Αυτό το λήμμα αφορά the mathematical topic. Για the book of the same name, δείτε: Naive Set Theory (book).
Η Αφελής συνολοθεωρία είναι μία από τις αρκετές θεωρίες συνόλων που χρησιμοποιείται γιατη συζήτηση τωνθεμελίων των μαθηματικών.[1] Αντίθετα οιαξιωματικές θεωρίες συνόλων, οι οποίες ορίζονται χρησιμοποιώντας την τυπική λογική, η αφελής συνολοθεωρία ορίζεται άτυπα, στη φυσική γλώσσα.Περιγράφει τις πτυχές τωνμαθηματικών συνόλων όμοια μεταδιακριτά μαθηματικά (για παράδειγμα ταδιαγράμματα Vennκαιη συμβολική συλλογιστική περί της δικής τους Άλγεβρας Μπουλ), και αρκεί γιατην καθημερινή χρήση εννοιών της θεωρίας συνόλων στα σύχρονα μαθηματικά.[εκκρεμεί παραπομπή]
Τα σύνολα είναι μεγάλης σημασίας γιαταμαθηματικά, στην πραγματικότητα, στις σύγχρονες τυπικές προσεγγίσεις, τα περισσότερα μαθηματικά αντικείμενα (αριθμοί, σχέσεις, συναρτήσεις,κ.ο.κ.) ορίζονται με τους όρους των συνόλων. Η αφελής συνολοθεωρία μπορεί να θεωρηθεί ως θεμέλιος λίθος στις περισσότερες τυπικές προσεγγίσεις, και αρκεί για πολλούς σκοπούς.
Από εδώ και πέρα, ηαφελής θεωρία θεωρείται ως μία άτυπη θεωρία, αυτό σημαίνει, μία θεωρία που χρησιμοποιεί φυσική γλώσσαγιανα περιγράψει σύνολα και πράξεις στα σύνολα. Οι λέξεις και, ή, αν ... τότε, οχι, για κάποιο, για κάθεδεν υπάγονται εδώ σε αυστηρό ορισμό. Είναι χρήσιμο να μελετάμε τα σύνολα απλοïκά, σε ένα πρώιμο στάδιο των μαθηματικών, με σκοπό να αναπτύξουμε ένα κατάλληλο πλαίσιο εργασίας με αυτά. Επιπλέον, μια σταθερή κατανόηση των εννοιών της θεωρίας των συνόλων από μια αφελή άποψη είναι ένα βήμα γιανα καταλάβουμε το κίνητρο των τυπικών αξιωμάτων της θεωρίας συνόλων.Ως διευκόλυνση, η χρήση της αφελούς συνολοθεωρίας καιο φορμαλισμός της επικρατούν ακόμη καιστα ανώτερα μαθηματικά – συμπεριλαμβανομένων καιπιο τυπικών κατασκευών από την ίδια τη θεωρία συνόλων.
Τα σύνολα ορίζονται άτυπα και ερευνώνται μερικές από τις ιδιότητές τους. Η σύνδεση με ειδικά αξιώματα της θεωρίας συνόλων περιγράφουν κάποιες από τις σχέσεις μεταξύ της ανεπίσημης συζήτησης εδώ και της επίσημης αξιωματικοποίησης της θεωρίας συνόλων, αλλά δεν γίνεται καμία προσπάθεια γιανα δικαιολογήσει κάθε πρόταση, σε μία τυπική βάση. Η πρώτη ανάπτυξη της θεωρίας συνόλων ήταν μία αφελής συνολοθεωρία. Δημιουργήθηκε στο τέλος του 19ου αιώνα από τονΓκέοργκ Κάντορ ως τμήμα της μελέτης τουγιαταάπειρα σύνολα[2]και αναπτύχθηκε από τονΓκότλομπ ΦρέγκεστοBegriffsschrift.
Η αφελής συνολοθεωρία αναφέρεται σε ένα πλήθος διακριτών εννοιών. Μπορεί να αναφέρεται σε
Όπως προέκυψε, υποθέτοντας ότι κάποιος μπορεί να διαμορφώσει σύνολα ελεύθερα χωρίς περιορισμό, οδηγούμαστε σεπαράδοξα. Για παράδειγμα, η υπόθεση ότι κάποιος μπορεί να συγκεντρώσει, σαν σύνολο, όλα τα (μαθηματικά) αντικείμενα που έχουν μια δεδομένη ιδιότητα είναι εσφαλμένη. Με άλλα λόγια, η δήλωση ότι
(, όπου P(x)θα πρέπει να διαβάζεται ως, ο "x έχει την ιδιότητα P",) είναι ένα σύνολο πουθα οδηγεί σε παράδοξα, συγκεκριμένα τοΠαράδοξο του Ράσελ.
Κάποιοι πιστεύουν ότι η θεωρία τουΓκέοργκ Κάντορδεν ενοχοποιήθηκε λόγω αυτών τωνπαραδόξων (βλέπε Frápolli 1991). Μία δυσκολία στον προσδιορισμό αυτού με βεβαιότητα, είναι ότι ο Κάντορ δεν παρείχε μια αξιωματικοποίηση του συστήματός του. Μέχρι το 1899, ο Κάντορ γνώριζε κάποια από τα παράδοξα που προέρχονταν από την χωρίς περιορισμούς ερμηνεία της θεωρίας του, για παράδειγμα τοπαράδοξο του Κάντορ,[5]τοπαράδοξο Μπουράλι-Φόρτι,[6]καιδεν πίστευε ότι απαξίωσαν τη θεωρία του.[7]Το παράδοξο του Κάντορ μπορεί στην πραγματικότητα να εξαχθεί από την παραπάνω (εσφαλμένη) υπόθεση χρησιμοποιώντας όπου P(x) "x είναι πληθάριθμος". Ο Φρέγκε αξιωματικοποίησε μια θεωρία στην οποία μια τυπική εκδοχή της αφελούς συνολοθεωρίας μπορεί να ερμηνευθεί, και είναι αυτήη τυπική θεωρία την οποία οΜπέρτραντ Ράσελ, στην πραγματικότητα εφάρμοσε όταν παρουσίασε το παράδοξό του, όχι απαραίτητα μια θεωρία την οποία ο Κάντορ, ο οποίος, όπως αναφέρθηκε, γνώριζε αρκετά παράδοξα, πιθανώς είχε στο μυαλό του.
Η αξιωματική θεωρία συνόλων αναπτύχθηκε σε απάντηση αυτών των πρώιμων προσπαθειών γιατην κατανόηση των συνόλων,μετο στόχο να προσδιοριστεί ακριβώς ποιες πράξεις επιτρεπόταν και πότε. Σήμερα, όταν οι μαθηματικοί μιλούν για "θεωρία συνόλων" ως τομέα των μαθηματικών, συνήθως[εκκρεμεί παραπομπή] εννοούν την αξιωματική θεωρία συνόλων. Ανεπίσημες εφαρμογές της θεωρίας συνόλων σε άλλα πεδία αναφέρονται κάποιες φορές ως εφαρμογές της «αφελούς συνολοθεωρίας», αλλά συνήθως γίνεται κατανοητό ότι δικαιολογούνται με όρους ενός αξιωματικού συστήματος (κανονικά Ζερμέλο-Φράνκελ θεωρία συνόλων).
Μία αφελής συνολοθεωρία δεν είναι απαραίτητα ασυνεπής, αν αυτή ορίζει σωστά τα σύνολα που επιτρέπεται να θεωρηθούν. Αυτό μπορεί να γίνει με χρήση των ορισμών, οι οποίοι είναι απεριόριστα αξιώματα. Είναι πιθανό να τεθούν όλα τα αξιώματα με σαφήνεια, όπως στην περίπτωση της Αφελούς Συνολοθεωρίαςτου Halmo, η οποία είναι στην πραγματικότητα μια άτυπη παρουσίαση της συνήθους αξιωματικής Ζερμέλο-Φράνκελ θεωρία συνόλων. Η «αφέλεια» βρίσκεται στο γεγονός ότι , η γλώσσα καιοι συμβολισμοί είναι μέρος των συνηθισμένων άτυπων μαθηματικών, και από το ότι δεν ασχολείται μετην συνέπεια ή την πληρότητα του συστήματος αξιωμάτων.
Παρομοίως, μία αξιωματική θεωρία συνόλων δεν είναι απαραίτητα συνεπής, δηλαδή δεν είναι απαραίτητα απελευθερωμένη από παράδοξα. Έπεται από ταΘεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ, πως ένα επαρκώς πολύπλοκο σύστημα, πρωτοβάθμιας λογικής, που περιλαμβάνει τις πιο συνήθεις αξιωματικές συνολοθεωρίες, δεν μπορεί να αποδειχθεί συνεπές από την ίδια την θεωρία του, υπό τον όρο ότι είναι πραγματικά συνεπής. Ωστόσο, τα συνήθη αξιωματικά συστήματα, γενικά θεωρούμε πως είναι συνεπή, και αποκλείουν, μέσω των αξιωμάτων, ορισμέναπαράδοξα, όπως αυτό του Ράσελ. Δεν είναι γνωστό, και ούτε θα είναι ποτέ, ανδεν υπάρχουν παράδοξα σε όλες αυτές τις θεωρίες ή σε οποιαδήποτε πρωτοβάθμια συνολοθεωρία.
Ο όρος αφελής συνολοθεωρία, χρησιμοποιείται ακόμη και σήμερα στην βιβλιογραφία,[εκκρεμεί παραπομπή] όταν αναφερόμαστε σε συνολοθεωρίες που μελετήθηκαν από τον Frege καιτον Κάντορ, αντί των αντίστοιχων άτυπων της μοντέρνας αξιωματικής συνολοθεωρίας.
Η επιλογή ανάμεσα σεμια αξιωματική προσέγγιση καισε άλλες προσεγγίσεις, αποτελεί σε μεγάλο βαθμό και θέμα ευκολίας. Στην μαθηματική καθημερινότητα, η καλύτερη επιλογή μάλλον είναι η άτυπη χρήση της αξιωματικής συνολοθεωρίας. Αναφορές σε συγκεκριμένα τυπικά αξιώματα, εμφανίζονται μόνο όταν το απαιτεί η παράδοση, γιαπ.χ. τοαξίωμα της επιλογής συχνά αναφέρεται όταν χρησιμοποιείται. Παρομοίως, τυπικές αποδείξεις εμφανίζονται μόνον όταν ειδικές περιστάσεις το απαιτούν. Αυτή η άτυπη χρήση της αξιωματικής συνολοθεωρίας, μπορεί να έχει (ανάλογα μετον συμβολισμό), ακριβώς τηνεμφάνιση της αφελούς συνολοθεωρίας, όπως περιγράφεται παρακάτω, και είναι αισθητά ευκολότερη, καινα διαβάζεται καινα γράφεται, συμπεριλαμβανομένης και της τυποποίησης των περισσότερων προτάσεων και αποδείξεων καιεν γένει της μαθηματικής συζήτησης, και είναι πιθανότατα, λιγότερο επιρρεπής σε λάθη για τους περισσότερους ανθρώπους, συγκριτικά μεμια αυστηρή, τυπική προσέγγιση.
Στην αφελή συνολοθεωρία, ένα σύνολο περιγράφεται ως μία καλά-ορισμένη συλλογή αντικειμένων. Αυτά τα αντικείμενα ονομάζονται στοιχεία ή μέλητου συνόλου. Αντικείμενα μπορεί να είναι οτιδήποτε: αριθμοί, άνθρωποι, άλλα σύνολα, κτλ. Για παράδειγμα, το 4 είναι μέλος του συνόλου των άρτιων ακεραίων. Σαφώς, το σύνολο των άρτιων αριθμών είναι άπειρα μεγάλο. Δεν απαιτείται ένα σύνολο να είναι πεπερασμένο.
Εδάφιο του πρωτότυπου ορισμού του συνόλου από τον Γκέοργκ Καντόρ
«Unter einer “Menge” verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die “Elemente” von M genannt werden) zu einem Ganzen.» – Georg Cantor
«Σύνολο είναι μία συλλογή καθορισμένων, διακριτών αντικειμένων της αντίληψης ή της σκέψης μας—τα οποία ονομάζονται στοιχεία του συνόλου» – Γκέοργκ Κάντορ
Δεν συνεπάγεται από αυτόν τον ορισμό τοπως μπορούν να σχηματιστούν τα σύνολα, και ποιες πράξεις πάνω στα σύνολα παράγουν εκ νέου ένα σύνολο. Ο όρος «καλά ορισμένη» στην έκφραση «καλά ορισμένη συλλογή αντικειμένων» δεν μπορεί, από μόνος του, να διασφαλίσει την συνέπεια καιτη σαφήνεια τουτι ακριβώς αποτελεί καιτι όχι ένα σύνολο. Η προσπάθεια να επιτευχθεί αυτό αποτελεί αντικείμενο της αξιωματικής θεωρίας συνόλων ή της αξιωματικής κλασσικής θεωρίας.
Το πρόβλημα, που δημιουργείται με τις άτυπα διατυπωμένες θεωρίες συνόλων, πουδεν πηγάζουν από (καιδεν συνεπάγονται) κάποια συγκεκριμένη αξιωματική θεωρία, είναι ότι μπορεί να υπάρχουν πολλές, ευρέως διαφορετικές, διατυπωμένες εκδοχές, οι οποίες να έχουν διαφορετικά σύνολα καθώς και διαφορετικούς κανόνες ως προς το πώς δημιουργούνται νέα σύνολα, καιοι οποίες όλες προσαρμόζονται στον αρχικό άτυπο ορισμό. Για παράδειγμα, ο ακριβής ορισμός του Κάντορ επιτρέπει μεγάλη ελευθερία ως προς τοτι αποτελεί ένα σύνολο. Από την άλλη, είναι απίθανο ο Κάντορ να ενδιαφερόταν ιδιαίτερα για σύνολα που περιέχουν γάτες και σκύλους, αλλά μάλλον μόνο για σύνολα καθαρά μαθηματικών αντικειμένων. Ένα παράδειγμα μιας τέτοιας κλάσης συνόλων θα μπορούσε να είναι τοσύμπαν τουΦον Νόιμαν. Αλλά ακόμα και εάν θέσουμε την κλάση των συνόλων υπό εξέταση, δεν είναι πάντοτε εμφανές ποιοι κανόνες γιατον σχηματισμό συνόλων επιτρέπονται χωρίς να δημιουργούνται παράδοξα.
Με σκοπό λοιπόν τον καθορισμό της συζήτησης παρακάτω, ο όρος "καλά ορισμένος" θα ερμηνεύεται αντ’ αυτού ως μία πρόθεση, είτε με έμμεσους είτε με άμεσους κανόνες (αξιώματα ή ορισμούς), γιατην αποφυγή παρερμηνειών. Σκοπός μας είναι να κρατηθούν μακριά τα συχνά βαθειά και δύσκολα θέματα συνέπειας από το, συνήθως απλούστερο, επικείμενο πλαίσιο. Πάντως, μία ρητή αποφυγή όλων των ασυνεπειών (παραδόξων) δεν μπορεί να επιτευχθεί για μία αξιωματική συνολοθεωρία, λόγω του δεύτερου θεωρήματος της μη πληρότητας του Γκέντελ, και επομένως αυτό δεν δυσχεραίνει την χρησιμότητα της αφελούς συνολοθεωρίας σε σχέση μετην αξιωματική θεωρία συνόλων στα απλά πλαίσια που εξετάζονται παρακάτω. Απλώς διευκολύνει και απλουστεύει τη συζήτηση. Στο εξής λοιπόν η συνέπεια θα θεωρείται δεδομένη εκτός καιαν αναφέρεται ρητά.
Εάν τοx είναι στοιχείο ενός συνόλου A, τότε λέμε επίσης ότι τοxανήκει στοA, ή ότι τοx βρίσκεται στοA. Συμβολίζεται μεx ∈ A. Το σύμβολο ∈ προέρχεται από το πεζό ελληνικό γράμμα έψιλον, "ε", εισήχθη από τονΤζουζέπε Πεάνοτο 1889 πρέπει να είναι το πρώτο γράμμα της λέξης ἐστί (που σημαίνει "είναι"). Το σύμβολο ∉ χρησιμοποιείται αρκετά συχνά ως x ∉ A, και σημαίνει " το x δεν βρίσκεται στο A".
Δύο σύνολα AκαιBθα ονομάζονται εξ ορισμού ίσα όταν θα έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία, όταν δηλαδή, κάθε στοιχείο του συνόλου A είναι και στοιχείο του συνόλου Bκαι κάθε στοιχείο τουB είναι στοιχείο τουA. (Βλέπε αξίωμα έκτασης.) Έτσι ένα σύνολο καθορίζεται πλήρως από τα στοιχεία του, ενώ η περιγραφή του είναι επουσιώδης. Για παράδειγμα, το σύνολο με στοιχεία τους αριθμούς 2, 3, και 5 είναι ίσο μετο σύνολο τωνπρώτων αριθμώνπου είναι μικρότεροι του 6.
Εάν τα σύνολα AκαιB είναι ίσα, τότε γράφουμε (συμβολισμός): A = B (ως είθισται).
Τοκενό σύνολο, το οποίο συχνά συμβολίζεται με Ø ή κάποιες φορές με, είναι ένα σύνολο πουδεν περιέχει καθόλου στοιχεία. Ακριβώς επειδή ένα σύνολο καθορίζεται πλήρως από τα στοιχεία του, υπάρχει ένα μοναδικό κενό σύνολο. (αξίωμα κενού συνόλου.) Παρόλο πουτο κενό σύνολο δεν έχει καθόλου στοιχεία, μπορεί να είναι στοιχείο άλλων συνόλων. Έτσι Ø ≠ {Ø}, επειδή το πρώτο σύνολο δεν έχει κανένα στοιχείο ενώ το δεύτερο έχει ένα(το κενό σύνολο). Στα μαθηματικά τα μοναδικά σύνολα μετα οποία χρειάζεται να ασχοληθεί κανείς μπορούν να δημιουργηθούν από το κενό σύνολο και μόνο (Halmos (1974)).
Οπιο εύκολος τρόπος να περιγράψει κανείς ένα σύνολο είναι να καταγράψει τα στοιχεία του μεταξύ αγκυλών. Έτσι, {1, 2} είναι το σύνολο του οποίου τα μόνα στοιχεία είναι το1καιτο2.
Η σειρά των στοιχείων είναι ασήμαντικη, για παράδειγμα: {1, 2} = {2, 1}.
Η επάναληψη (πολλαπλότητα) στοιχείων είναι άσχετη. Για παράδειγμα, {1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2}.
(Αυτές οι παρατηρήσεις είναι συνέπεια του ορισμού της ισότητας που δόθηκε σε προηγούμενη ενότητα.)
Μπορεί να γίνει (ανεπίσημα) κατάχρηση αυτού του τρόπου γραφής γράφοντας κάτι σαν{dogs}γιατον προσδιορισμό του συνόλου όλων των σκύλων, αλλά αυτό το παράδειγμα θα εκλαμβάνονταν συνήθως από μαθηματικούς ως "το σύνολο που περιέχει μόνο το στοιχείο σκύλοι".
Ένα ακραίο (αλλά σωστό) παράδειγμα αυτής της γραφής είναι {}, το οποίο συμβολίζει το κενό σύνολο.
Η γραφή {x : P(x)}, ή μερικές φορές {x | P(x)}, χρησιμοποιείται γιατον προσδιορισμό του συνόλου που περιέχει όλα τα στοιχεία γιατα οποία ισχύει η ιδιότητα P. Για παράδειγμα, το{x : x ∈ R} υποδηλώνει το σύνολο τωνπραγματικών αριθμών, ενώ το{x : x έχει ξανθά μαλλιά} δηλώνει το σύνολο από οποιουδήποτε έχει ξανθά μαλλιά.
{x ∈ A : P(x)}που δηλώνει το σύνολο όλων τωνxπου ανήκουν ήδη στο σύνολο Aκαιτα οποία ικανοποιούν την ιδιότητα P. Για παράδειγμα, εάν Z είναι το σύνολο τωνακεραίων, τότε {x ∈ Z : x είναι άρτιος} είναι το σύνολο όλων τωνάρτιων ακεραίων. (Βλέπε αξίωμα του διαχωρισμού.)
{F(x) : x ∈ A}που δηλώνει το σύνολο των αντικειμένων που παράγονται από τα στοιχεία του συνόλου A όταν τα εισάγουμε στον τύπο F. Για παράδειγμα, {2x : x ∈ Z} είναι και πάλι το σύνολο όλων των άρτιων ακεραίων. (Βλέπε αξίωμα της αντικατάστασης.)
{F(x) : P(x)} είναι ηπιο γενική μορφή σύνολο-κατασκευαστικής γραφής. Για παράδειγμα, {ιδιοκτήτης τουx : x είναι σκύλος} είναι το σύνολο όλων των ιδιοκτητών σκύλων.
Δοθέντων δύο συνόλων AκαιB, το σύνολο A είναι ένα υποσύνολοτουB εάν κάθε στοιχείο τουA είναι ταυτόχρονα και στοιχείο τουB.
Ειδικότερα, κάθε σύνολο B είναι υποσύνολο του εαυτού του. Κάθε υποσύνολο τουBπουδεν είναι ίσο μετοB ονομάζεται γνήσιο υποσύνολο.
Εάν A είναι ένα υποσύνολο τουB, τότε μπορούμε να πούμε επίσης ότι τοB είναι ένα υπερσύνολοτουA, ότι τοAπεριέχεταιστοB, ή ότι τοBπεριέχειτο σύνολο A. Συμβολίζουμε με, A ⊆ Bπου σημαίνει ότι τοA είναι υποσύνολο τουB, καιμεB ⊇ Aπου σημαίνει ότι τοB είναι υπερσύνολο τουA.
Μερικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τα σύμβολα ⊂ και ⊃ για υποσύνολα, ενώ άλλοι χρησιμοποιούν αυτά τα σύμβολα μόνο γιαγνήσια υποσύνολα. Για λόγους λοιπόν σαφήνειας, μπορεί κανείς να χρησιμοποιεί ρητά τα σύμβολα ⊊ και ⊋ γιανα δηλώσει ανισότητα.
Ας συμβολίσουμε μεRτο σύνολο των πραγματικών αριθμών, μεZτο σύνολο των ακεραίων, μεOτο σύνολο των περιττών ακεραίων, καιμεPτο σύνολο όλων τωνπροέδρων τωνΗΠΑ. Τότε τοO είναι υποσύνολο τουZ, τοZ είναι υποσύνολο τουR, και (ως εκ τούτου) τοO είναι υποσύνολο τουR, όπου σε όλες τις περιπτώσεις ο όρος υποσύνολοθα μπορούσε να ληφθεί ως γνήσιο υποσύνολο.
Δεν είναι όλα τα σύνολα συγκρίσιμα κατ αυτόν τον τρόπο. Για παράδειγμα, δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ούτε ότι το σύνολο R είναι υποσύνολο του συνόλου P ούτε ότι τοP είναι υποσύνολο τουR.
Είναι άμεσο επακόλουθο του ορισμού της ισότητας συνόλων που δόθηκε παραπάνω, ότι δοθέντος δύο συνόλων AκαιB, A = Bανκαι μόνο εάν A ⊆ BκαιB ⊆ A. Στην πραγματικότητα αυτός δίνεται συχνά ως ο ορισμός της ισότητας. Συνήθως όταν κάποιος προσπαθεί νααποδείξει ότι δύο σύνολα είναι ίσα, στοχεύει στονα δείξει αυτές τις δύο εγκλείσεις. Τοκενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου (ο ισχυρισμός ότι κάθε στοιχείο του κενού συνόλου είναι επίσης στοιχείο κάθε άλλου συνόλου A είναι αληθής με κενό τρόπο).
Το σύνολο όλων των υποσυνόλων ενός συνόλου A ονομάζεται δυναμοσύνολοτουAκαι συμβολίζεται με ή με. Μερικές φορές το "P" είναι καλλιγραφικό. Εάν το σύνολο A έχει n στοιχεία, τότε τοθα έχει στοιχεία.
Σε ορισμένες περιπτώσεις, θα μπορούσε κάποιος να θεωρήσει όλα τα σύνολα, ως υποσύνολα κάποιου καθολικού συνόλου.
Για παράδειγμα, όταν μελετάμε τις ιδιότητες τωνπραγματικών αριθμώνR (καιτων υποσυνόλων τουR), τοR μπορεί να θεωρηθεί ως το καθολικό σύνολο. Ένα πραγματικά καθολικό σύνολο, δεν περιλαμβάνεται στην κανονική θεωρία συνόλων (βλέπε Παράδοξα παρακάτω), ωστόσο περιλαμβάνεται σε κάποιες μη – κανονικές συνολοθεωρίες.
Δοθέντος ενός καθολικού συνόλου Uκαι ενός υποσυνόλου AτουU, τοσυμπλήρωματουA (στοU) ορίζεται ως :AC := {x∈U : x∉A}.
Με άλλα λόγια, AC ("A-συμπλήρωμα") είναι το σύνολο όλων των στοιχείων τουUπουδεν είναι στοιχεία τουA.
Κατά συνέπεια, σύμφωνα με τους ορισμούς τωνR, ZκαιO, όπως ορίστηκαν στην παράγραφο υποσύνολα, ανZ είναι το καθολικό σύνολο, τότε OC είναι το σύνολο των άρτιων ακεραίων, ενώ ανR είναι το καθολικό σύνολο, τότε OC είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών που είναι είτε άρτιοι ακέραιοι, είτε όχι ακέραιοι.
Δοθέντων δύο συνόλων AκαιB, ηένωση τους, είναι το σύνολο που αποτελείται από όλα τα αντικείμενα που είναι είτε στοιχεία τουA, είτε τουB, είτε καιτων δύο (βλέπε αξίωμα της ένωσης). Συμβολίζεται μεA ∪ B.
ΗτομήτωνAκαιB, είναι το σύνολο όλων των αντικειμένων που είναι συγχρόνως στοAκαιστοB. Συμβολίζεται μεA ∩ B.
Τέλος, το σχετικό συμπλήρωματουB σχετικά μετοA, επίσης γνωστό ως συνολοθεωρητική διαφοράτωνAκαιB, είναι το σύνολο όλων των αντικειμένων που ανήκουν στοAκαιόχιστοB. Συμβολίζεται μεA \ B ή A − B.
A ∩ B := {x : (x ∈ A) και (x ∈ B)} = {x ∈ A : x ∈ B} = {x ∈ B : x ∈ A};
A \ B := {x : (x ∈ A) και όχι (x ∈ B) } = {x ∈ A : όχι (x ∈ B)}.
Παρατηρήστε ότι τοAδεν είναι αναγκαίο να είναι υποσύνολο τουB, ώστε τοB \Aνα έχει νόημα. Αυτή είναι καιη βασική διαφορά μεταξύ του σχετικού συμπληρώματος καιτου απόλυτου συμπληρώματος (AC = UA) από την προηγούμενη παράγραφο.
Γιανα διευκρινίσουμε αυτές τις έννοιες, έστω ότι A είναι το σύνολο των αριστερόχειρων ανθρώπων, και έστω ότι B είναι το σύνολο των ανθρώπων με ξανθά μαλλιά. Τότε A ∩ B είναι το σύνολο όλων των αριστερόχειρων με ξανθά μαλλιά ανθρώπων, ενώ A ∪ B είναι το σύνολο όλων των ανθρώπων που είναι είτε αριστερόχειρες, είτε έχουν ξανθά μαλλιά, είτε καιτα δύο. A \B, από την άλλη, είναι το σύνολο όλων των ανθρώπων που είναι αριστερόχειρες, όμως όχι ξανθοί, ενώ B \A είναι το σύνολο όλων των ανθρώπων που είναι ξανθοί, όμως όχι αριστερόχειρες.
Τώρα, έστω ότι E είναι το σύνολο όλων των ανθρώπων που υπήρξαν ποτέ, και έστω ότι F είναι το σύνολο όλων των ζωντανών αντικειμένων άνω των 1000 ετών. Τι είναι τοE ∩ Fσε αυτήν την περίπτωση; Κανένα ανθρώπινο ονδεν είναι περισσότερο από 1000 ετών, οπότε τοE ∩ Fπρέπει να είναι τοκενό σύνολο {}.
Για οποιοδήποτε σύνολο A, το δυναμοσύνολο τουA, είναι μιαΆλγεβρα Μπουλμε πράξεις την ένωση καιτην τομή.
Διαισθητικά, ένα διατεταγμένο ζεύγος είναι απλά μια συλλογή από δύο αντικείμενα τέτοια ώστε το ένα να μπορεί να διακριθεί ως τοπρώτο στοιχείοκαιτο άλλο ως τοδεύτερο στοιχείο, και έχουν μια θεμελιώδη ιδιότητα ότι, δύο διατεταγμένα ζεύγη είναι ίσα, ανκαι μόνον ανταπρώτα στοιχεία τους είναι ίσα καιταδεύτερα στοιχεία τους είναι ίσα.
Αυστηρότερα, ένα διατεταγμένο ζεύγος μεπρώτη συντεταγμένηa, καιδεύτερη συντεταγμένηb, συχνά συμβολίζεται με (a, b), μπορεί να οριστεί ως το σύνολο {{a}, {a, b}}.
Έπεται ότι, δύο διατεταγμένα ζεύγη (a,b) και (c,d) είναι ίσα ανκαι μόνον ανa = cκαιb = d.
Εναλλακτικά, ένα διατεταγμένο ζεύγος μπορεί αυστηρά να θεωρηθεί σαν ένα σύνολο {a,b} ολικά διατεταγμένο.
(Ο συμβολισμός (a, b) χρησιμοποιείται επίσης γιανα συμβολιστεί ένα ανοιχτό διάστημαστηνευθεία των πραγματικών αριθμών, ωστόσο το περιεχόμενο θα πρέπει να έχει αποσαφηνίσει γιαποια ερμηνεία προορίζεται. Αλλιώς,ο συμβολισμός ]a, b[ θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί γιανα συμβολίσει το ανοιχτό διάστημα, όταν το (a, b) χρησιμοποιείται γιατο διατεταγμένο ζεύγος).
ΑνAκαιB είναι σύνολα, τότε τοΚαρτεσιανό γινόμενο (ή απλά γινόμενο) ορίζεται ως εξής:
A × B = {(a,b) : a βρίσκεται στοAκαιb βρίσκεται στοB}.
Αυτό σημαίνει πως, A × B είναι το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών, των οποίων η πρώτη συντεταγμένη είναι στοιχείο τουAκαιη δεύτερη συντεταγμένη στοιχείο τουB.
Αυτός ο ορισμός μπορεί να επεκταθεί καιστο σύνολο A × B × C διατεταγμένων τριάδων, καιεν γένει σε σύνολα διατεταγμένων n-άδωνγια οποιονδήποτε θετικό ακέραιο n.
Είναι επίσης εφικτό να οριστούν άπειρα Καρτεσιανά γινόμενα, ωστόσο αυτό απαιτεί έναν πιο δυσνόητο ορισμό του γινομένου.
Οιφυσικοί αριθμοί χρησιμοποιούνται γιατην αρίθμηση. Το σύμβολο () συχνά αναπαριστά αυτό το σύνολο.
Οιακέραιοι εμφανίζονται ως λύσεις γιατοxσε εξισώσεις της μορφής x + a = b. Το σύμβολο () συχνά αναπαριστά αυτό το σύνολο (από την γερμανική λέξη Zahlen, που σημαίνει αριθμοί).
Οιρητοί αριθμοί εμφανίζονται ως λύσεις σε εξισώσεις της μορφής a + bx = c. Το σύμβολο () συχνά αναπαριστά αυτό το σύνολο (από τοquotient, επειδή το R χρησιμοποιείται γιατο σύνολο των πραγματικών αριθμών).
Οιπραγματικοί αριθμοί αναπαριστούν την "πραγματική ευθεία" και περιλαμβάνουν όλους τους αριθμούς που μπορούν να προσεγγιστούν από ρητούς. Αυτοί οι αριθμοί μπορεί να είναι ρητοί ή αλγεβρικοί, ωστόσο μπορεί να είναι καιυπερβατικοί αριθμοί, οι οποίοι δεν εμφανίζονται ως λύσεις πολυωνυμικών εξισώσεων με ρητούς συντελεστές. Το σύμβολο () συχνά αναπαριστά αυτό το σύνολο.
Οιμιγαδικοί αριθμοί είναι το άθροισμα κάποιου πραγματικού και κάποιου φανταστικού αριθμού: r + si. Εδώ καιτοrκαιτοs μπορούν να είναι ίσα μετο μηδέν, ωστόσο, το σύνολο των πραγματικών αριθμών καιτο σύνολο των φανταστικών αριθμών, είναι υποσύνολα του συνόλου των μιγαδικών αριθμών, τα οποία διαμορφώνουν μιααλγεβρική κλειστότηταγιατο σύνολο των πραγματικών αριθμών, το οποίο σημαίνει πως οποιοδήποτε πολυώνυμο με συντελεστές από το έχει τουλάχιστον μία ρίζασε αυτό το σύνολο. Το σύμβολο () συχνά αναπαριστά αυτό το σύνολο. Από τη στιγμή πουο αριθμός r + si μπορεί να παρασταθεί από ένα σημείο (r, s) στο επίπεδο, τοC είναι ουσιαστικά "το ίδιο"μετο καρτεσιανό γινόμενο R×R ("το ίδιο", σημαίνει ότι οποιοδήποτε σημείο στο ένα καθορίζει ένα μοναδικό σημείο στο άλλο καιδεν ενοχλεί το αποτέλεσμα των υπολογισμών τοποιο από τα δύο θα χρησιμοποιηθεί).
Y = {x : {} = {}} απέφερε τηνδεύτερη αντινομία του Κάντορ κατά το έτος 1899. Εδώ, η ιδιότητα P είναι αληθής για όλα ταx, οτιδήποτε καινα είναι οx, οπότε τοYθα μπορούσε να είναι ένα καθολικό σύνολο, καινα περιέχει τα πάντα.
Y = {x : x ∉ x}, π.χ. των σύνολο όλων των συνόλων πουδεν αυτοπεριέχονται, οδήγησε στοπαράδοξο του Ράσελτο 1902.
ΑνPείναι μια ιδιότητα, τότε για οποιοδήποτε σύνολο Xυπάρχει ένα σύνολοY = {x ∈ X : P(x)
και τότε όλα τα παραπάνω παράδοξα εξαφανίζονται. Υπάρχει ένα πόρισμα. Μετο αξίωμα – σχήμα του διαχωρισμού ως αξίωμα της θεωρίας, έπεται ως θεώρημα από τη θεωρία ότι:
Το σύνολο όλων των συνόλων δεν υπάρχει.
Απόδειξη:Υποθέστε ότι υπάρχει και ονομάστε τοU. Τώρα εφαρμόστε το αξίωμα – σχήμα του διαχωρισμού γιαX = UκαιστηνP(x) χρησιμοποιείστε x ∉ x. Αυτό οδηγεί στο παράδοξο του Ράσελ ξανά. Οπότε τοUδεν μπορεί να υπάρχει σε αυτήν την θεωρία.
Σχετικός με τις παραπάνω κατασκευές είναι ο σχηματισμός του συνόλου
Y = {x : (x ∈ x) → {} ≠ {}}, όπου η δήλωση που ακολουθεί το συμπέρασμα είναι προφανώς ψευδής. Έπεται, από τον ορισμό τουY, χρησιμοποιώντας τους συνήθεις κανόνες συμπερασμού και κάποιες επιπλέον σκέψεις, ότι ισχύουν αμφότερα Y ∈ Y → {} ≠ {}καιY ∈ Y, με συνέπεια {} ≠ {}. Αυτό αποτελεί τοπαράδοξο του Κάρι (Curry).
Ωστόσο εδώ, (μάλλον περίεργο) δεν είναι η δυνατότητα τουx ∈ xπου είναι προβληματική, είναι ξανά το αξίωμα – σχήμα της περιεκτικότητας που επιτρέπει να συμβαίνει το(x ∈ x) → {} ≠ {}γιατοP(x). Μετο αξίωμα – σχήμα του διαχωρισμού αντί για αυτό της περιεκτικότητας, το συμπέρασμα Y ∈ Yδεν έπεται, και άρα το{} ≠ {}δεν αποτελεί λογικό συμπέρασμα.
Παρ’ όλα αυτά, η δυνατότητα τουx ∈ x συχνά αφαιρείται ρητά ή γιαπ.χ. στο ZFC, σιωπηρά, ισχυριζόμενοι πως ισχύει τοαξίωμα της κανονικότητας. Μια συνέπεια αυτού είναι:
Δεν υπάρχει σύνολοXγιατο οποίοX ∈ X,
Με άλλα λόγια, κανένα σύνολο δεν είναι στοιχείο του εαυτού του.
Το αξίωμα – σχήμα του διαχωρισμού είναι πολύ ανίσχυρο (ενώ το αξίωμα – σχήμα της περιεκτικότητας είναι πολύ ισχυρό – υπερβολικά ισχυρό γιατην συνολοθεωρία), γιανα αναπτύξει την συνολοθεωρία με τις συνήθεις πράξεις και κατασκευές όπως περιγράφηκαν πιο πάνω. Το αξίωμα της κανονικότητας έχει την ίδια περιοριστική φύση επίσης. Οπότε, αυτά οδηγούν στην διατύπωση άλλων αξιωμάτων, γιανα εξασφαλιστεί η ύπαρξη αρκετών συνόλων ώστε να σχηματιστεί μια συνολοθεωρία. Κάποια εξ’ αυτών περιγράφηκαν ήδη ανεπίσημα πιο πάνω, και αρκετά ακόμη είναι εφικτά. Δεν μπορούν όλα τα νοητά αξιώματα να συνδυάζονται χωρίς περιορισμούς σε συνεπείς θεωρίες. Για παράδειγμα, τοαξίωμα της επιλογήςτου ZFC, είναι ασύμβατο μετοκάθε σύνολο πραγματικών αριθμών είναι Λεμπέκ (Lebesgue) μετρήσιμο. Το πρώτο συμπεραίνει ότι το τελευταίο είναι ψευδές.
↑Σχετικά μετην προέλευση του όρου αφελής συνολοθεωρία , ο Jeff Miller είπε, “η Αφελής συνολοθεωρία (αντίθετα μετην αξιωματική συνολοθεωρία) χρησιμοποιήθηκε περιστασιακά κατά τη δεκαετία του 1940 και καθιερώθηκε σαν όρος τη δεκαετία του 1950. Εμφανίστηκε στην κριτική του Hermann Weyl's γιατο κείμενο του P. A. Schilpp Η Φιλοσοφία του Bertrand RussellστηνAmerican Mathematical Monthly, 53., No. 4. (1946), σελ. 210 και στην κριτική του Laszlo Kalmar's γιαΤο Παράδοξο των Kleene και RosserστηνJournal of Symbolic Logic, 11, No. 4. (1946), σελ. 136. (JSTOR).” [1]Ο όρος αργότερα έγινε γνωστός από το βιβλίο τουPaul Halmos', Αφελής συνολοθεωρία (1960).
↑Γράμματα του Κάντορ στονRichard Dedekind στις 3 Αυγούστου 1899 και στις 30 Αυγούστου 1899, Zermelo 1932σελ. 448 (System aller denkbaren Klassen) καιMeschkowski & Nilson 1991σελ. 407. (Δεν υπάρχει σύνολο όλων των συνόλων.)
Kelley, J.L., General Topology, Van Nostrand Reinhold, New York, NY, 1955.
van Heijenoort, J., From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. Reprinted with corrections, 1977. ISBN 0-674-32449-8.
Peano, Giuseppe (1889), Arithmetices Principies nova Methoda exposita, Turin 1889.
Zermelo, Ernst (1932), Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor-Dedekind. Edited by the author., Springer
