頂點ちょうてん算さん子こ代數だいすう

數學すうがく中なか的てき頂點ちょうてん算さん子こ代數だいすう（英語えいご：Vertex operator algebra，縮寫しゅくしゃ：VOA）為ため一いち代だい數すう結構けっこう，於二に維共きょう形かたち場じょう論ろん及弦つる論ろん扮ふん演えんじ了りょう非常ひじょう重要じゅうよう的てき角かく色しょく，此外並なみ應用おうよう在ざい物理ぶつり上じょう，而頂點てん算さん子こ代數だいすう在ざい基礎きそ數學すうがく方面ほうめん更さら已やめ經けい被ひ證あかし實じつ其用處しょ，如在怪獸かいじゅう月光げっこう理論りろん及幾何きか朗ろう蘭らん茲綱領りょう。

因よし著ちょIgor Frenkel曾提出ていしゅつ想そう構造こうぞう一いち無限むげん維李代數だいすう，1986年ねん由ゆかり理り查德·博はく赫兹(Richard Borcherds)提出ていしゅつ一いち個こ相關そうかん的てき名詞めいし 頂點ちょうてん代數だいすう，在ざい這樣的てき路ろ徑みち發展はってん後ご，人にん們允以附絡からま向こう量りょう之の頂點ちょうてん算さん子こ作用さよう之のFock 空間くうかん，而Borcherds 透過とうか將はた絡からま頂點ちょうてん算さん子こ間あいだ的てき關聯かんれん及名詞めいし公理こうり化か後ご，造みやつこ出で允許いんきょFrenkel所しょ提つつみ方法ほうほう構造こうぞう新しん李り代數だいすう的てき代數だいすう結構けっこう。

頂點ちょうてん算さん子こ代數だいすう的てき名詞めいし引入則そく是ぜ於1988年ねん由ゆかりIgor Frenkel、James Lepowsky與あずか Arne Meurman修正しゅうせい頂點ちょうてん代數だいすう後ご而被正式せいしき提出ていしゅつ，作為さくい它們計畫けいかく中ちゅう構造こうぞう月光げっこう模も的てき部分ぶぶん方法ほうほう。他た們發現はつげん很多的てき頂點ちょうてん代數だいすう很自然しぜん地ち就給出で了りょう有用ゆうよう的てき加法かほう結構けっこう(Virasoro 代數だいすう之の作用さよう)，並なみ且滿足まんぞく關せき於能量りょう算さん子こ之の有界ゆうかい下方かほう性質せいしつ，基き於如此的觀察かんさつ，他た們添加てんか了りょうVirasoro 作用さよう與あずか有界ゆうかい下方かほう性質せいしつ於所提ひさげ公理こうり中ちゅう。

名詞めいし提出ていしゅつ後ご我わが們亦於物理ぶつり上じょう觀察かんさつ並なみ檢けん核かく這些名詞めいし的てき概念がいねん，並なみ有ゆう起おこり初はつ公理こうり提出ていしゅつ時じ並なみ未明みめい的てき幾いく種しゅ解釋かいしゃく。物理ぶつり上じょう，頂點ちょうてん算さん子こ是ぜ在ざい允許いんきょ算さん子こ積せき展開てんかい附加ふか之の二に維共形がた場じょう中ちゅう，由ゆかり其上的てき點てん上じょう附加ふか全ぜん純じゅん場じょう而提出ていしゅつ (i.e., 頂點ちょうてん) ，而其所しょ附加ふか的てき全ぜん純じゅん場じょう相互そうご碰撞時じ，並なみ恰好かっこう滿足まんぞく頂點ちょうてん算さん子こ代數だいすう公理こうり下か所しょ指ゆび之の關聯かんれん性せい。實際じっさい上じょう，頂點ちょうてん算さん子こ代數だいすう公設こうせつ就是物理ぶつり學がく家か稱たたえ為ためchiral代數だいすう或ある "chiral對稱たいしょう代數だいすう"的てき正式せいしき代數だいすう解釋かいしゃく，而該對稱たいしょう代數だいすう描述了りょう由よし共ども形かたち場じょう論ろん給きゅう出で包含ほうがん保守ほしゅ不變ふへん量的りょうてきWard恆等こうとう式しき。其餘頂點ちょうてん代數だいすう公理こうり之の公式こうしき包含ほうがん博はく赫茲後續こうぞく於奇異い交換こうかん環たまき的てき工作こうさく、由ゆかりHuang, Kriz等とう提出ていしゅつ於某曲きょく線上せんじょう算さん子こ上じょう之の代數だいすう、以及由ゆかり亞あ歷れき山大やまだい·貝かい林りん森もり(Alexander Beilinson)和わ弗どる拉ひしげ基もと米まい爾しか·德とく林りん費ひ爾しか德とく(Vladimir Drinfeld)提出ていしゅつ稱しょう為ためchiral代數だいすう D-模も-理論りろん之の物もの等とう。然しか這些擬なずらえchiral代數だいすう並なみ不完全ふかんぜん與あずか物理ぶつり學がく家か所用しょよう之の物もの等とう同どう。

頂點ちょうてん算さん子こ代數だいすう基礎きそ之の重要じゅうよう例れい子こ包含ほうがん絡からま頂點ちょうてん算さん子こ代數だいすう(用よう以模式しき化か絡からま保守ほしゅ場じょう論ろん)、由ゆかり仿射 卡茨-穆きよし迪すすむ代數だいすう (自じWZW模型もけい)之の表示ひょうじ給きゅう定之さだゆき頂點ちょうてん算さん子こ代數だいすう、Virasoro 頂點ちょうてん算さん子こ代數だいすう (i.e.,對應たいおう 維拉宿やど代數だいすう表示ひょうじ之の頂點ちょうてん算さん子こ代數だいすう) 與あずか 月光げっこう模も V^♮等とう；至いたり於較複雜ふくざつ的てき例れい子こ就如由よし幾何きか表示ひょうじ理り論及ろんきゅう數學すうがく物理ぶつり引出在ざい複流ふくりゅう形がた上じょう的てき仿射 W-代數だいすう與あずかchiral de Rham複ふく叢くさむら等ひとし。

定義ていぎ

一いち頂點ちょうてん代數だいすう由よし以下いか資料しりょう組成そせい：

• 向むかい量りょう空間くうかんV,
• 「單位たんい元もと」1$\in$V ,
• 自じ態たい射しゃ T,
• 乘法じょうほう性せい映うつ射い: $Y:V\otimes V\to V((z))$ 或ある書作しょさく $(a,b)\mapsto Y(a,z)b=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}bz^{-n-1}$ ；

並なみ滿足まんぞく以下いか條件じょうけん：:

1. (單位たんい)V中ちゅう每ごと一いち元げん a,均ひとし符合ふごう

$Y(1,z)a=a=az^{0}$ and $Y(a,z)1\in a+zV[[z]]$

1. (位い移うつり) T(1) = 0, 且V中ちゅう每ごと元もとa, b, 均ひとし符合ふごう

$Y(a,z)Tb-TY(a,z)b={\frac {d}{dz}}Y(a,z)b$

1. (四よん頂點ちょうてん函數かんすう)V中ちゅう每ごと元もとa, b, c , 均ひとし符合ふごう

$X(a,b,c;z,w)\in V[[z,w]][z^{-1},w^{-1},(z-w)^{-1}]$

其中 Y(a,z)Y(b,w)c, Y(b,w)Y(a,z)c, 與あずか Y(Y(a,z-w)b,w)c 分ぶん别為 X(a,b,c;z,w) 在ざいV((z))((w)) , V((w))((z)), 與あずか V((w))((z-w))中之なかの級數きゅうすう展開てんかい式しき.

此乘法ほう映うつ射い常つね被ひ寫うつし作さく「狀態じょうたい—場じょう 對應たいおう」（state-field correspondence）：

$Y:V\to (EndV)[[z^{\pm 1}]]$,

給きゅうV中ちゅう每ごと一向量配上一支以算子為值之形式けいしき分ぶん佈（formal distribution），稱しょう作さく「頂點ちょうてん算さん子こ」；其物理ぶつり意義いぎ為ため在ざい原點げんてん插入そうにゅう一いち算さん子こ。T則のり是ぜ無窮むきゅう小しょう位い移うつり之の一いち生成せいせい元もと。 「四よん頂點ちょうてん函數かんすう」公理こうり統一とういつ了りょう（誤差ごさ不ふ過か奇異きい值之）結合けつごう律りつ與あずか交換こうかん律りつ。 位い移うつり公理こうり涵蘊 Ta = a_-21, 故こY 的てき值決定けってい了りょうT 的てき值。

分ぶん階かい頂點ちょうてん代數だいすう

一いちZ₊-分ぶん階かい頂點ちょうてん代數だいすう為ため

• 一いち頂點ちょうてん代數だいすうV:
• V的まと分ぶん階かい:

  • $V=\bigoplus _{n=0}^{\infty }V_{n}\,$

使つかい每ごとa ∈ V_k 與あずか b ∈ V_m, 符合ふごうa_n b ∈ V_k+m-n-1.

設しつらえ有一ゆういちZ₊-分ぶん階かい頂點ちょうてん代數だいすう. 其一いち Virasoro 元もと 為ため V中なか₂ 一元いちげん ωおめが , 使つかい頂點ちょうてん算さん子こ

$Y(\omega ,z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\omega _{(n)}{z^{-n-1}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }L_{n}z^{-n-2}$

符合ふごう以下いか條件じょうけん: V_n 中ちゅう每ごと一いち元げん a符合ふごう:

1. $L_{0}a=na$
2. $Y(L_{-1}a,z)={\frac {d}{dz}}Y(a,z)=[Y(a,z),T]$
3. $[L_{m},L_{n}]a=(m-n)L_{m+n}a+\delta _{m+n,0}{\frac {m^{3}-m}{12}}ca$

其中 c 為ため一いち常つね值，稱しょう「中心ちゅうしん荷に」（central charge）， 或ある「V之これ秩」。 此亦使しV成なり為ため 維拉宿やど代數だいすう的てき一いち表示ひょうじ。

參考さんこう資料しりょう

• Richard Borcherds, 《Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster》, Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 83 (1986) 3068-3071
• Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman, 《Vertex operator algebras and the Monster》. Pure and Applied Mathematics, 134. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. liv+508 pp. ISBN 0-12-267065-5
• Edward Frenkel, David Ben-Zvi, 《Vertex algebras and Algebraic Curves》. Mathematical Surveys and Monographs, 88. American Mathematical Society, 2001. xii+348 pp. ISBN 0-8218-2894-0
• Huang Yi Zhi,《Two-Dimensional Conformal Geometry and Vertex Operator Algebras》(Progress in Mathematics) ISBN 0817638296
• Victor Kac, 《Vertex Algebras for Beginners》, University Lecture Series, 10., 亞美あみ利根りこん數すう學會がっかい, 1996. ISBN 0-8218-0643-2