Τύποι Νにゅーτたうεいぷしろん Μόργκαν

Διαγράμματα Βべーたεいぷしろんνにゅーνにゅー γがんまιいおたαあるふぁ τους τύπους Νにゅーτたうεいぷしろん Μόργκαν

Σしぐまτたうαあるふぁ θεωρία συνόλων κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー μαθηματική λογική, οおみくろんιいおた τύποι Νにゅーτたうεいぷしろん Μόργκαν (ή αλλιώς νόμοι Νにゅーτたうεいぷしろん Μόργκαν) αναφέρονται σしぐまεいぷしろん δύο μαθηματικούς τύπους, πぱいοおみくろんυうぷしろん μπορούν νにゅーαあるふぁ εκφραστούν σしぐまεいぷしろん απλά ελληνικά, γがんまιいおたαあるふぁ τたうαあるふぁ σύνολα ως εξής:

• Τたうοおみくろん συμπλήρωμα της ένωσης δύο συνόλων είναι τたうοおみくろん συμπλήρωμα της τομής τους.
• Τたうοおみくろん συμπλήρωμα της τομής δύο συνόλων είναι τたうοおみくろん συμπλήρωμα της ένωσής τους.

κかっぱαあるふぁιいおた γがんまιいおたαあるふぁ λογικές προτάσεις ως εξής:

• Ηいーた άρνηση της διάζευξης δύο λογικών προτάσεων είναι ηいーた σύζευξη τたうωおめがνにゅー αρνήσεών τους.
• Ηいーた άρνηση της σύζευξης δύο λογικών προτάσεων είναι ηいーた διάζευξη τたうωおめがνにゅー αρνήσεων τους.

Πぱいιいおたοおみくろん αυστηρά, σしぐまτたうηいーたνにゅー θεωρία συνόλων γがんまιいおたαあるふぁ οποιαδήποτε δύο σύνολα $A,B$ έχουμε ότι:

${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}},\quad$ κかっぱαあるふぁιいおた $\quad {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}$,

όπου ${\overline {A}}$ είναι τたうοおみくろん συμπλήρωμα ενός συνόλου σχετικά μみゅーεいぷしろん ένα υπερσύνολο $\Omega$, $\cap$ ηいーた τομή κかっぱαあるふぁιいおた $\cup$ είναι ηいーた ένωση δύο συνόλων.

Σしぐまτたうηいーたνにゅー λογική, γがんまιいおたαあるふぁ οποιεσδήποτε λογικές προτάσεις $P$ κかっぱαあるふぁιいおた $Q$, έχουμε τις εξής ισοδυναμίες:

$\neg (P\wedge Q)\Leftrightarrow \neg P\vee \neg Q,\quad$ κかっぱαあるふぁιいおた $\quad \neg (P\vee Q)\Leftrightarrow \neg P\wedge \neg Q$,

όπου $\neg P$ είναι ηいーた άρνηση της $P$, $\wedge$ ηいーた σύζευξη κかっぱαあるふぁιいおた $\vee$ ηいーた διάζευξη δύο προτάσεων.

Οおみくろんιいおた τύποι παίρνουν τたうοおみくろん όνομά τους από τたうοおみくろんνにゅー Βρετανό μαθηματικό Αύγουστο Νにゅーτたうεいぷしろん Μόργκαν.

Απόδειξη

Θしーたαあるふぁ ξεκινήσουμε αποδεικνύοντας τους τύπους σしぐまτたうηいーたνにゅー λογική κかっぱαあるふぁιいおた μετά θしーたαあるふぁ τους χρησιμοποιήσουμε γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ αποδείξουμε τους τύπους σしぐまτたうηいーたνにゅー θεωρία συνόλων.

Λογική

Ξεκινάμε μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー σχέση

$\neg (P\wedge Q)\Leftrightarrow \neg P\vee \neg Q$.

Γράφοντας τους πίνακες αληθείας γがんまιいおたαあるふぁ τους όρους τたうωおめがνにゅー δύο μελών, επιβεβαιώνουμε ότι τたうαあるふぁ δύο μέλη είναι ίσα γがんまιいおたαあるふぁ όλες τις τιμές αληθείας τたうοおみくろんυうぷしろん $P$ κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんυうぷしろん $Q$:

$P$	$Q$	$P\wedge Q$	$\neg (P\wedge Q)$	$\neg P$	$\neg Q$	$\neg P\vee \neg Q$
$0$	$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$
$0$	$1$	$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$1$	$1$
$1$	$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$

Αντίστοιχα, γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー σχέση

$\neg (P\vee Q)\Leftrightarrow \neg P\wedge \neg Q$

έχουμε:

$P$	$Q$	$P\vee Q$	$\neg (P\vee Q)$	$\neg P$	$\neg Q$	$\neg P\wedge \neg Q$
$0$	$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$	$0$
$1$	$1$	$1$	0	$0$	$0$	$0$

Θεωρία συνόλων

Ηいーた απόδειξη σしぐまτたうηいーたνにゅー θεωρία συνόλων, μπορεί νにゅーαあるふぁ προκύψει χρησιμοποιώντας τたうηいーたνにゅー απόδειξη τたうωおめがνにゅー τύπων Νにゅーτたうεいぷしろん Μόργκαν σしぐまτたうηいーたνにゅー λογική. Υπενθυμίζουμε ότι εいぷしろんξくしー ορισμού ισχύουν οおみくろんιいおた παρακάτω σχέσεις:

• $x\in {\overline {A}}\Leftrightarrow \neg (x\in A)$,
• $x\in A\cap B\Leftrightarrow (x\in A\wedge x\in B)$,
• $x\in A\cup B\Leftrightarrow (x\in A\vee x\in B)$.

Έπειτα οおみくろんιいおた δύο τύπου Νにゅーτたうεいぷしろん Μόργκαν προκύπτουν από τις εξής ισοδυναμίες:

${\begin{aligned}x\in {\overline {A\cap B}}&\Leftrightarrow \neg (x\in A\cap B)\\&\Leftrightarrow \neg (x\in A\wedge x\in B)\\&\Leftrightarrow (x\not \in A\vee x\not \in B)\\&\Leftrightarrow (x\in {\overline {A}}\vee x\in {\overline {B}})\\&\Leftrightarrow (x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}),\end{aligned}}$

κかっぱαあるふぁιいおた

${\begin{aligned}x\in {\overline {A\cup B}}&\Leftrightarrow \neg (x\in A\cup B)\\&\Leftrightarrow \neg (x\in A\vee x\in B)\\&\Leftrightarrow (x\not \in A\wedge x\not \in B)\\&\Leftrightarrow (x\in {\overline {A}}\wedge x\in {\overline {B}})\\&\Leftrightarrow (x\in {\overline {A}}\cap {\overline {B}})\end{aligned}}$.

Γενικευμένη μορφή

Σしぐまτたうηいーたνにゅー θεωρία συνόλων, οおみくろんιいおた τύποι γενικεύονται γがんまιいおたαあるふぁ $n\geq 2$ σύνολα $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ ως εξής:

${\overline {\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}}={\overline {A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n}}}={\overline {A_{1}}}\cup {\overline {A_{2}}}\cup \ldots \cup {\overline {A_{n}}}=\bigcup _{i=1}^{n}{\overline {A_{i}}}$,

καθώς κかっぱαあるふぁιいおた

${\overline {\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}}={\overline {A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}}}={\overline {A_{1}}}\cap {\overline {A_{2}}}\cap \ldots \cap {\overline {A_{n}}}=\bigcap _{i=1}^{n}{\overline {A_{i}}}$.

Αντίστοιχα, σしぐまτたうηいーたνにゅー λογική, γがんまιいおたαあるふぁ $n\geq 2$ προτάσεις $P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}$, ισχύει ότι

$\neg \bigvee _{i=1}^{n}P_{i}=\neg (P_{1}\vee P_{2}\vee \ldots \vee P_{n})=(\neg P_{1})\wedge (\neg P_{2})\wedge \ldots \wedge (\neg P_{n})=\bigwedge _{i=1}^{n}\neg P_{i}$,

κかっぱαあるふぁιいおた

$\neg \bigwedge _{i=1}^{n}P_{i}=\neg (P_{1}\wedge P_{2}\wedge \ldots \wedge P_{n})=(\neg P_{1})\vee (\neg P_{2})\vee \ldots \vee (\neg P_{n})=\bigvee _{i=1}^{n}\neg P_{i}$.

Ιστορία

Οおみくろんιいおた τύποι έχουν ονομαστεί προς τιμήν τたうοおみくろんυうぷしろん Αυγούστου Νにゅーτたうεいぷしろん Μόργκαν (1806–1871), πぱいοおみくろんυうぷしろん εισήγαγε τたうηいーたνにゅー μαθηματική τους διατύπωση σしぐまτたうηいーたνにゅー προτασιακή λογική. Ηいーた διατύπωση τたうοおみくろんυうぷしろん Νにゅーτたうεいぷしろん Μόργκαν ήταν επηρεασμένη από τたうηいーたνにゅー αλγεβροποίηση της λογικής πぱいοおみくろんυうぷしろん ανέλαβε οおみくろん Τζορτζ Μみゅーπぱいοおみくろんυうぷしろんλらむだ. Πぱいαあるふぁρろー' όλ' αυτά , μία παρόμοια παρατήρηση είχε γίνει από τたうοおみくろんνにゅー Αριστοτέλη, κかっぱαあるふぁιいおた ήταν γνωστή στους αρχαίους Έλληνες λογικολόγους κかっぱαあるふぁιいおた στους λογικολόγους τたうοおみくろんυうぷしろん μεσαίωνα. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, στον 14οおみくろん αιώνα, οおみくろん Γουλιέλμος τたうοおみくろんυうぷしろん Όκαμ έγραψε τους νόμους σしぐまτたうηいーたνにゅー καθομιλουμένη γλώσσα σしぐまτたうοおみくろん έργο τたうοおみくろんυうぷしろん Summa Logicae. Οおみくろん Ζぜーたαあるふぁνにゅー Μπουριντάν, σしぐまτたうοおみくろん έργο τたうοおみくろんυうぷしろん Summulae de Dialectica, περιγράφει κανόνες μετατροπής πぱいοおみくろんυうぷしろん σしぐまεいぷしろん γενικές γραμμές προκύπτουν από τους νόμους τたうοおみくろんυうぷしろん Νにゅーτたうεいぷしろん Μόργκαν. Ακόμα κかっぱαあるふぁιいおた έτσι, σしぐまτたうοおみくろんνにゅー Νにゅーτたうεいぷしろん Μόργκαν πιστώνεται ηいーた διατύπωση τたうωおめがνにゅー τύπων μみゅーεいぷしろん σύγχρονους της αυστηρής λογικής, κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた ενσωμάτωσή τους σしぐまτたうηいーたνにゅー γλώσσα της λογικής. Οおみくろんιいおた τύποι τたうοおみくろんυうぷしろん Νにゅーτたうεいぷしろん Μόργκαν μπορούν νにゅーαあるふぁ αποδειχθούν εύκολα κかっぱαあるふぁιいおた μπορεί νにゅーαあるふぁ μοιάζουν τετριμμένοι. Πぱいαあるふぁρろー' όλ' αυτά, οおみくろんιいおた τύποι αυτοί είναι χρήσιμοι σしぐまεいぷしろん διάφορες αποδείξεις κかっぱαあるふぁιいおた επαγωγικά επιχειρήματα. Επίσης βρίσκουν διάφορες εφαρμογές σしぐまτたうοおみくろんνにゅー σχεδιασμό κυκλωμάτων μみゅーεいぷしろん λογικές πύλες, καθώς κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまεいぷしろん αλγορίθμους προτασιακής λογικής.

Δείτε επίσης

• Θεωρία συνόλων
• Προτασιακός λογισμός