
短みじか時とき距傅立葉たてば變換へんかん、加か伯はく轉換てんかん：

$S_{x}(t,f)\cong S_{y}(t,f-\sum _{k=1}^{n}{\dfrac {ka_{k}t^{k-1}}{2\pi }})$

韋格納かくのう分布ぶんぷ：

$W_{x}(t,f)\cong W_{y}(t,f-\sum _{k=1}^{n}{\dfrac {ka_{k}t^{k-1}}{2\pi }})$

也就是ぜ說せつ我わが們可以透過とうか廣義こうぎ修おさむ剪來任意にんい改變かいへん時じ頻しき分布ぶんぷ的てき形狀けいじょう。

WDF of G shearing

若わか給きゅう定じょう$x(t)=e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j3t}+e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j5t},-4\leq t\leq 4$

$y(t)=e^{-j\phi (t)}(e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j3{\frac {t}{a}}}+e^{j2\pi t^{\frac {1}{5}}+j5{\frac {t}{a}}}),-4\leq t\leq 4$

其中$\phi (t)=0.1t^{3}$

我わが們給定てい了りょう一いち個こ三さん次じ函數かんすう，而它的てき微分びぶん是ぜ二に次じ函數かんすう，我わが們可以看到いた圖ず中ちゅう的てき形狀けいじょう變へん為ため2次じ函數かんすう的てき形狀けいじょう。

旋轉せんてん（rotation）

旋轉せんてん變形へんけい顧名思おもえ義就よしなり是これ把わ圖形ずけい以原點てん為ため中心ちゅうしん做旋轉せんてん。對たい信號しんごう做傅立葉たてば變換へんかん會かい將はた圖形ずけい順じゅん時針じしん方向ほうこう旋轉せんてん90度ど，

而做傅でん利とし葉は反はん變換へんかん會かい將はた圖形ずけい逆ぎゃく時じ鐘かね旋轉せんてん90度ど。

而分數ぶんすう傅でん立葉たてば變換へんかん可か將しょう圖形ずけい旋轉せんてん任意にんい的てき角度かくど。

分數ぶんすう傅でん立葉たてば轉換てんかん可か以視為ため傅でん立葉たてば轉換てんかん的てき推廣形式けいしき，公式こうしき如下:

定義ていぎ1:

$X_{\phi }(u)={\sqrt {1-jcot\phi }}\cdot e^{j\pi \cdot cot\phi \cdot u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi \cdot csc\phi \cdot ut}e^{j\pi \cdot cot\phi \cdot t^{2}}x(t)dt$

定義ていぎ2:

$X_{\phi }(u)={\sqrt {\frac {1-jcot\phi }{2\pi }}}\cdot e^{j{\frac {cot\phi }{2}}\cdot u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-jcsc\phi \cdot ut}e^{j{\frac {cot\phi }{2}}\cdot t^{2}}x(t)dt$

若わか$\phi =0.5\pi$則のり此分數すう傅でん立葉たてば轉換てんかん會かい就會是ぜ我わが們熟悉的傅でん立葉たてば轉換てんかん，信號しんごう做傅立葉たてば轉換てんかん可か順じゅん時じ鐘かね旋轉せんてん90度ど，且會有ゆう以下いか特性とくせい：
若わか$X(f)=FT(x(t))$，則のり：

短みじか時とき距傅立葉たてば變換へんかん：

$|S_{X}(t,f)|\approx |S_{x}(-f,t)|$

加か伯はく轉換てんかん：

$G_{X}(t,f)=G_{x}(-f,t)e^{-j2\pi ft}$

韋格納かくのう分布ぶんぷ：

$W_{X}(t,f)=W_{x}(-f,t)$

扭曲(Twisting)

利用りよう線せん性せい正則せいそく變換へんかん(LCT)可か以把時じ頻しき分布ぶんぷ做任意にんい的てき線せん性せい變形へんけい

線せん性せい正則せいそく變換へんかん有ゆう四よん個こ參さん數すう(a, b, c, d)。

其中，矩のり陣じん${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$的てき行列ぎょうれつ式しき值ad - bc = 1。

$F_{(a,b,c,d)}(u)={\sqrt {\frac {1}{j2\pi b}}}\cdot e^{{\frac {j}{2}}{\frac {d}{b}}u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {j}{b}}ut}e^{-{\frac {j}{2}}{\frac {a}{b}}t^{2}}f(t)\cdot \,dt$

若わかb=0則のり可か以化簡成:

$F_{(a,0,c,d)}(u)={\sqrt {d}}\cdot e^{-{\frac {j}{2}}cd\cdot u^{2}}f(d\,u)$

線せん性せい正則せいそく變換へんかん可か以說是ぜ各種かくしゅ線せん性せい轉換てんかん的てき一般いっぱん化か，因いん此上面めん提ひっさげ到いた的てき許多きょた變形へんけい，也可以視為ため線せん性せい正則せいそく變換へんかん當とう中なか的てき特例とくれい:

1. ${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1/\sigma &0\\0&\sigma \end{bmatrix}}$ (scaling)

2.${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}$(Fractional Fourier transform)

3.${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\\tau &1\end{bmatrix}}$(chirp multiplication)

4.${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}}$(Fresnel transform:用よう於計算けいさん電磁波でんじは在ざい空氣くうき中ちゅう的てき傳播でんぱ)

除じょ了りょう上述じょうじゅつ幾いく個こ特殊とくしゅ的てき例れい子こ以外いがい，若わか我わが們希望きぼう將しょう時じ頻しき分布ぶんぷ圖形ずけい轉換てんかん成なり其他指定してい形狀けいじょう，我わが們可以利用りよう矩のり陣じん運算うんざん的てき方式ほうしき求もとめ出で${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$。

Example of Linear Canonical Transform

以上いじょう圖ず為ため例れい:

欲よく將すすむ左ひだり圖ず的てき時じ頻しき分布ぶんぷ圖形ずけい轉換てんかん成なり右みぎ圖ず，左ひだり圖ず為ため$W_{x}(u,v)$，右みぎ圖ず為ため$W_{(a,b,c,d)}(u,v)$，右みぎ圖ず可か以寫成なり$W_{x}(au+bv,cu+dv)$

我わが們將對應たいおう的てき點てん帶たい入いれ:

$W_{x}(-1,2)=W_{(a,b,c,d)}(0,1)$，將はたu和わv代入だいにゅう後ご，得とく$-a+2b=0$，以及$-c+2d=1$

$W_{x}(1,2)=W_{(a,b,c,d)}(4,3)$，將はたu和わv代入だいにゅう後ご，得とく$a+2b=4$，以及$c+2d=3$

透過とうか解かい兩りょう組くみ二に元げん一いち次じ聯立れんりつ方程式ほうていしき，即そく可か得え到いた:${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}}$，將はた這組代入だいにゅう線せん性せい正則せいそく變換へんかん則そく可か以將左ひだり圖ず成功せいこう轉換てんかん成なり右みぎ圖ず。

在ざいLCT的てき轉換てんかん當とう中なか，面積めんせき是ぜ不ふ會かい改變かいへん的てき!

調しらべ變へん的てき實際じっさい應用おうよう方式ほうしき

透過とうか上述じょうじゅつ的てき各種かくしゅ調ちょう變へん方式ほうしき，可か以幫助すけ我わが們在信號しんごう處理しょり、信號しんごう傳でん輸上有ゆう更さら多可たか以應用おうよう的てき空間くうかん。

降くだ低てい取と樣よう點數てんすう

時とき頻しき分布ぶんぷ的てき最低さいてい取と樣よう點數てんすう，是ぜ一個最小長方形能夠框住時頻分布的面積，因いん此，若わか圖形ずけい呈てい現げん非ひ長方形ちょうほうけい，甚至不規則ふきそく狀じょう，取と樣よう點數てんすう都と有ゆう可能かのう遠大えんだい於該分布ぶんぷ本身ほんみ的てき面積めんせき。若わか我わが們將信號しんごう從したがえ不同ふどう形狀けいじょう轉換てんかん成長せいちょう方形ほうけい的てき形式けいしき，即そく可か降くだ低てい取と樣よう點數てんすう，提ひさげ高だか計算けいさん效率こうりつ。讓ゆず我わが們再度さいど以剛剛つよし的てき圖形ずけい作為さくい例れい子こ。

Example of sampling rate

在ざい上うえ圖ず中ちゅう，紅色こうしょく方かた框かまち表示ひょうじ取と樣よう點數てんすう，可か以發現はつげん，右みぎ圖ず的てき取と樣よう點數てんすう明あかり顯あらわ較左圖ず大だい很多，然しか而從先さき前ぜんLCT的てき內容當とう中ちゅう，我わが們知道どう這兩個りゃんこ信號しんごう的てき實際じっさい面積めんせき是ぜ一いち樣よう大だい的てき，然しか而右圖ず卻要花はな費ひ大量たいりょう的てき取と樣よう點數てんすう。我わが們可以再次じ透過とうかLCT將はた信號しんごう轉換てんかん成なり接近せっきん長方形ちょうほうけい，以降いこう低ひく取と樣よう點數てんすう。

濾波器き設計せっけい

傳統でんとう的てき濾波器き設計せっけい，是ぜ在ざい頻しき域いき對たい不同ふどう頻しき率りつ給きゅう定てい不同ふどう的てき頻しき率りつ響ひびき應おう，藉此壓あつ抑そもそも或ある是ぜ強化きょうか某ぼう些頻率りつ的てき能のう量りょう。因よし為ため一般而言被處理的信號都是時變的，在ざい加入かにゅう時じ頻しき分析ぶんせき工具こうぐ以及變形へんけい之これ後ご，可か以對信號しんごう做更複雜ふくざつ的てき處理しょり，得とく到いた更さら好このみ的てき效果こうか，例れい如:分數ぶんすう傅でん立葉たてば變換へんかん，可か以將訊號時じ頻しき分ぶん佈旋轉せんてん至いたり適當てきとう角度かくど讓ゆずる訊號及干擾的cut-off line與あずか水平すいへい軸じく垂直すいちょく。

Filter design

以上いじょう圖ず為ため例れい子こ

一般いっぱん的てきcut-off line都と是ぜ垂直すいちょく於頻率りつ軸じく的てき，無法むほう將はた上うえ圖ず的てき雜ざつ訊濾掉，我わが們可以對cut-off line的てき函數かんすう進行しんこう分數ぶんすう傅でん立葉たてば轉換てんかん，使つかい它有更さら好このみ的てき角度かくど，接せっ著ちょ透とおる果はて平たいら移うつり等とう方式ほうしき，讓ゆずる它能夠濾掉雜訊。

然しか而實際ぎわ上じょう我わが們從自然しぜん當とう中なか收おさむ到いた的てき信號しんごう很可能かのう是ぜ無法むほう像ぞう上じょう圖ず那な樣さま輕易けいい將はた雜ざつ訊濾掉，例れい如，分布ぶんぷ在ざい所有しょゆう地方ちほう的てき白色はくしょく雜ざつ訊就無法むほう從したがえ我わが們的信號しんごう中ちゅう分離ぶんり出來でき。不ふ過か依然いぜん可か以透過とうか濾波器き設計せっけい來らい提ひさげ高信たかのぶ噪比(SNR)。

Filter design(2)

上うえ圖ず中ちゅう，粉こな紅色こうしょく是ぜ傳統でんとう的てき濾波器き，而藍色しょく線せん則そく是ぜ透過とうか分數ぶんすう傅でん立葉たてば轉換てんかん設計せっけい的てき濾波器き，可か以看出で無論むろん是ぜ粉こな色しょく切きり割出わりだし的てき範圍はんい，還かえ是ぜ藍色あいいろ切きり割出わりだし的てき範圍はんい，信號しんごう的てき面積めんせき大小だいしょう都と是ぜ一いち樣よう的てき。然しか而，在ざい藍色あいいろ切きり出で的てき範圍はんい中ちゅう，雜ざつ訊的面積めんせき遠とお比ひ粉こな色しょく切きり出で的てき還かえ要よう小しょう很多。因よし此，可か以大大的だいだいてき提ひさげ升ます信しん噪比。

參まいり見み

• 調しらべ變へん
• 時とき頻しき分析ぶんせき
• 線せん性せい調しらべ頻しき
• 加か伯はく轉換てんかん
• 韋格納かくのう分布ぶんぷ
• 分數ぶんすう傅でん立葉たてば轉換てんかん
• 短みじか時とき距傅立葉たてば變換へんかん

參考さんこう文獻ぶんけん

• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2015.
• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2023.
• SG Mallat, Z Zhang, Matching pursuits with time-frequency dictionaries, Signal Processing, IEEE Transactions on, 1993 - ieeexplore.ieee.org
• Karlheinz Gröchenig, Foundations of Time-Frequency Analysis,