“
置 おけ ”
重定 しげさだ 向 むかい 至 いたる 此。关于
化学 かがく 中 ちゅう 的 てき 置 おけ 换，请见“
置 おけ ”。
“Permutation”的 てき 各地 かくち 常用 じょうよう 名称 めいしょう 中国 ちゅうごく 大 だい 排列 はいれつ 台湾 たいわん 排列 はいれつ 置 おけ 港 みなと 排列 はいれつ 日本 にっぽん 置 おけ
P(3,3)=6 排列 はいれつ 英 えい Permutation ）或 ある 置 おけ 是 ぜ 将 しょう 相 しょう 象 かたど 或 ある 符号 ふごう 根 ね 据 すえ 的 てき 重 じゅう 排 はい 每 まい 序 じょ 都 と 称 しょう 作 さく 一 いち 排列 はいれつ [ 注 ちゅう ] 例 れい 到 いた 六 ろく 的 てき 数字 すうじ 有 ゆう 排列 はいれつ 数字 すうじ 的 てき 所有 しょゆう 不 ふ 重 じゅう 不 ふ 的 てき 序列 じょれつ 例 れい 与 あずか 1, 3, 5, 2, 4, 6 。
置 おけ 排列 はいれつ 的 てき 概念 がいねん 在 ざい 不同 ふどう 下 か 有 ゆう 不同 ふどう 的 てき 形式 けいしき 定 てい
在 ざい 集合 しゅうごう 中 ちゅう 一 いち 集合 しゅうごう 的 てき 置 おけ 集合 しゅうごう 映 うつ 至 いたり 自身 じしん 的 てき 双 そう 射 い 在 ざい 有限 ゆうげん 集 しゅう 的 てき 情 じょう 便 びん 与 あずか 上述 じょうじゅつ 定 てい 一致 いっち 在 ざい 组合数学 すうがく 中 なか 置 おけ 元素 げんそ 不 ふ 重 じゅう 但 ただし 可能 かのう 有 ゆう 例 れい 1,2,4,3 可 か 1,2,3,4,5,6 的 てき 一 いち 但 ただし 是 ぜ 不 ふ 5,6 。此时通常 つうじょう 会 かい 象 ぞう 取 と 象 ぞう 的 てき 置 おけ 一 いち 集合 しゅうごう 置 おけ 集合 しゅうごう 映 うつ 至 いたり 自身 じしん 的 てき 双 そう 射 い 函数 かんすう
σ しぐま :
S
⟶
∼
S
.
{\displaystyle \sigma :S\ {\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}\ S.}
恒等 こうとう 置 おけ 定 てい 置 おけ
σ しぐま
{\displaystyle \sigma }
使 つかい 得 とく 所有 しょゆう
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
σ しぐま (
x
)
=
x
{\displaystyle \sigma (x)=x}
所有 しょゆう
n
{\displaystyle n}
素的 すてき 集合 しゅうごう
S
{\displaystyle S}
的 てき 置 おけ 成 なり 的 てき 集合 しゅうごう 对称群 ぐん
S
n
{\displaystyle S_{n}}
群 ぐん 函数 かんすう 的 てき 因 よし
σ しぐま
{\displaystyle \sigma }
和 わ
τ たう
{\displaystyle \tau }
的 てき
π ぱい =
σ しぐま τ たう
{\displaystyle \pi =\sigma \tau }
的 てき 定 てい
π ぱい (
i
)
=
σ しぐま (
ρ ろー (
i
)
)
{\displaystyle \pi (i)=\sigma (\rho (i))}
两个置 おけ 一般 いっぱん 不 ふ 交换律 りつ ：
τ たう σ しぐま ≠
σ しぐま τ たう
{\displaystyle \tau \sigma \neq \sigma \tau }
此节使用 しよう 置 おけ 定 てい
n
{\displaystyle n}
元素 げんそ 中 ちゅう 取出 とりで
k
{\displaystyle k}
元素 げんそ
k
{\displaystyle k}
素的 すてき 排列 はいれつ 数量 すうりょう
P
k
n
=
n
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle P_{k}^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}}
其中P 意 い 排列 はいれつ ! 表示 ひょうじ 阶乘 运算。
以赛马 为例，有 ゆう 匹 ひき 参加 さんか 比 ひ 需要 じゅよう 在 ざい 彩 いろどり 票 ひょう 上 じょう 填 はま 入 にゅう 前 まえ 匹 ひき 取出 とりで 匹 ひき 排 はい 前 まえ 名 めい 排列 はいれつ 数量 すうりょう
P
3
8
=
8
!
(
8
−
3
)
!
=
336
{\displaystyle P_{3}^{8}={\frac {8!}{(8-3)!}}=336}
因 いん 共存 きょうぞん 在 ざい 可能 かのう 性 せい 因 いん 家 か 在 ざい
P
=
1
336
=
0.00298
{\displaystyle P={\frac {1}{336}}=0.00298}
不 ふ 中国 ちゅうごく 大 だい 教科 きょうか 是 これ 把 わ 取 と 的 てき 情 じょう 作 さく
P
n
k
{\displaystyle P_{n}^{k}}
或 ある
A
n
k
{\displaystyle A_{n}^{k}}
代表 だいひょう 即 そく 排列 はいれつ [ 1]
上面 うわつら 的 てき 例 れい 子 こ 是 ぜ 建立 こんりゅう 在 ざい 取出 とりで 元素 げんそ 不 ふ 重 じゅう
从
n
{\displaystyle n}
元素 げんそ 中 ちゅう 取出 とりで
k
{\displaystyle k}
元素 げんそ
k
{\displaystyle k}
元素 げんそ 可 か 排列 はいれつ 数量 すうりょう
U
k
n
=
n
k
{\displaystyle U_{k}^{n}=n^{k}}
[ 2] 以四 よん 星 ほし 彩 あや 数字 すうじ 取 と 数字 すうじ 因 いん 可能 かのう 重 じゅう 所以 ゆえん 排列 はいれつ 数量 すうりょう
U
4
10
=
10
4
=
10000
{\displaystyle U_{4}^{10}=10^{4}=10000}
这时的 てき
P
=
1
10000
=
0.0001
{\displaystyle P={\frac {1}{10000}}=0.0001}
在 ざい 集合 しゅうごう 与 あずか 抽象 ちゅうしょう 代数 だいすう 等 とう 中 ちゅう 置 おけ 通常 つうじょう 是 ぜ 有限 ゆうげん 集 しゅう 到 いた 自身 じしん 的 てき 双 そう 射 い 的 てき 一 いち 称呼 しょうこ 例 れい 是 ぜ 集合 しゅうごう
{
1
,
…
,
10
}
{\displaystyle \{1,\ldots ,10\}}
到 いた 自身 じしん 的 てき 双 そう 射 い 因 よし 置 おけ 相 しょう 同定 どうてい 与 あずか 上 うわ 域 いき 的 てき 函数 かんすう 射的 しゃてき 群 ぐん 称 しょう 对称群 ぐん 或 ある 置 おけ
以下 いか 限 げん 集 しゅう 上 じょう 的 てき 置 おけ 双 そう 射 い 由 ゆかり
n
{\displaystyle n}
素的 すてき 有限 ゆうげん 集 しゅう 可 か 一 いち 集合 しゅうごう
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}
有限 ゆうげん 集 しゅう 的 てき 置 おけ 形 がた 的 てき 集合 しゅうごう 之 の 置 おけ 有 ゆう 表示法 ひょうじほう
第 だい 一 いち 利用 りよう 矩 のり 符号 ふごう 将 しょう 自然 しぜん 排 はい 序 じょ 写 うつし 在 ざい 第 だい 一 いち 列 れつ 置 おけ 的 てき 排 はい 序 じょ 写 うつし 在 ざい 第 だい 二 に 列 れつ 例 れい
[
1
2
3
4
5
2
5
4
3
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{bmatrix}}}
表示 ひょうじ 集合 しゅうごう 上 じょう 的 てき 置 おけ
s
:
s
(
1
)
=
2
,
s
(
2
)
=
5
,
s
(
3
)
=
4
,
s
(
4
)
=
3
,
s
(
5
)
=
1
{\displaystyle s:s(1)=2,s(2)=5,s(3)=4,s(4)=3,s(5)=1}
第 だい 二 に 借 か 由 よし 置 おけ 相 しょう 用 よう 称 しょう 轮换分解 ぶんかい ”。分解 ぶんかい 方式 ほうしき 固定 こてい 置 おけ
s
{\displaystyle s}
一 いち 元素 げんそ
x
{\displaystyle x}
由 ゆかり 集合 しゅうごう 有限 ゆうげん
s
{\displaystyle s}
是 ぜ 双 そう 射 い 存在 そんざい 正 せい 整数 せいすう
N
{\displaystyle N}
使 つかい 得 とく
s
N
(
x
)
=
x
{\displaystyle s^{N}(x)=x}
故 こ 可 か 将 はた 置 おけ
s
{\displaystyle s}
x
{\displaystyle x}
的 まと 相 しょう 用 よう 表 ひょう 成 なり
(
x
s
(
x
)
s
2
(
x
)
⋯
s
m
−
1
(
x
)
)
{\displaystyle (x\;s(x)\;s^{2}(x)\cdots s^{m-1}(x))}
m
{\displaystyle m}
是 ぜ
s
m
(
x
)
=
x
{\displaystyle s^{m}(x)=x}
的 てき 最小 さいしょう 正 せい 整数 せいすう
称 しょう 上述 じょうじゅつ 表 ひょう 法 ほう
x
{\displaystyle x}
在 ざい
s
{\displaystyle s}
下 した 的 てき 轮换 ，
m
{\displaystyle m}
称 しょう 长度 。我 わが 环状排列 はいれつ ，例 れい
(
a
1
a
2
a
3
⋯
a
m
)
{\displaystyle (a_{1}\;a_{2}\;a_{3}\cdots a_{m})}
与 あずか
(
a
m
a
1
a
2
⋯
a
m
−
1
)
{\displaystyle (a_{m}\;a_{1}\;a_{2}\cdots a_{m-1})}
是 ぜ 同一 どういつ 由 よし 可知 かち
x
{\displaystyle x}
在 ざい
s
{\displaystyle s}
下 した 的 てき 轮换 只 ただ
x
{\displaystyle x}
在 ざい
s
{\displaystyle s}
作用 さよう 下 か 的 てき 任 にん 元素 げんそ
x
,
y
{\displaystyle x,y}
或 ある 同一 どういつ 或 ある 不 ふ
我 わが
(
x
1
⋯
x
m
)
{\displaystyle (x_{1}\;\cdots x_{m})}
理解 りかい [ 注 ちゅう ] 定 てい
s
{\displaystyle s}
s
:
x
1
↦
x
2
,
…
,
x
m
−
1
↦
x
m
,
x
m
↦
x
1
{\displaystyle s:x_{1}\mapsto x_{2},\ldots ,x_{m-1}\mapsto x_{m},x_{m}\mapsto x_{1}}
元素 げんそ 上 じょう 定 てい 恒等 こうとう 映 うつ 射 い 不 ふ 在 ざい 函数 かんすう 合成 ごうせい 的 てき 意 い 可 か 相 しょう
因 いん 集合 しゅうごう 分解 ぶんかい 若 わか 不 ふ 序 じょ 唯一 ゆいいつ 的 てき 例 れい 一 いち 子 こ 的 てき
s
{\displaystyle s}
或 ある
轮换一是种特殊的置换。
如果给定
f
:
X
→
X
{\displaystyle f:X\rightarrow X}
是 これ
X
{\displaystyle X}
上 うえ 的 てき 一 いち
A
{\displaystyle A}
X
{\displaystyle X}
上 うえ 的 てき 一 いち 集 しゅう
若 わか 有 ゆう
∃
A
⊂
X
,
A
=
{
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
l
}
{\displaystyle \exists A\subset X,A=\{x_{1},x_{2},\cdots ,x_{l}\}}
{
f
(
x
1
)
=
x
2
,
f
(
x
2
)
=
x
3
,
⋯
,
f
(
x
l
)
=
x
1
f
(
x
)
=
x
,
x
∉
A
{\displaystyle {\begin{cases}f(x_{1})=x_{2},f(x_{2})=x_{3},\cdots ,f(x_{l})=x_{1}\\f(x)=x,x\not \in A\end{cases}}}
则称
f
{\displaystyle f}
l
{\displaystyle l}
在 ざい 上 うえ 置 おけ 法 ほう 中 ちゅう 等 とう 换位 ，这种环状置 おけ
(
x
y
)
{\displaystyle (x\;y)}
不 ふ 外 そと 是 ぜ 将 はた 元素 げんそ
x
,
y
{\displaystyle x,y}
保持 ほじ 元素 げんそ 不 ふ 对称群 ぐん 可 か 生成 せいせい
由 よし 状 じょう 置 おけ 度 ど
l
{\displaystyle l}
的 てき 置 おけ
C
{\displaystyle C}
可 か 分解 ぶんかい 最少 さいしょう
k
=
l
−
1
{\displaystyle k=l-1}
位 い 若 わか
k
{\displaystyle k}
数 すう
C
{\displaystyle C}
偶换位 い ，否 いや
C
{\displaystyle C}
奇 き 即 そく 置 おけ 数 すう 偶换位 い ；环状置 おけ 数 すう 奇 き
由 よし 定 てい 位 い 在 ざい 置 おけ 中 ちゅう 一 いち 正 せい 群 ぐん 称 しょう 交错群 ぐん 。
某 ぼう 将 はた 置 おけ 量 りょう 赋值 。在 ざい 计算机 つくえ 科学 かがく 中 なか 是 ぜ 将 はた
1, 2, ..., n 赋予变量
x 1 , x 2 , ..., x n 的 てき 子 こ 要求 ようきゅう 每 ごと 只 ただ 能 のう 一 いち 量 りょう
赋值/代入 だいにゅう 的 てき 差 さ 表明 ひょうめい 函数 かんすう 式 しき 与 あずか 指令 しれい 式 しき 之 これ 差 さ 的 てき 函数 かんすう 式 しき 提供 ていきょう 机 つくえ 制 せい 数学 すうがく 的 てき 是 ぜ 将 はた 置 おけ 作 さく 函数 かんすう 看 み 作 さく 函数 かんすう 合成 ごうせい 函数 かんすう 式 しき 似 に 言 げん 的 てき 同 どう 重 じゅう 排 はい 名 めい 的 てき
(2,5,1,4,3,6)的 てき 置 おけ 取 と 一 いち 向 むこう 图 G ，将 はた G 的 てき n 个顶点 标记v 1 ,...,v n ，对应一 いち n ) )，当 とう 当 とう i ) < s(j ) 而 i > j ，则图的 てき v i 和 わ v j 相 あい 的 てき
置 おけ 的 てき 补图 必是置 おけ
多数 たすう 计算器 き 都 みやこ 有 ゆう 算 さん 置 おけ 的 てき nPr 键。然 しか 例 れい 在 ざい 中 ちゅう 三 さん 次 じ 右 みぎ 再 さい 在 ざい 卡西欧 せいおう 的 てき 机 つくえ 中 ちゅう 一 いち 次 じ 右 みぎ
多数 たすう 试算表 ひょう 软件都 と 有 ゆう 函 はこ 式 しき Number ，Number chosen )，用 よう 算 さん 置 おけ Number 是 ぜ 数量 すうりょう 的 てき 一 いち 数 すう Number chosen 是 ぜ 每 ごと 所 しょ 取 と 数 すう 的 てき 整数 せいすう
#include <iostream>
using namespace std ;
bool arrsame ( int * arr , int len , int num ) {
int i ;
for ( i = 0 ; i < len ; i ++ )
if ( arr [ i ] == num )
break ;
return i != len ;
}
bool next_perm ( int * perm , const int k , const int n ) {
int i = k - 1 ;
do
perm [ i ] ++ ;
while ( arrsame ( perm , i , perm [ i ]) || ( perm [ i ] >= n && i -- ));
if ( perm [ 0 ] >= n )
return 0 ;
for ( int num = 0 , seat = i + 1 ; seat < k ; num ++ )
if ( ! arrsame ( perm , i + 1 , num ))
perm [ seat ++ ] = num ;
return 1 ;
}
int main () {
int n , k ;
cout << "perm(n,k):" << endl ;
cin >> n >> k ;
if ( n < k || k <= 0 )
return 0 ;
int * perm = new int [ k ];
for ( int i = 0 ; i < k ; i ++ )
perm [ i ] = i ;
do
for ( int i = 0 ; i < k ; cout << (( ++ i < k ) ? ',' : '\n' ))
cout << perm [ i ] + 1 ;
while ( next_perm ( perm , k , n ));
delete [] perm ;
return 0 ;
}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std ;
struct prem {
int len ;
vector < int > used , position ;
function < void ( vector < int >& ) > action ;
prem ( int l = 0 , function < void ( vector < int >& ) > a = []( vector < int >& position ) {}) : len ( l ), used ( l , -1 ), position ( l ), action ( a ) {}
void run ( int now = -1 ) {
if ( now == len - 1 ) {
action ( position );
return ;
}
int next = now + 1 ;
for ( int i = 0 ; i < len ; i ++ ) {
if ( used [ i ] == -1 ) {
used [ i ] = next ;
position [ next ] = i ;
run ( next );
used [ i ] = -1 ;
}
}
}
};
int main () {
ios :: sync_with_stdio ( false ), cin . tie ( 0 );
int len = 4 ;
prem p ( len , [ & ]( vector < int >& p ) {
for ( int i = 0 ; i < len ; i ++ ) {
cout << p [ i ] << " " ;
}
cout << endl ;
});
p . run ();
return 0 ;
}
import sys
def perm ( dim , num ):
if not 0 <= num <= dim :
print ( 'It must be that 0 <= num <= dim!' , flush = True , file = sys . stderr )
return []
result = []
xstack = []
arr = []
xset = set ( range ( dim , 0 , - 1 ))
xstack . append (( arr , xset ))
while len ( xstack ):
theArr , theSet = xstack . pop ()
for theInt in theSet :
newSet = theSet . copy ()
newSet . remove ( theInt )
newArr = theArr . copy ()
newArr . append ( theInt )
if num == len ( newArr ):
result . append ( newArr )
else :
xstack . append (( newArr , newSet ))
return result
^ 对于不 ふ 排 はい 序 じょ 的 てき 情 じょう 形 がた 条目 じょうもく 组合 。
^ 可 か
^ 普通 ふつう 高 だか 中 ちゅう 教科 きょうか 数学 すうがく 性 せい 必修 ひっしゅう 第 だい 三 さん 册 さつ 版 ばん 北京 ぺきん 市 し 海 うみ 淀 よど 区 く 中 ちゅう 南大 みなみおお 街 がい 号 ごう 院 いん 号 ごう 楼 ろう 人民 じんみん 教育 きょういく 出版 しゅっぱん 社 しゃ [2024-03-30 ] . ISBN 978-7-107-34598-2 ^ 組合 くみあい 數學 すうがく 算法 さんぽう 與 あずか 分析 ぶんせき 九 きゅう 章 しょう 出版 しゅっぱん 社 しゃ
Miklos Bona. "Combinatorics of Permutations", Chapman Hall-CRC, 2004. ISBN 978-1-58488-434-7 .
Donald Knuth. The Art of Computer Programming , Volume 4: Generating All Tuples and Permutations , Fascicle 2, first printing. Addison-Wesley, 2005. ISBN 978-0-201-85393-3 .
Donald Knuth. The Art of Computer Programming , Volume 3: Sorting and Searching , Second Edition. Addison-Wesley, 1998. ISBN 978-0-201-89685-5 . Section 5.1: Combinatorial Properties of Permutations, pp.11–72. 
