(Translated by https://www.hiragana.jp/)
Αφελής συνολοθεωρία - Βικιπαίδεια Μετάβαση σしぐまτたうοおみくろん περιεχόμενο

Αφελής συνολοθεωρία

Από τたうηいーた Βικιπαίδεια, τたうηいーたνにゅー ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Αυτό τたうοおみくろん λήμμα αφορά the mathematical topic. Γがんまιいおたαあるふぁ the book of the same name, δείτε: Naive Set Theory (book).

Ηいーた Αφελής συνολοθεωρία είναι μία από τις αρκετές θεωρίες συνόλων πぱいοおみくろんυうぷしろん χρησιμοποιείται γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーた συζήτηση τたうωおめがνにゅー θεμελίων τたうωおめがνにゅー μαθηματικών.[1] Αντίθετα οおみくろんιいおた αξιωματικές θεωρίες συνόλων, οおみくろんιいおた οποίες ορίζονται χρησιμοποιώντας τたうηいーたνにゅー τυπική λογική, ηいーた αφελής συνολοθεωρία ορίζεται άτυπα, σしぐまτたうηいーた φυσική γλώσσα.Περιγράφει τις πτυχές τたうωおめがνにゅー μαθηματικών συνόλων όμοια μみゅーεいぷしろん τたうαあるふぁ διακριτά μαθηματικά (γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα τたうαあるふぁ διαγράμματα Venn κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた συμβολική συλλογιστική περί της δικής τους Άλγεβρας Μみゅーπぱいοおみくろんυうぷしろんλらむだ), κかっぱαあるふぁιいおた αρκεί γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー καθημερινή χρήση εννοιών της θεωρίας συνόλων σしぐまτたうαあるふぁ σύχρονα μαθηματικά.[εκκρεμεί παραπομπή]

Τたうαあるふぁ σύνολα είναι μεγάλης σημασίας γがんまιいおたαあるふぁ τたうαあるふぁ μαθηματικά, σしぐまτたうηいーたνにゅー πραγματικότητα, στις σύγχρονες τυπικές προσεγγίσεις, τたうαあるふぁ περισσότερα μαθηματικά αντικείμενα (αριθμοί, σχέσεις, συναρτήσεις,κかっぱ.οおみくろん.κかっぱ.) ορίζονται μみゅーεいぷしろん τους όρους τたうωおめがνにゅー συνόλων. Ηいーた αφελής συνολοθεωρία μπορεί νにゅーαあるふぁ θεωρηθεί ως θεμέλιος λίθος στις περισσότερες τυπικές προσεγγίσεις, κかっぱαあるふぁιいおた αρκεί γがんまιいおたαあるふぁ πολλούς σκοπούς.

Συνθέτοντας τたうηいーたνにゅー αφελή συνολοθεωρία

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Από εδώ κかっぱαあるふぁιいおた πέρα, ηいーた αφελής θεωρία θεωρείται ως μία άτυπη θεωρία, αυτό σημαίνει, μία θεωρία πぱいοおみくろんυうぷしろん χρησιμοποιεί φυσική γλώσσα γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ περιγράψει σύνολα κかっぱαあるふぁιいおた πράξεις σしぐまτたうαあるふぁ σύνολα. Οおみくろんιいおた λέξεις κかっぱαあるふぁιいおた, ή, αあるふぁνにゅー ... τότε, οおみくろんχかいιいおた, γがんまιいおたαあるふぁ κάποιο, γがんまιいおたαあるふぁ κάθε δでるたεいぷしろんνにゅー υπάγονται εδώ σしぐまεいぷしろん αυστηρό ορισμό. Είναι χρήσιμο νにゅーαあるふぁ μελετάμε τたうαあるふぁ σύνολα αあるふぁπぱいλらむだοおみくろんïκά, σしぐまεいぷしろん ένα πρώιμο στάδιο τたうωおめがνにゅー μαθηματικών, μみゅーεいぷしろん σκοπό νにゅーαあるふぁ αναπτύξουμε ένα κατάλληλο πλαίσιο εργασίας μみゅーεいぷしろん αυτά. Επιπλέον, μみゅーιいおたαあるふぁ σταθερή κατανόηση τたうωおめがνにゅー εννοιών της θεωρίας τたうωおめがνにゅー συνόλων από μみゅーιいおたαあるふぁ αφελή άποψη είναι ένα βήμα γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ καταλάβουμε τたうοおみくろん κίνητρο τたうωおめがνにゅー τυπικών αξιωμάτων της θεωρίας συνόλων.Ως διευκόλυνση, ηいーた χρήση της αφελούς συνολοθεωρίας κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん φορμαλισμός της επικρατούν ακόμη κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうαあるふぁ ανώτερα μαθηματικά – συμπεριλαμβανομένων κかっぱαあるふぁιいおた πぱいιいおたοおみくろん τυπικών κατασκευών από τたうηいーたνにゅー ίδια τたうηいーた θεωρία συνόλων.

Τたうαあるふぁ σύνολα ορίζονται άτυπα κかっぱαあるふぁιいおた ερευνώνται μερικές από τις ιδιότητές τους. Ηいーた σύνδεση μみゅーεいぷしろん ειδικά αξιώματα της θεωρίας συνόλων περιγράφουν κάποιες από τις σχέσεις μεταξύ της ανεπίσημης συζήτησης εδώ κかっぱαあるふぁιいおた της επίσημης αξιωματικοποίησης της θεωρίας συνόλων, αλλά δでるたεいぷしろんνにゅー γίνεται καμία προσπάθεια γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ δικαιολογήσει κάθε πρόταση, σしぐまεいぷしろん μία τυπική βάση. Ηいーた πρώτη ανάπτυξη της θεωρίας συνόλων ήταν μία αφελής συνολοθεωρία. Δημιουργήθηκε σしぐまτたうοおみくろん τέλος τたうοおみくろんυうぷしろん 19οおみくろんυうぷしろん αιώνα από τたうοおみくろんνにゅー Γκέοργκ Κάντορ ως τμήμα της μελέτης τたうοおみくろんυうぷしろん γがんまιいおたαあるふぁ τたうαあるふぁ άπειρα σύνολα[2] κかっぱαあるふぁιいおた αναπτύχθηκε από τたうοおみくろんνにゅー Γκότλομπ Φρέγκε σしぐまτたうοおみくろん Begriffsschrift.

Ηいーた αφελής συνολοθεωρία αναφέρεται σしぐまεいぷしろん ένα πλήθος διακριτών εννοιών. Μπορεί νにゅーαあるふぁ αναφέρεται σしぐまεいぷしろん

  • Ανεπίσημη παρουσίαση μιας αξιωματικής θεωρίας συνόλων, πぱい.χかい. σしぐまτたうοおみくろん βιβλίο Naive Set Theory τたうοおみくろんυうぷしろん Πぱいοおみくろんλらむだ Χάλμος.
  • Πρώιμες ή μεταγενέστερες εκδοχές της θεωρίας τたうοおみくろんυうぷしろん Γκέοργκ Κάντορ κかっぱαあるふぁιいおた άλλα άτυπα συστήματα.
  • Αναμφισβήτητα ασυνεπείς θεωρίες (αξιωματικές ή μみゅーηいーた), όπως μみゅーιいおたαあるふぁ θεωρία τたうοおみくろんυうぷしろん Γκότλομπ Φρέγκε[3] πぱいοおみくろんυうぷしろん απέφερε τたうοおみくろん παράδοξο τたうοおみくろんυうぷしろん Ράσελ, κかっぱαあるふぁιいおた θεωρίες τたうοおみくろんυうぷしろん Τζουζέπε Πεάνο[4] κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんυうぷしろん Ρίχαρντ Ντέντεκιντ.

Όπως προέκυψε, υποθέτοντας ότι κάποιος μπορεί νにゅーαあるふぁ διαμορφώσει σύνολα ελεύθερα χωρίς περιορισμό, οδηγούμαστε σしぐまεいぷしろん παράδοξα. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, ηいーた υπόθεση ότι κάποιος μπορεί νにゅーαあるふぁ συγκεντρώσει, σしぐまαあるふぁνにゅー σύνολο, όλα τたうαあるふぁ (μαθηματικά) αντικείμενα πぱいοおみくろんυうぷしろん έχουν μみゅーιいおたαあるふぁ δεδομένη ιδιότητα είναι εσφαλμένη. Μみゅーεいぷしろん άλλα λόγια, ηいーた δήλωση ότι

(, όπου P(x) θしーたαあるふぁ πρέπει νにゅーαあるふぁ διαβάζεται ως, οおみくろん "x έχει τたうηいーたνにゅー ιδιότητα P",) είναι ένα σύνολο πぱいοおみくろんυうぷしろん θしーたαあるふぁ οδηγεί σしぐまεいぷしろん παράδοξα, συγκεκριμένα τたうοおみくろん Παράδοξο τたうοおみくろんυうぷしろん Ράσελ.

Ηいーた θεωρία τたうοおみくろんυうぷしろん Cantor

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κάποιοι πιστεύουν ότι ηいーた θεωρία τたうοおみくろんυうぷしろん Γκέοργκ Κάντορ δでるたεいぷしろんνにゅー ενοχοποιήθηκε λόγω αυτών τたうωおめがνにゅー παραδόξων (βλέπε Frápolli 1991). Μία δυσκολία σしぐまτたうοおみくろんνにゅー προσδιορισμό αυτού μみゅーεいぷしろん βεβαιότητα, είναι ότι οおみくろん Κάντορ δでるたεいぷしろんνにゅー παρείχε μみゅーιいおたαあるふぁ αξιωματικοποίηση τたうοおみくろんυうぷしろん συστήματός τたうοおみくろんυうぷしろん. Μέχρι τたうοおみくろん 1899, οおみくろん Κάντορ γνώριζε κάποια από τたうαあるふぁ παράδοξα πぱいοおみくろんυうぷしろん προέρχονταν από τたうηいーたνにゅー χωρίς περιορισμούς ερμηνεία της θεωρίας τたうοおみくろんυうぷしろん, γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα τたうοおみくろん παράδοξο τたうοおみくろんυうぷしろん Κάντορ,[5] τたうοおみくろん παράδοξο Μπουράλι-Φόρτι,[6] κかっぱαあるふぁιいおた δでるたεいぷしろんνにゅー πίστευε ότι απαξίωσαν τたうηいーた θεωρία τたうοおみくろんυうぷしろん.[7] Τたうοおみくろん παράδοξο τたうοおみくろんυうぷしろん Κάντορ μπορεί σしぐまτたうηいーたνにゅー πραγματικότητα νにゅーαあるふぁ εξαχθεί από τたうηいーたνにゅー παραπάνω (εσφαλμένη) υπόθεση χρησιμοποιώντας όπου P(x) "x είναι πληθάριθμος". Οおみくろん Φρέγκε αξιωματικοποίησε μみゅーιいおたαあるふぁ θεωρία σしぐまτたうηいーたνにゅー οποία μみゅーιいおたαあるふぁ τυπική εκδοχή της αφελούς συνολοθεωρίας μπορεί νにゅーαあるふぁ ερμηνευθεί, κかっぱαあるふぁιいおた είναι αυτή ηいーた τυπική θεωρία τたうηいーたνにゅー οποία οおみくろん Μπέρτραντ Ράσελ, σしぐまτたうηいーたνにゅー πραγματικότητα εφάρμοσε όταν παρουσίασε τたうοおみくろん παράδοξό τたうοおみくろんυうぷしろん, όχι απαραίτητα μみゅーιいおたαあるふぁ θεωρία τたうηいーたνにゅー οποία οおみくろん Κάντορ, οおみくろん οποίος, όπως αναφέρθηκε, γνώριζε αρκετά παράδοξα, πιθανώς είχε σしぐまτたうοおみくろん μυαλό τたうοおみくろんυうぷしろん.

Αξιωματικές θεωρίες

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ηいーた αξιωματική θεωρία συνόλων αναπτύχθηκε σしぐまεいぷしろん απάντηση αυτών τたうωおめがνにゅー πρώιμων προσπαθειών γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー κατανόηση τたうωおめがνにゅー συνόλων,μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん στόχο νにゅーαあるふぁ προσδιοριστεί ακριβώς ποιες πράξεις επιτρεπόταν κかっぱαあるふぁιいおた πότε. Σήμερα, όταν οおみくろんιいおた μαθηματικοί μιλούν γがんまιいおたαあるふぁ "θεωρία συνόλων" ως τομέα τたうωおめがνにゅー μαθηματικών, συνήθως[εκκρεμεί παραπομπή] εννοούν τたうηいーたνにゅー αξιωματική θεωρία συνόλων. Ανεπίσημες εφαρμογές της θεωρίας συνόλων σしぐまεいぷしろん άλλα πεδία αναφέρονται κάποιες φορές ως εφαρμογές της «αφελούς συνολοθεωρίας», αλλά συνήθως γίνεται κατανοητό ότι δικαιολογούνται μみゅーεいぷしろん όρους ενός αξιωματικού συστήματος (κανονικά Ζερμέλο-Φράνκελ θεωρία συνόλων).

Μία αφελής συνολοθεωρία δでるたεいぷしろんνにゅー είναι απαραίτητα ασυνεπής, αあるふぁνにゅー αυτή ορίζει σωστά τたうαあるふぁ σύνολα πぱいοおみくろんυうぷしろん επιτρέπεται νにゅーαあるふぁ θεωρηθούν. Αυτό μπορεί νにゅーαあるふぁ γίνει μみゅーεいぷしろん χρήση τたうωおめがνにゅー ορισμών, οおみくろんιいおた οποίοι είναι απεριόριστα αξιώματα. Είναι πιθανό νにゅーαあるふぁ τεθούν όλα τたうαあるふぁ αξιώματα μみゅーεいぷしろん σαφήνεια, όπως σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση της Αφελούς Συνολοθεωρίας τたうοおみくろんυうぷしろん Halmo, ηいーた οποία είναι σしぐまτたうηいーたνにゅー πραγματικότητα μみゅーιいおたαあるふぁ άτυπη παρουσίαση της συνήθους αξιωματικής Ζερμέλο-Φράνκελ θεωρία συνόλων. Ηいーた «αφέλεια» βρίσκεται σしぐまτたうοおみくろん γεγονός ότι , ηいーた γλώσσα κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた συμβολισμοί είναι μέρος τたうωおめがνにゅー συνηθισμένων άτυπων μαθηματικών, κかっぱαあるふぁιいおた από τたうοおみくろん ότι δでるたεいぷしろんνにゅー ασχολείται μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー συνέπεια ή τたうηいーたνにゅー πληρότητα τたうοおみくろんυうぷしろん συστήματος αξιωμάτων.

Παρομοίως, μία αξιωματική θεωρία συνόλων δでるたεいぷしろんνにゅー είναι απαραίτητα συνεπής, δηλαδή δでるたεいぷしろんνにゅー είναι απαραίτητα απελευθερωμένη από παράδοξα. Έπεται από τたうαあるふぁ Θεωρήματα μみゅーηいーた πληρότητας τたうοおみくろんυうぷしろん Γκέντελ, πως ένα επαρκώς πολύπλοκο σύστημα, πρωτοβάθμιας λογικής, πぱいοおみくろんυうぷしろん περιλαμβάνει τις πぱいιいおたοおみくろん συνήθεις αξιωματικές συνολοθεωρίες, δでるたεいぷしろんνにゅー μπορεί νにゅーαあるふぁ αποδειχθεί συνεπές από τたうηいーたνにゅー ίδια τたうηいーたνにゅー θεωρία τたうοおみくろんυうぷしろん, υπό τたうοおみくろんνにゅー όρο ότι είναι πραγματικά συνεπής. Ωστόσο, τたうαあるふぁ συνήθη αξιωματικά συστήματα, γενικά θεωρούμε πως είναι συνεπή, κかっぱαあるふぁιいおた αποκλείουν, μέσω τたうωおめがνにゅー αξιωμάτων, ορισμέναπαράδοξα, όπως αυτό τたうοおみくろんυうぷしろん Ράσελ. Δでるたεいぷしろんνにゅー είναι γνωστό, κかっぱαあるふぁιいおた ούτε θしーたαあるふぁ είναι ποτέ, αあるふぁνにゅー δでるたεいぷしろんνにゅー υπάρχουν παράδοξα σしぐまεいぷしろん όλες αυτές τις θεωρίες ή σしぐまεいぷしろん οποιαδήποτε πρωτοβάθμια συνολοθεωρία.

Οおみくろん όρος αφελής συνολοθεωρία, χρησιμοποιείται ακόμη κかっぱαあるふぁιいおた σήμερα σしぐまτたうηいーたνにゅー βιβλιογραφία,[εκκρεμεί παραπομπή] όταν αναφερόμαστε σしぐまεいぷしろん συνολοθεωρίες πぱいοおみくろんυうぷしろん μελετήθηκαν από τたうοおみくろんνにゅー Frege κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんνにゅー Κάντορ, αντί τたうωおめがνにゅー αντίστοιχων άτυπων της μοντέρνας αξιωματικής συνολοθεωρίας.

Ηいーた επιλογή ανάμεσα σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ αξιωματική προσέγγιση κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまεいぷしろん άλλες προσεγγίσεις, αποτελεί σしぐまεいぷしろん μεγάλο βαθμό κかっぱαあるふぁιいおた θέμα ευκολίας. Σしぐまτたうηいーたνにゅー μαθηματική καθημερινότητα, ηいーた καλύτερη επιλογή μάλλον είναι ηいーた άτυπη χρήση της αξιωματικής συνολοθεωρίας. Αναφορές σしぐまεいぷしろん συγκεκριμένα τυπικά αξιώματα, εμφανίζονται μόνο όταν τたうοおみくろん απαιτεί ηいーた παράδοση, γがんまιいおたαあるふぁ πぱい.χかい. τたうοおみくろん αξίωμα της επιλογής συχνά αναφέρεται όταν χρησιμοποιείται. Παρομοίως, τυπικές αποδείξεις εμφανίζονται μόνον όταν ειδικές περιστάσεις τたうοおみくろん απαιτούν. Αυτή ηいーた άτυπη χρήση της αξιωματικής συνολοθεωρίας, μπορεί νにゅーαあるふぁ έχει (ανάλογα μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー συμβολισμό), ακριβώς τたうηいーたνにゅー εμφάνιση της αφελούς συνολοθεωρίας, όπως περιγράφεται παρακάτω, κかっぱαあるふぁιいおた είναι αισθητά ευκολότερη, κかっぱαあるふぁιいおた νにゅーαあるふぁ διαβάζεται κかっぱαあるふぁιいおた νにゅーαあるふぁ γράφεται, συμπεριλαμβανομένης κかっぱαあるふぁιいおた της τυποποίησης τたうωおめがνにゅー περισσότερων προτάσεων κかっぱαあるふぁιいおた αποδείξεων κかっぱαあるふぁιいおた εいぷしろんνにゅー γένει της μαθηματικής συζήτησης, κかっぱαあるふぁιいおた είναι πιθανότατα, λιγότερο επιρρεπής σしぐまεいぷしろん λάθη γがんまιいおたαあるふぁ τους περισσότερους ανθρώπους, συγκριτικά μみゅーεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ αυστηρή, τυπική προσέγγιση.

Σύνολα, στοιχεία κかっぱαあるふぁιいおた ισότητα

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σしぐまτたうηいーたνにゅー αφελή συνολοθεωρία, ένα σύνολο περιγράφεται ως μία καλά-ορισμένη συλλογή αντικειμένων. Αυτά τたうαあるふぁ αντικείμενα ονομάζονται στοιχεία ή μέλη τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου. Αντικείμενα μπορεί νにゅーαあるふぁ είναι οτιδήποτε: αριθμοί, άνθρωποι, άλλα σύνολα, κかっぱτたうλらむだ. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, τたうοおみくろん 4 είναι μέλος τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου τたうωおめがνにゅー άρτιων ακεραίων. Σαφώς, τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー άρτιων αριθμών είναι άπειρα μεγάλο. Δでるたεいぷしろんνにゅー απαιτείται ένα σύνολο νにゅーαあるふぁ είναι πεπερασμένο.

Εδάφιο τたうοおみくろんυうぷしろん πρωτότυπου ορισμού τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου από τたうοおみくろんνにゅー Γκέοργκ Καντόρ

Οおみくろん ορισμός τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου αποδίδεται σしぐまτたうοおみくろんνにゅー Γκέοργκ Καντόρ. Σしぐまτたうοおみくろん άρθρο τたうοおみくろんυうぷしろん Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre εいぷしろんνにゅー έτη 1915, έγραψε:

«Unter einer “Menge” verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die “Elemente” von M genannt werden) zu einem Ganzen.» – Georg Cantor

«Σύνολο είναι μία συλλογή καθορισμένων, διακριτών αντικειμένων της αντίληψης ή της σκέψης μας—τたうαあるふぁ οποία ονομάζονται στοιχεία τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου» – Γκέοργκ Κάντορ

Πρώτη χρησιμοποίηση τたうοおみくろんυうぷしろん συμβόλου ϵ σしぐまτたうηいーたνにゅー εργασία Arithmetices principia nova methodo exposita τたうοおみくろんυうぷしろん Τζουζέπε Πεάνο.

Σημείωση περί συνέπειας

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δでるたεいぷしろんνにゅー συνεπάγεται από αυτόν τたうοおみくろんνにゅー ορισμό τたうοおみくろん πως μπορούν νにゅーαあるふぁ σχηματιστούν τたうαあるふぁ σύνολα, κかっぱαあるふぁιいおた ποιες πράξεις πάνω σしぐまτたうαあるふぁ σύνολα παράγουν εいぷしろんκかっぱ νέου ένα σύνολο. Οおみくろん όρος «καλά ορισμένη» σしぐまτたうηいーたνにゅー έκφραση «καλά ορισμένη συλλογή αντικειμένων» δでるたεいぷしろんνにゅー μπορεί, από μόνος τたうοおみくろんυうぷしろん, νにゅーαあるふぁ διασφαλίσει τたうηいーたνにゅー συνέπεια κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーた σαφήνεια τたうοおみくろんυうぷしろん τたうιいおた ακριβώς αποτελεί κかっぱαあるふぁιいおた τたうιいおた όχι ένα σύνολο. Ηいーた προσπάθεια νにゅーαあるふぁ επιτευχθεί αυτό αποτελεί αντικείμενο της αξιωματικής θεωρίας συνόλων ή της αξιωματικής κλασσικής θεωρίας.

Τたうοおみくろん πρόβλημα, πぱいοおみくろんυうぷしろん δημιουργείται μみゅーεいぷしろん τις άτυπα διατυπωμένες θεωρίες συνόλων, πぱいοおみくろんυうぷしろん δでるたεいぷしろんνにゅー πηγάζουν από (κかっぱαあるふぁιいおた δでるたεいぷしろんνにゅー συνεπάγονται) κάποια συγκεκριμένη αξιωματική θεωρία, είναι ότι μπορεί νにゅーαあるふぁ υπάρχουν πολλές, ευρέως διαφορετικές, διατυπωμένες εκδοχές, οおみくろんιいおた οποίες νにゅーαあるふぁ έχουν διαφορετικά σύνολα καθώς κかっぱαあるふぁιいおた διαφορετικούς κανόνες ως προς τたうοおみくろん πώς δημιουργούνται νέα σύνολα, κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた οποίες όλες προσαρμόζονται σしぐまτたうοおみくろんνにゅー αρχικό άτυπο ορισμό. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, οおみくろん ακριβής ορισμός τたうοおみくろんυうぷしろん Κάντορ επιτρέπει μεγάλη ελευθερία ως προς τたうοおみくろん τたうιいおた αποτελεί ένα σύνολο. Από τたうηいーたνにゅー άλλη, είναι απίθανο οおみくろん Κάντορ νにゅーαあるふぁ ενδιαφερόταν ιδιαίτερα γがんまιいおたαあるふぁ σύνολα πぱいοおみくろんυうぷしろん περιέχουν γάτες κかっぱαあるふぁιいおた σκύλους, αλλά μάλλον μόνο γがんまιいおたαあるふぁ σύνολα καθαρά μαθηματικών αντικειμένων. Ένα παράδειγμα μιας τέτοιας κλάσης συνόλων θしーたαあるふぁ μπορούσε νにゅーαあるふぁ είναι τたうοおみくろんσύμπαν τたうοおみくろんυうぷしろん Φふぁいοおみくろんνにゅー Νόιμαν. Αλλά ακόμα κかっぱαあるふぁιいおた εάν θέσουμε τたうηいーたνにゅー κλάση τたうωおめがνにゅー συνόλων υπό εξέταση, δでるたεいぷしろんνにゅー είναι πάντοτε εμφανές πぱいοおみくろんιいおたοおみくろんιいおた κανόνες γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろんνにゅー σχηματισμό συνόλων επιτρέπονται χωρίς νにゅーαあるふぁ δημιουργούνται παράδοξα.

Μみゅーεいぷしろん σκοπό λοιπόν τたうοおみくろんνにゅー καθορισμό της συζήτησης παρακάτω, οおみくろん όρος "καλά ορισμένος" θしーたαあるふぁ ερμηνεύεται αあるふぁνにゅーτたう’ αυτού ως μία πρόθεση, είτε μみゅーεいぷしろん έμμεσους είτε μみゅーεいぷしろん άμεσους κανόνες (αξιώματα ή ορισμούς), γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー αποφυγή παρερμηνειών. Σκοπός μας είναι νにゅーαあるふぁ κρατηθούν μακριά τたうαあるふぁ συχνά βαθειά κかっぱαあるふぁιいおた δύσκολα θέματα συνέπειας από τたうοおみくろん, συνήθως απλούστερο, επικείμενο πλαίσιο. Πάντως, μία ρητή αποφυγή όλων τたうωおめがνにゅー ασυνεπειών (παραδόξων) δでるたεいぷしろんνにゅー μπορεί νにゅーαあるふぁ επιτευχθεί γがんまιいおたαあるふぁ μία αξιωματική συνολοθεωρία, λόγω τたうοおみくろんυうぷしろん δεύτερου θεωρήματος της μみゅーηいーた πληρότητας τたうοおみくろんυうぷしろん Γκέντελ, κかっぱαあるふぁιいおた επομένως αυτό δでるたεいぷしろんνにゅー δυσχεραίνει τたうηいーたνにゅー χρησιμότητα της αφελούς συνολοθεωρίας σしぐまεいぷしろん σχέση μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー αξιωματική θεωρία συνόλων σしぐまτたうαあるふぁ απλά πλαίσια πぱいοおみくろんυうぷしろん εξετάζονται παρακάτω. Απλώς διευκολύνει κかっぱαあるふぁιいおた απλουστεύει τたうηいーた συζήτηση. Σしぐまτたうοおみくろん εξής λοιπόν ηいーた συνέπεια θしーたαあるふぁ θεωρείται δεδομένη εκτός κかっぱαあるふぁιいおた αあるふぁνにゅー αναφέρεται ρητά.

Εάν τたうοおみくろん x είναι στοιχείο ενός συνόλου A, τότε λέμε επίσης ότι τたうοおみくろん x ανήκει σしぐまτたうοおみくろん A, ή ότι τたうοおみくろん x βρίσκεται σしぐまτたうοおみくろん A. Συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん x ∈ A. Τたうοおみくろん σύμβολο ∈ προέρχεται από τたうοおみくろん πεζό ελληνικό γράμμα έψιλον, "εいぷしろん", εισήχθη από τたうοおみくろんνにゅー Τζουζέπε Πεάνο τたうοおみくろん 1889 πρέπει νにゅーαあるふぁ είναι τたうοおみくろん πρώτο γράμμα της λέξης ἐστί (πぱいοおみくろんυうぷしろん σημαίνει "είναι"). Τたうοおみくろん σύμβολο ∉ χρησιμοποιείται αρκετά συχνά ως x ∉ A, κかっぱαあるふぁιいおた σημαίνει " τたうοおみくろん x δでるたεいぷしろんνにゅー βρίσκεται σしぐまτたうοおみくろん A".

Δύο σύνολα A κかっぱαあるふぁιいおた B θしーたαあるふぁ ονομάζονται εいぷしろんξくしー ορισμού ίσα όταν θしーたαあるふぁ έχουν ακριβώς τたうαあるふぁ ίδια στοιχεία, όταν δηλαδή, κάθε στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου A είναι κかっぱαあるふぁιいおた στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου B κかっぱαあるふぁιいおた κάθε στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん B είναι στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん A. (Βλέπε αξίωμα έκτασης.) Έτσι ένα σύνολο καθορίζεται πλήρως από τたうαあるふぁ στοιχεία τたうοおみくろんυうぷしろん, ενώ ηいーた περιγραφή τたうοおみくろんυうぷしろん είναι επουσιώδης. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, τたうοおみくろん σύνολο μみゅーεいぷしろん στοιχεία τους αριθμούς 2, 3, και 5 είναι ίσο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー πρώτων αριθμών πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι μικρότεροι τたうοおみくろんυうぷしろん 6. Εάν τたうαあるふぁ σύνολα A κかっぱαあるふぁιいおた B είναι ίσα, τότε γράφουμε (συμβολισμός): A = B (ως είθισται).

Τたうοおみくろん κενό σύνολο, τたうοおみくろん οποίο συχνά συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん Ø ή κάποιες φορές μみゅーεいぷしろん , είναι ένα σύνολο πぱいοおみくろんυうぷしろん δでるたεいぷしろんνにゅー περιέχει καθόλου στοιχεία. Ακριβώς επειδή ένα σύνολο καθορίζεται πλήρως από τたうαあるふぁ στοιχεία τたうοおみくろんυうぷしろん, υπάρχει ένα μοναδικό κενό σύνολο. (αξίωμα κενού συνόλου.) Παρόλο πぱいοおみくろんυうぷしろん τたうοおみくろん κενό σύνολο δでるたεいぷしろんνにゅー έχει καθόλου στοιχεία, μπορεί νにゅーαあるふぁ είναι στοιχείο άλλων συνόλων. Έτσι Ø ≠ {Ø}, επειδή τたうοおみくろん πρώτο σύνολο δでるたεいぷしろんνにゅー έχει κανένα στοιχείο ενώ τたうοおみくろん δεύτερο έχει ένα(τたうοおみくろん κενό σύνολο). Σしぐまτたうαあるふぁ μαθηματικά τたうαあるふぁ μοναδικά σύνολα μみゅーεいぷしろん τたうαあるふぁ οποία χρειάζεται νにゅーαあるふぁ ασχοληθεί κανείς μπορούν νにゅーαあるふぁ δημιουργηθούν από τたうοおみくろん κενό σύνολο κかっぱαあるふぁιいおた μόνο (Halmos (1974)).

Προσδιορισμός συνόλων

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οおみくろん πぱいιいおたοおみくろん εύκολος τρόπος νにゅーαあるふぁ περιγράψει κανείς ένα σύνολο είναι νにゅーαあるふぁ καταγράψει τたうαあるふぁ στοιχεία τたうοおみくろんυうぷしろん μεταξύ αγκυλών. Έτσι, {1, 2} είναι τたうοおみくろん σύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん οποίου τたうαあるふぁ μόνα στοιχεία είναι τたうοおみくろん 1 κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん 2.

(Βλέπε αξίωμα τたうοおみくろんυうぷしろん ζεύγους.)

Αξίζει νにゅーαあるふぁ σημειωθεί ότι:

  • Ηいーた σειρά τたうωおめがνにゅー στοιχείων είναι ασήμαντικη, γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα: {1, 2} = {2, 1}.
  • Ηいーた επάναληψη (πολλαπλότητα) στοιχείων είναι άσχετη. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, {1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2}.

(Αυτές οおみくろんιいおた παρατηρήσεις είναι συνέπεια τたうοおみくろんυうぷしろん ορισμού της ισότητας πぱいοおみくろんυうぷしろん δόθηκε σしぐまεいぷしろん προηγούμενη ενότητα.)

Μπορεί νにゅーαあるふぁ γίνει (ανεπίσημα) κατάχρηση αυτού τたうοおみくろんυうぷしろん τρόπου γραφής γράφοντας κάτι σしぐまαあるふぁνにゅー {dogs} γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろんνにゅー προσδιορισμό τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου όλων τたうωおめがνにゅー σκύλων, αλλά αυτό τたうοおみくろん παράδειγμα θしーたαあるふぁ εκλαμβάνονταν συνήθως από μαθηματικούς ως "τたうοおみくろん σύνολο πぱいοおみくろんυうぷしろん περιέχει μόνο τたうοおみくろん στοιχείο σκύλοι".

Ένα ακραίο (αλλά σωστό) παράδειγμα αυτής της γραφής είναι {}, τたうοおみくろん οποίο συμβολίζει τたうοおみくろん κενό σύνολο.

Ηいーた γραφή {x : P(x)}, ή μερικές φορές {x | P(x)}, χρησιμοποιείται γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろんνにゅー προσδιορισμό τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου πぱいοおみくろんυうぷしろん περιέχει όλα τたうαあるふぁ στοιχεία γがんまιいおたαあるふぁ τたうαあるふぁ οποία ισχύει ηいーた ιδιότητα P. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, τたうοおみくろん {x : x R} υποδηλώνει τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー πραγματικών αριθμών, ενώ τたうοおみくろん {x : x έχει ξανθά μαλλιά} δηλώνει τたうοおみくろん σύνολο από οποιουδήποτε έχει ξανθά μαλλιά.

Αυτή ηいーた γραφή ονομάζεται σύνολο-κατασκευαστική γραφή (ή «σύνολο περιεκτικότητας», ιδιαίτερα σしぐまτたうοおみくろん πλαίσιο τたうοおみくろんυうぷしろん λειτουργικού προγραμματισμού). Μερικές διαφορετικές σύνολο-κατασκευαστικές γραφές είναι:

  • {x ∈ A : P(x)} πぱいοおみくろんυうぷしろん δηλώνει τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー x πぱいοおみくろんυうぷしろん ανήκουν ήδη σしぐまτたうοおみくろん σύνολο A κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ οποία ικανοποιούν τたうηいーたνにゅー ιδιότητα P. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, εάν Z είναι τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー ακεραίων, τότε {x ∈ Z : x είναι άρτιος} είναι τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー άρτιων ακεραίων. (Βλέπε αξίωμα τたうοおみくろんυうぷしろん διαχωρισμού.)
  • {F(x) : x ∈ A} πぱいοおみくろんυうぷしろん δηλώνει τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー αντικειμένων πぱいοおみくろんυうぷしろん παράγονται από τたうαあるふぁ στοιχεία τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου A όταν τたうαあるふぁ εισάγουμε σしぐまτたうοおみくろんνにゅー τύπο F. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, {2x : x ∈ Z} είναι κかっぱαあるふぁιいおた πάλι τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー άρτιων ακεραίων. (Βλέπε αξίωμα της αντικατάστασης.)
  • {F(x) : P(x)} είναι ηいーた πぱいιいおたοおみくろん γενική μορφή σύνολο-κατασκευαστικής γραφής. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, {ιδιοκτήτης τたうοおみくろんυうぷしろん x  : x είναι σκύλος} είναι τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー ιδιοκτητών σκύλων.

Δοθέντων δύο συνόλων A κかっぱαあるふぁιいおた B, τたうοおみくろん σύνολο A είναι ένα υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん B εάν κάθε στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん A είναι ταυτόχρονα κかっぱαあるふぁιいおた στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん B. Ειδικότερα, κάθε σύνολο B είναι υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん εαυτού τたうοおみくろんυうぷしろん. Κάθε υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん B πぱいοおみくろんυうぷしろん δでるたεいぷしろんνにゅー είναι ίσο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん B ονομάζεται γνήσιο υποσύνολο.

Εάν A είναι ένα υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん B, τότε μπορούμε νにゅーαあるふぁ πούμε επίσης ότι τたうοおみくろん B είναι ένα υπερσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん A, ότι τたうοおみくろん A περιέχεται σしぐまτたうοおみくろん B, ή ότι τたうοおみくろん B περιέχει τたうοおみくろん σύνολο A. Συμβολίζουμε μみゅーεいぷしろん, A ⊆ B πぱいοおみくろんυうぷしろん σημαίνει ότι τたうοおみくろん A είναι υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん B, κかっぱαあるふぁιいおた μみゅーεいぷしろん B ⊇ A πぱいοおみくろんυうぷしろん σημαίνει ότι τたうοおみくろん B είναι υπερσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん A. Μερικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τたうαあるふぁ σύμβολα ⊂ κかっぱαあるふぁιいおたγがんまιいおたαあるふぁ υποσύνολα, ενώ άλλοι χρησιμοποιούν αυτά τたうαあるふぁ σύμβολα μόνο γがんまιいおたαあるふぁ γνήσια υποσύνολα. Γがんまιいおたαあるふぁ λόγους λοιπόν σαφήνειας, μπορεί κανείς νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιεί ρητά τたうαあるふぁ σύμβολα ⊊ κかっぱαあるふぁιいおたγがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ δηλώσει ανισότητα.

Ας συμβολίσουμε μみゅーεいぷしろん R τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー πραγματικών αριθμών, μみゅーεいぷしろん Z τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー ακεραίων, μみゅーεいぷしろん O τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー περιττών ακεραίων, κかっぱαあるふぁιいおた μみゅーεいぷしろん P τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー προέδρων τたうωおめがνにゅー ΗいーたΠぱいΑあるふぁ. Τότε τたうοおみくろん O είναι υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん Z, τたうοおみくろん Z είναι υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん R, κかっぱαあるふぁιいおた (ως εいぷしろんκかっぱ τούτου) τたうοおみくろん O είναι υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん R, όπου σしぐまεいぷしろん όλες τις περιπτώσεις οおみくろん όρος υποσύνολο θしーたαあるふぁ μπορούσε νにゅーαあるふぁ ληφθεί ως γνήσιο υποσύνολο.

Δでるたεいぷしろんνにゅー είναι όλα τたうαあるふぁ σύνολα συγκρίσιμα κかっぱαあるふぁτたう αυτόν τたうοおみくろんνにゅー τρόπο. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, δでるたεいぷしろんνにゅー μπορούμε νにゅーαあるふぁ ισχυριστούμε ούτε ότι τたうοおみくろん σύνολο R είναι υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου P ούτε ότι τたうοおみくろん P είναι υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん R.

Είναι άμεσο επακόλουθο τたうοおみくろんυうぷしろん ορισμού της ισότητας συνόλων πぱいοおみくろんυうぷしろん δόθηκε παραπάνω, ότι δοθέντος δύο συνόλων A κかっぱαあるふぁιいおた B, A = B αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた μόνο εάν A ⊆ B κかっぱαあるふぁιいおた B ⊆ A. Σしぐまτたうηいーたνにゅー πραγματικότητα αυτός δίνεται συχνά ως οおみくろん ορισμός της ισότητας. Συνήθως όταν κάποιος προσπαθεί νにゅーαあるふぁ αποδείξει ότι δύο σύνολα είναι ίσα, στοχεύει σしぐまτたうοおみくろん νにゅーαあるふぁ δείξει αυτές τις δύο εγκλείσεις. Τたうοおみくろん κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου (οおみくろん ισχυρισμός ότι κάθε στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん κενού συνόλου είναι επίσης στοιχείο κάθε άλλου συνόλου A είναι αληθής μみゅーεいぷしろん κενό τρόπο).

Τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー υποσυνόλων ενός συνόλου A ονομάζεται δυναμοσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん A κかっぱαあるふぁιいおた συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん ή μみゅーεいぷしろん . Μερικές φορές τたうοおみくろん "P" είναι καλλιγραφικό. Εάν τたうοおみくろん σύνολο A έχει n στοιχεία, τότε τたうοおみくろん θしーたαあるふぁ έχει στοιχεία.

Καθολικά σύνολα κかっぱαあるふぁιいおた απόλυτα συμπληρώματα

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σしぐまεいぷしろん ορισμένες περιπτώσεις, θしーたαあるふぁ μπορούσε κάποιος νにゅーαあるふぁ θεωρήσει όλα τたうαあるふぁ σύνολα, ως υποσύνολα κάποιου καθολικού συνόλου. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, όταν μελετάμε τις ιδιότητες τたうωおめがνにゅー πραγματικών αριθμών R (κかっぱαあるふぁιいおた τたうωおめがνにゅー υποσυνόλων τたうοおみくろんυうぷしろん R), τたうοおみくろん R μπορεί νにゅーαあるふぁ θεωρηθεί ως τたうοおみくろん καθολικό σύνολο. Ένα πραγματικά καθολικό σύνολο, δでるたεいぷしろんνにゅー περιλαμβάνεται σしぐまτたうηいーたνにゅー κανονική θεωρία συνόλων (βλέπε Παράδοξα παρακάτω), ωστόσο περιλαμβάνεται σしぐまεいぷしろん κάποιες μみゅーηいーた – κανονικές συνολοθεωρίες.

Δοθέντος ενός καθολικού συνόλου U κかっぱαあるふぁιいおた ενός υποσυνόλου A τたうοおみくろんυうぷしろん U, τたうοおみくろん συμπλήρωμα τたうοおみくろんυうぷしろん A (σしぐまτたうοおみくろん U) ορίζεται ως :AC := {x  U : x  A}. Μみゅーεいぷしろん άλλα λόγια, AC ("A-συμπλήρωμα") είναι τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー στοιχείων τたうοおみくろんυうぷしろん U πぱいοおみくろんυうぷしろん δでるたεいぷしろんνにゅー είναι στοιχεία τたうοおみくろんυうぷしろん A. Κατά συνέπεια, σύμφωνα μみゅーεいぷしろん τους ορισμούς τたうωおめがνにゅー R, Z κかっぱαあるふぁιいおた O, όπως ορίστηκαν σしぐまτたうηいーたνにゅー παράγραφο υποσύνολα, αあるふぁνにゅー Z είναι τたうοおみくろん καθολικό σύνολο, τότε OC είναι τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー άρτιων ακεραίων, ενώ αあるふぁνにゅー R είναι τたうοおみくろん καθολικό σύνολο, τότε OC είναι τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー πραγματικών αριθμών πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι είτε άρτιοι ακέραιοι, είτε όχι ακέραιοι.

Ένωση, τομή κかっぱαあるふぁιいおた σχετικό συμπλήρωμα

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δοθέντων δύο συνόλων A κかっぱαあるふぁιいおた B, ηいーた ένωση τους, είναι τたうοおみくろん σύνολο πぱいοおみくろんυうぷしろん αποτελείται από όλα τたうαあるふぁ αντικείμενα πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι είτε στοιχεία τたうοおみくろんυうぷしろん A, είτε τたうοおみくろんυうぷしろん B, είτε κかっぱαあるふぁιいおた τたうωおめがνにゅー δύο (βλέπε αξίωμα της ένωσης). Συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん A ∪ B.

Ηいーた τομή τたうωおめがνにゅー A κかっぱαあるふぁιいおた B, είναι τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー αντικειμένων πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι συγχρόνως σしぐまτたうοおみくろん A κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうοおみくろん B. Συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん A ∩ B.

Τέλος, τたうοおみくろん σχετικό συμπλήρωμα τたうοおみくろんυうぷしろん B σχετικά μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん A, επίσης γνωστό ως συνολοθεωρητική διαφορά τたうωおめがνにゅー A κかっぱαあるふぁιいおた B, είναι τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー αντικειμένων πぱいοおみくろんυうぷしろん ανήκουν σしぐまτたうοおみくろん A κかっぱαあるふぁιいおた όχι σしぐまτたうοおみくろん B. Συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん A \ B ή A − B.

Συμβολικά,αυτά είναι αντίστοιχα

A ∪ B := {x : (x ∈ Aή (x ∈ B)};
A ∩ B := {x : (x ∈ Aκかっぱαあるふぁιいおた (x ∈ B)} = {x ∈ A : x ∈ B} = {x ∈ B : x ∈ A};
A \ B := {x : (x ∈ A) και όχι (x ∈ B) } = {x ∈ A : όχι (x ∈ B)}.

Παρατηρήστε ότι τたうοおみくろん A δでるたεいぷしろんνにゅー είναι αναγκαίο νにゅーαあるふぁ είναι υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん B, ώστε τたうοおみくろん B  \A νにゅーαあるふぁ έχει νόημα. Αυτή είναι κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた βασική διαφορά μεταξύ τたうοおみくろんυうぷしろん σχετικού συμπληρώματος κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんυうぷしろん απόλυτου συμπληρώματος (AC = U  A) από τたうηいーたνにゅー προηγούμενη παράγραφο.

Γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ διευκρινίσουμε αυτές τις έννοιες, έστω ότι A είναι τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー αριστερόχειρων ανθρώπων, κかっぱαあるふぁιいおた έστω ότι B είναι τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー ανθρώπων μみゅーεいぷしろん ξανθά μαλλιά. Τότε A ∩ B είναι τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー αριστερόχειρων μみゅーεいぷしろん ξανθά μαλλιά ανθρώπων, ενώ A ∪ B είναι τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー ανθρώπων πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι είτε αριστερόχειρες, είτε έχουν ξανθά μαλλιά, είτε κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ δύο. A  \B, από τたうηいーたνにゅー άλλη, είναι τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー ανθρώπων πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι αριστερόχειρες, όμως όχι ξανθοί, ενώ B  \A είναι τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー ανθρώπων πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι ξανθοί, όμως όχι αριστερόχειρες.

Τώρα, έστω ότι E είναι τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー ανθρώπων πぱいοおみくろんυうぷしろん υπήρξαν ποτέ, κかっぱαあるふぁιいおた έστω ότι F είναι τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー ζωντανών αντικειμένων άνω τたうωおめがνにゅー 1000 ετών. Τたうιいおた είναι τたうοおみくろん E ∩ Fσしぐまεいぷしろん αυτήν τたうηいーたνにゅー περίπτωση; Κανένα ανθρώπινο οおみくろんνにゅー δでるたεいぷしろんνにゅー είναι περισσότερο από 1000 ετών, οπότε τたうοおみくろん E ∩ Fπρέπει νにゅーαあるふぁ είναι τたうοおみくろん κενό σύνολο {}.

Γがんまιいおたαあるふぁ οποιοδήποτε σύνολο A, τたうοおみくろん δυναμοσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん A, είναι μみゅーιいおたαあるふぁ Άλγεβρα Μみゅーπぱいοおみくろんυうぷしろんλらむだ μみゅーεいぷしろん πράξεις τたうηいーたνにゅー ένωση κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー τομή.

Διατεταγμένα ζεύγη κかっぱαあるふぁιいおた Καρτεσιανά γινόμενα

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Διαισθητικά, ένα διατεταγμένο ζεύγος είναι απλά μみゅーιいおたαあるふぁ συλλογή από δύο αντικείμενα τέτοια ώστε τたうοおみくろん ένα νにゅーαあるふぁ μπορεί νにゅーαあるふぁ διακριθεί ως τたうοおみくろん πρώτο στοιχείο κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん άλλο ως τたうοおみくろん δεύτερο στοιχείο, κかっぱαあるふぁιいおた έχουν μみゅーιいおたαあるふぁ θεμελιώδη ιδιότητα ότι, δύο διατεταγμένα ζεύγη είναι ίσα, αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた μόνον αあるふぁνにゅー τたうαあるふぁ πρώτα στοιχεία τους είναι ίσα κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ δεύτερα στοιχεία τους είναι ίσα.

Αυστηρότερα, ένα διατεταγμένο ζεύγος μみゅーεいぷしろん πρώτη συντεταγμένη a, κかっぱαあるふぁιいおた δεύτερη συντεταγμένη b, συχνά συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん (a, b), μπορεί νにゅーαあるふぁ οριστεί ως τたうοおみくろん σύνολο {{a}, {a, b}}.

Έπεται ότι, δύο διατεταγμένα ζεύγη (a,b) κかっぱαあるふぁιいおた (c,d) είναι ίσα αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた μόνον αあるふぁνにゅー a = c κかっぱαあるふぁιいおた b = d.

Εναλλακτικά, ένα διατεταγμένο ζεύγος μπορεί αυστηρά νにゅーαあるふぁ θεωρηθεί σしぐまαあるふぁνにゅー ένα σύνολο {a,b} ολικά διατεταγμένο.

(Οおみくろん συμβολισμός (a, b) χρησιμοποιείται επίσης γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ συμβολιστεί ένα ανοιχτό διάστημα σしぐまτたうηいーたνにゅー ευθεία τたうωおめがνにゅー πραγματικών αριθμών, ωστόσο τたうοおみくろん περιεχόμενο θしーたαあるふぁ πρέπει νにゅーαあるふぁ έχει αποσαφηνίσει γがんまιいおたαあるふぁ πぱいοおみくろんιいおたαあるふぁ ερμηνεία προορίζεται. Αλλιώς,οおみくろん συμβολισμός ]a, b[ θしーたαあるふぁ πρέπει νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιηθεί γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ συμβολίσει τたうοおみくろん ανοιχτό διάστημα, όταν τたうοおみくろん (a, b) χρησιμοποιείται γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん διατεταγμένο ζεύγος).

Αあるふぁνにゅー A κかっぱαあるふぁιいおた B είναι σύνολα, τότε τたうοおみくろん Καρτεσιανό γινόμενο (ή απλά γινόμενο) ορίζεται ως εξής:

A × B = {(a,b) : a βρίσκεται σしぐまτたうοおみくろん A κかっぱαあるふぁιいおた b βρίσκεται σしぐまτたうοおみくろん B}.

Αυτό σημαίνει πως, A × B είναι τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー διατεταγμένων ζευγών, τたうωおめがνにゅー οποίων ηいーた πρώτη συντεταγμένη είναι στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん A κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた δεύτερη συντεταγμένη στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん B.

Αυτός οおみくろん ορισμός μπορεί νにゅーαあるふぁ επεκταθεί κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうοおみくろん σύνολο A × B × C διατεταγμένων τριάδων, κかっぱαあるふぁιいおた εいぷしろんνにゅー γένει σしぐまεいぷしろん σύνολα διατεταγμένων n-άδων γがんまιいおたαあるふぁ οποιονδήποτε θετικό ακέραιο n. Είναι επίσης εφικτό νにゅーαあるふぁ οριστούν άπειρα Καρτεσιανά γινόμενα, ωστόσο αυτό απαιτεί έναν πぱいιいおたοおみくろん δυσνόητο ορισμό τたうοおみくろんυうぷしろん γινομένου.

Τたうαあるふぁ καρτεσιανά γινόμενα αναπτύχθηκαν πρωτίστως από τたうοおみくろんνにゅー Ρενέ Ντεκάρτ σしぐまτたうαあるふぁ πλαίσια της αναλυτικής γεωμετρίας. Αあるふぁνにゅー R σημαίνει τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー πραγματικών αριθμών,τότε τたうοおみくろん R2 := R × R αναπαριστά τたうοおみくろん Ευκλείδειο επίπεδο κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん R3 := R × R × R αναπαριστά τたうοおみくろんνにゅー τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο.

Κάποια σημαντικά σύνολα

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σημείωση: Σしぐまεいぷしろん αυτήν τたうηいーたνにゅー παράγραφο, a, b, κかっぱαあるふぁιいおた c είναι φυσικοί αριθμοί, κかっぱαあるふぁιいおた r κかっぱαあるふぁιいおた s είναι πραγματικοί αριθμοί.

  1. Οおみくろんιいおた φυσικοί αριθμοί χρησιμοποιούνται γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー αρίθμηση. Τたうοおみくろん σύμβολο () συχνά αναπαριστά αυτό τたうοおみくろん σύνολο.
  2. Οおみくろんιいおた ακέραιοι εμφανίζονται ως λύσεις γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん x σしぐまεいぷしろん εξισώσεις της μορφής x + a = b. Τたうοおみくろん σύμβολο () συχνά αναπαριστά αυτό τたうοおみくろん σύνολο (από τたうηいーたνにゅー γερμανική λέξη Zahlen, πぱいοおみくろんυうぷしろん σημαίνει αριθμοί).
  3. Οおみくろんιいおた ρητοί αριθμοί εμφανίζονται ως λύσεις σしぐまεいぷしろん εξισώσεις της μορφής a + bx = c. Τたうοおみくろん σύμβολο () συχνά αναπαριστά αυτό τたうοおみくろん σύνολο (από τたうοおみくろん quotient, επειδή τたうοおみくろん R χρησιμοποιείται γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー πραγματικών αριθμών).
  4. Οおみくろんιいおた αλγεβρικοί αριθμοί εμφανίζονται ως λύσεις πολυωνυμικών εξισώσεων (μみゅーεいぷしろん ακεραίους συντελεστές) κかっぱαあるふぁιいおた περιέχουν ριζικά κかっぱαあるふぁιいおた ορισμένους άρρητους αριθμούς. Τたうοおみくろん σύμβολο () ή τたうοおみくろん () συχνά αναπαριστά αυτό τたうοおみくろん σύνολο. Ηいーた πάνω γραμμή υποδεικνύει τたうηいーたνにゅー λειτουργία της αλγεβρικής κλειστότητας.
  5. Οおみくろんιいおた πραγματικοί αριθμοί αναπαριστούν τたうηいーたνにゅー "πραγματική ευθεία" κかっぱαあるふぁιいおた περιλαμβάνουν όλους τους αριθμούς πぱいοおみくろんυうぷしろん μπορούν νにゅーαあるふぁ προσεγγιστούν από ρητούς. Αυτοί οおみくろんιいおた αριθμοί μπορεί νにゅーαあるふぁ είναι ρητοί ή αλγεβρικοί, ωστόσο μπορεί νにゅーαあるふぁ είναι κかっぱαあるふぁιいおた υπερβατικοί αριθμοί, οおみくろんιいおた οποίοι δでるたεいぷしろんνにゅー εμφανίζονται ως λύσεις πολυωνυμικών εξισώσεων μみゅーεいぷしろん ρητούς συντελεστές. Τたうοおみくろん σύμβολο () συχνά αναπαριστά αυτό τたうοおみくろん σύνολο.
  6. Οおみくろんιいおた μιγαδικοί αριθμοί είναι τたうοおみくろん άθροισμα κάποιου πραγματικού κかっぱαあるふぁιいおた κάποιου φανταστικού αριθμού: r + si. Εδώ κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん r κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん s μπορούν νにゅーαあるふぁ είναι ίσα μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん μηδέν, ωστόσο, τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー πραγματικών αριθμών κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー φανταστικών αριθμών, είναι υποσύνολα τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου τたうωおめがνにゅー μιγαδικών αριθμών, τたうαあるふぁ οποία διαμορφώνουν μみゅーιいおたαあるふぁ αλγεβρική κλειστότητα γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー πραγματικών αριθμών, τたうοおみくろん οποίο σημαίνει πως οποιοδήποτε πολυώνυμο μみゅーεいぷしろん συντελεστές από τたうοおみくろん έχει τουλάχιστον μία ρίζα σしぐまεいぷしろん αυτό τたうοおみくろん σύνολο. Τたうοおみくろん σύμβολο () συχνά αναπαριστά αυτό τたうοおみくろん σύνολο. Από τたうηいーた στιγμή πぱいοおみくろんυうぷしろん οおみくろん αριθμός r + si μπορεί νにゅーαあるふぁ παρασταθεί από ένα σημείο (r, s) σしぐまτたうοおみくろん επίπεδο, τたうοおみくろん C είναι ουσιαστικά "τたうοおみくろん ίδιο"μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん καρτεσιανό γινόμενο R×R ("τたうοおみくろん ίδιο", σημαίνει ότι οποιοδήποτε σημείο σしぐまτたうοおみくろん ένα καθορίζει ένα μοναδικό σημείο σしぐまτたうοおみくろん άλλο κかっぱαあるふぁιいおた δでるたεいぷしろんνにゅー ενοχλεί τたうοおみくろん αποτέλεσμα τたうωおめがνにゅー υπολογισμών τたうοおみくろん πぱいοおみくろんιいおたοおみくろん από τたうαあるふぁ δύο θしーたαあるふぁ χρησιμοποιηθεί).

Ηいーた απεριόριστη κατασκευαστική αρχή τたうωおめがνにゅー συνόλων, γνωστή ως Αξίωμα της Περιεκτικότητας,

Αあるふぁνにゅー P είναι μみゅーιいおたαあるふぁ ιδιότητα, τότε υπάρχει Y = {x : P(x)} (ψευδής),

είναι ηいーた πηγή πολλών πρόσφατα εμφανιζόμενων παραδόξων:

  • Y = {x : x είναι διατακτικός} οδηγεί τたうοおみくろん 1897 σしぐまτたうοおみくろん παράδοξο Μπουράλι-Φόρτι, τたうηいーたνにゅー πρώτη δημοσιευμένη αντινομία.
  • Y = {x : x είναι πληθάριθμος} δημιουργεί τたうοおみくろん παράδοξο τたうοおみくろんυうぷしろん Κάντορ, τたうοおみくろん 1897.
  • Y = {x : {} = {}} απέφερε τたうηいーたνにゅー δεύτερη αντινομία τたうοおみくろんυうぷしろん Κάντορ κατά τたうοおみくろん έτος 1899. Εδώ, ηいーた ιδιότητα P είναι αληθής γがんまιいおたαあるふぁ όλα τたうαあるふぁ x, οτιδήποτε κかっぱαあるふぁιいおた νにゅーαあるふぁ είναι οおみくろん x, οπότε τたうοおみくろん Y θしーたαあるふぁ μπορούσε νにゅーαあるふぁ είναι ένα καθολικό σύνολο, κかっぱαあるふぁιいおた νにゅーαあるふぁ περιέχει τたうαあるふぁ πάντα.
  • Y = {x : xx}, πぱい.χかい. τたうωおめがνにゅー σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー συνόλων πぱいοおみくろんυうぷしろん δでるたεいぷしろんνにゅー αυτοπεριέχονται, οδήγησε σしぐまτたうοおみくろん παράδοξο τたうοおみくろんυうぷしろん Ράσελ τたうοおみくろん 1902.

Αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん αξίωμα – σχήμα της περιεκτικότητας αποδυναμωθεί, οδηγεί σしぐまτたうοおみくろん αξίωμα – σχήμα τたうοおみくろんυうぷしろん διαχωρισμού,

Αあるふぁνにゅー P είναι μみゅーιいおたαあるふぁ ιδιότητα, τότε γがんまιいおたαあるふぁ οποιοδήποτε σύνολο X υπάρχει ένα σύνολο Y = {x ∈ X : P(x)

κかっぱαあるふぁιいおた τότε όλα τたうαあるふぁ παραπάνω παράδοξα εξαφανίζονται. Υπάρχει ένα πόρισμα. Μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん αξίωμα – σχήμα τたうοおみくろんυうぷしろん διαχωρισμού ως αξίωμα της θεωρίας, έπεται ως θεώρημα από τたうηいーた θεωρία ότι:

Τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー συνόλων δでるたεいぷしろんνにゅー υπάρχει.

Απόδειξη:Υποθέστε ότι υπάρχει κかっぱαあるふぁιいおた ονομάστε τたうοおみくろん U. Τώρα εφαρμόστε τたうοおみくろん αξίωμα – σχήμα τたうοおみくろんυうぷしろん διαχωρισμού γがんまιいおたαあるふぁ X = U κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうηいーたνにゅー P(x) χρησιμοποιείστε xx. Αυτό οδηγεί σしぐまτたうοおみくろん παράδοξο τたうοおみくろんυうぷしろん Ράσελ ξανά. Οπότε τたうοおみくろん U δでるたεいぷしろんνにゅー μπορεί νにゅーαあるふぁ υπάρχει σしぐまεいぷしろん αυτήν τたうηいーたνにゅー θεωρία.

Σχετικός μみゅーεいぷしろん τις παραπάνω κατασκευές είναι οおみくろん σχηματισμός τたうοおみくろんυうぷしろん συνόλου

  • Y = {x : (xx) → {} ≠ {}}, όπου ηいーた δήλωση πぱいοおみくろんυうぷしろん ακολουθεί τたうοおみくろん συμπέρασμα είναι προφανώς ψευδής. Έπεται, από τたうοおみくろんνにゅー ορισμό τたうοおみくろんυうぷしろん Y, χρησιμοποιώντας τους συνήθεις κανόνες συμπερασμού κかっぱαあるふぁιいおた κάποιες επιπλέον σκέψεις, ότι ισχύουν αμφότερα YY → {} ≠ {} κかっぱαあるふぁιいおた YY, μみゅーεいぷしろん συνέπεια {} ≠ {}. Αυτό αποτελεί τたうοおみくろん παράδοξο τたうοおみくろんυうぷしろん Κάρι (Curry).

Ωστόσο εδώ, (μάλλον περίεργο) δでるたεいぷしろんνにゅー είναι ηいーた δυνατότητα τたうοおみくろんυうぷしろん xx πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι προβληματική, είναι ξανά τたうοおみくろん αξίωμα – σχήμα της περιεκτικότητας πぱいοおみくろんυうぷしろん επιτρέπει νにゅーαあるふぁ συμβαίνει τたうοおみくろん (xx) → {} ≠ {} γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん P(x). Μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん αξίωμα – σχήμα τたうοおみくろんυうぷしろん διαχωρισμού αντί γがんまιいおたαあるふぁ αυτό της περιεκτικότητας, τたうοおみくろん συμπέρασμα YY δでるたεいぷしろんνにゅー έπεται, κかっぱαあるふぁιいおた άρα τたうοおみくろん {} ≠ {} δでるたεいぷしろんνにゅー αποτελεί λογικό συμπέρασμα.

Πぱいαあるふぁρろー’ όλα αυτά, ηいーた δυνατότητα τたうοおみくろんυうぷしろん xx συχνά αφαιρείται ρητά ή γがんまιいおたαあるふぁ πぱい.χかい. σしぐまτたうοおみくろん ZFC, σιωπηρά, ισχυριζόμενοι πως ισχύει τたうοおみくろん αξίωμα της κανονικότητας. Μみゅーιいおたαあるふぁ συνέπεια αυτού είναι:

Δでるたεいぷしろんνにゅー υπάρχει σύνολο X γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん οποίο XX,

Μみゅーεいぷしろん άλλα λόγια, κανένα σύνολο δでるたεいぷしろんνにゅー είναι στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん εαυτού τたうοおみくろんυうぷしろん.

Τたうοおみくろん αξίωμα – σχήμα τたうοおみくろんυうぷしろん διαχωρισμού είναι πολύ ανίσχυρο (ενώ τたうοおみくろん αξίωμα – σχήμα της περιεκτικότητας είναι πολύ ισχυρό – υπερβολικά ισχυρό γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー συνολοθεωρία), γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ αναπτύξει τたうηいーたνにゅー συνολοθεωρία μみゅーεいぷしろん τις συνήθεις πράξεις κかっぱαあるふぁιいおた κατασκευές όπως περιγράφηκαν πぱいιいおたοおみくろん πάνω. Τたうοおみくろん αξίωμα της κανονικότητας έχει τたうηいーたνにゅー ίδια περιοριστική φύση επίσης. Οπότε, αυτά οδηγούν σしぐまτたうηいーたνにゅー διατύπωση άλλων αξιωμάτων, γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ εξασφαλιστεί ηいーた ύπαρξη αρκετών συνόλων ώστε νにゅーαあるふぁ σχηματιστεί μみゅーιいおたαあるふぁ συνολοθεωρία. Κάποια εいぷしろんξくしー’ αυτών περιγράφηκαν ήδη ανεπίσημα πぱいιいおたοおみくろん πάνω, κかっぱαあるふぁιいおた αρκετά ακόμη είναι εφικτά. Δでるたεいぷしろんνにゅー μπορούν όλα τたうαあるふぁ νοητά αξιώματα νにゅーαあるふぁ συνδυάζονται χωρίς περιορισμούς σしぐまεいぷしろん συνεπείς θεωρίες. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, τたうοおみくろん αξίωμα της επιλογής τたうοおみくろんυうぷしろん ZFC, είναι ασύμβατο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん κάθε σύνολο πραγματικών αριθμών είναι Λεμπέκ (Lebesgue) μετρήσιμο. Τたうοおみくろん πρώτο συμπεραίνει ότι τたうοおみくろん τελευταίο είναι ψευδές.

  1. Σχετικά μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー προέλευση τたうοおみくろんυうぷしろん όρου αφελής συνολοθεωρία , οおみくろん Jeff Miller είπε, “ηいーた Αφελής συνολοθεωρία (αντίθετα μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー αξιωματική συνολοθεωρία) χρησιμοποιήθηκε περιστασιακά κατά τたうηいーた δεκαετία τたうοおみくろんυうぷしろん 1940 κかっぱαあるふぁιいおた καθιερώθηκε σしぐまαあるふぁνにゅー όρος τたうηいーた δεκαετία τたうοおみくろんυうぷしろん 1950. Εμφανίστηκε σしぐまτたうηいーたνにゅー κριτική τたうοおみくろんυうぷしろん Hermann Weyl's γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん κείμενο τたうοおみくろんυうぷしろん P. A. Schilpp Ηいーた Φιλοσοφία τたうοおみくろんυうぷしろん Bertrand Russell σしぐまτたうηいーたνにゅーAmerican Mathematical Monthly, 53., No. 4. (1946), σしぐまεいぷしろんλらむだ. 210 και σしぐまτたうηいーたνにゅー κριτική τたうοおみくろんυうぷしろん Laszlo Kalmar's γがんまιいおたαあるふぁΤたうοおみくろん Παράδοξο τたうωおめがνにゅー Kleene κかっぱαあるふぁιいおた Rosser σしぐまτたうηいーたνにゅー Journal of Symbolic Logic, 11, No. 4. (1946), σしぐまεいぷしろんλらむだ. 136. (JSTOR).” [1] Οおみくろん όρος αργότερα έγινε γνωστός από τたうοおみくろん βιβλίο τたうοおみくろんυうぷしろん Paul Halmos', Αφελής συνολοθεωρία (1960).
  2. Cantor 1874
  3. Frege 1893 Μέρος 2οおみくろん , Jena 1903. σしぐまεいぷしろんλらむだ. 253-261 Οおみくろん Frege συζητάει τたうηいーたνにゅー αντινομία σしぐまτたうοおみくろんνにゅー επίλογο.
  4. Peano 1889 Αξίωμα 52. κかっぱεいぷしろんφふぁい. IV produces antinomies.
  5. Γράμμα τたうοおみくろんυうぷしろん Κάντορ σしぐまτたうοおみくろんνにゅー David Hilbert στις 26 Σεπτεμβρίου 1897, Meschkowski & Nilson 1991 σしぐまεいぷしろんλらむだ. 388.
  6. Γράμμα τたうοおみくろんυうぷしろん Κάντορ σしぐまτたうοおみくろんνにゅー Richard Dedekind στις 3 Αυγούστου 1899, Meschkowski & Nilson 1991 σしぐまεいぷしろんλらむだ. 408.
  7. Γράμματα τたうοおみくろんυうぷしろん Κάντορ σしぐまτたうοおみくろんνにゅー Richard Dedekind στις 3 Αυγούστου 1899 κかっぱαあるふぁιいおた στις 30 Αυγούστου 1899, Zermelo 1932 σしぐまεいぷしろんλらむだ. 448 (System aller denkbaren Klassen) κかっぱαあるふぁιいおた Meschkowski & Nilson 1991 σしぐまεいぷしろんλらむだ. 407. (Δでるたεいぷしろんνにゅー υπάρχει σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー συνόλων.)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]