Υποσύνολο

Διάγραμμα Βべーたεいぷしろんνにゅー όπου τたうοおみくろん σύνολο $X$ είναι υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου $Y$.

Σしぐまτたうαあるふぁ μαθηματικά, ένα σύνολο $X$ ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου $Y$ κかっぱαあるふぁιいおた συμβολίζουμε μみゅーεいぷしろん $X\subseteq Y$, εάν κάθε στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん $X$ είναι κかっぱαあるふぁιいおた στοιχείο (ανήκει) τたうοおみくろんυうぷしろん $Y$ δηλαδή ισχύει:

$\forall x.(x\in X\Rightarrow x\in Y)$

Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, τたうοおみくろん $X=\{1,3\}$ είναι υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん $Y=\{1,2,3,4\}$. Τたうοおみくろん σύνολο $Y$ λέγεται κかっぱαあるふぁιいおた υπερσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん $X$ κかっぱαあるふぁιいおた συμβολίζεται ως $Y\supseteq X$.

Ακόμα χρησιμοποιούμε τたうηいーたνにゅー ορολογία: τたうοおみくろん σύνολο $X$ περιέχεται σしぐまτたうοおみくろん σύνολο $Y$ ή ακόμα ότι τたうοおみくろん σύνολο $Y$ είναι υπερσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου $X$ κかっぱαあるふぁιいおた γράφουμε $X\subseteq Y$. Μπορούμε νにゅーαあるふぁ θεωρήσουμε τたうοおみくろん $\subseteq$ ως τたうηいーた σχέση πぱいοおみくろんυうぷしろん αποτελείται από όλα τたうαあるふぁ διατεταγμένα ζεύγη $(X,Y)$ γがんまιいおたαあるふぁ τたうαあるふぁ οποία ισχύει $X\subseteq Y$.

Τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー υποσυνόλων τたうοおみくろんυうぷしろん $Y$ είναι τたうοおみくろん δυναμοσύνολο ${\mathcal {P}}(Y)$.

Παραδείγματα

Παρακάτω δίνονται μερικά παραδείγματα υποσυνόλων:

• Τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー ανδρών είναι υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου όλων τたうωおめがνにゅー ανθρώπων.
• $\{1,3\}\subseteq \{1,2,3,4\}$.
• $\{1,2,3,4\}\subseteq \{1,2,3,4\}$.
• Τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー περιττών αριθμών είναι υποσύνολο τたうωおめがνにゅー ακεραίων αριθμών.
• Όλα τたうαあるふぁ δυνατά υποσύνολα τたうοおみくろんυうぷしろん $\{1,2,3\}$ είναι τたうαあるふぁ εξής:

$\{\},\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\}$.

Ιδιότητες

• Τたうοおみくろん κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου, δηλαδή $\emptyset \subseteq X$ γがんまιいおたαあるふぁ κάθε σύνολο $X$.
• Κάθε σύνολο είναι υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん εαυτού τたうοおみくろんυうぷしろん, δηλαδή $X\subseteq X$ γがんまιいおたαあるふぁ κάθε σύνολο $X$.

Γνήσιο υποσύνολο

Αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん σύνολο $X$ είναι υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん $Y$ κかっぱαあるふぁιいおた επίσης ισχύει ότι $X\neq Y$, δηλαδή αあるふぁνにゅー υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん $Y$ τたうοおみくろん οποίο νにゅーαあるふぁ μみゅーηいーたνにゅー ανήκει σしぐまτたうοおみくろん $X$, τότε λέμε ότι τたうοおみくろん σύνολο $X$ είναι γνήσιο υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん $Y$ κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん συμβολίζουμε μみゅーεいぷしろん $X\subset Y$ ή μみゅーεいぷしろん $X\subsetneq Y$. Αντίστοιχα, ορίζεται τたうοおみくろん γνήσιο υπερσύνολο $Y\supset X$ ή $X\supsetneq Y$.

Παραδείγματα

• $\{1,3\}\subset \{1,2,3,4\}$.
• Τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー φυσικών αριθμών $\mathbb {N} =\{0,1,\ldots ,\}$ είναι γνήσιο υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου τたうωおめがνにゅー ακεραίων $\mathbb {Z} =\{\ldots ,-1,0,1,\ldots \}$, δηλαδή $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z}$.
• Τたうοおみくろん σύνολο τたうοおみくろんνにゅー ακεραίων είναι γνήσιο υποσύνολο αυτού τたうωおめがνにゅー ρητών, δηλαδή $\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q}$.
• Τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー ρητών γνήσιο υποσύνολο τたうωおめがνにゅー πραγματικών, δηλαδή $\mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$.

Δείτε επίσης

• Σύνολο
• Δυναμοσύνολο