Raja-arvo

Matematiikassa raja-arvo eli limes kuvaa funktion käyttäytymistä, kun sen muuttuja lähestyy tiettyä pistettä tai ääretöntä, tai lukujonon käyttäytymistä, kun sen indeksi lähestyy ääretöntä. Raja-arvoa käytetään matemaattisessa analyysissä määrittämään jatkuvuutta, integroituvuutta ja derivoituvuutta.

Funktion raja-arvo

Oletetaan, että $f(x)$ on reaaliarvoinen funktio ja $c$ on reaaliluku. Lause

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

tarkoittaa että $f(x)$ saadaan miten lähelle tahansa lukua $L$ viemällä $x$ riittävän lähelle lukua $c$. Tämä voidaan ilmaista sanoin: "f(x):llä on kohdassa c raja-arvo L". On syytä huomata, että tämä voi päteä vaikka f(c) ≠ L. Funktion $f(x)$ ei tarvitse olla edes määritelty arvolla $c$

Esimerkiksi funktiolla

$f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

f(1) ei ole määritelty (katso nollalla jakaminen). Silti kun $x$ viedään riittävän lähelle arvoa 1, $f(x)$ saadaan mielivaltaisen lähelle arvoa 2, kuten alla olevasta taulukosta nähdään. Näin ollen funktiolla on kohdassa 1 raja-arvo 2.

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.900	1.990	1.999	⇒ määrittelemätön ⇐	2.001	2.010	2.100

Tarkka määritelmä

Funktiolla $f$ on raja-arvo pisteessä $c$, jos sen arvot $f(x)$ ovat likimain samat, kun $x$ on lähellä arvoa $c$, sitä tarkemmin, mitä lähempänä. Raja-arvo määritellään täsmällisemmin näin: reaaliarvoisella reaalimuuttujan funktiolla $f$ on raja-arvo $L$ pisteessä $c$, jos kaikilla $\epsilon >0$ on olemassa $\delta >0$ siten, että

$|f(x)-L|<\epsilon$, aina kun $0<|x-c|<\delta$.

Tämän voi vielä formaalimmin kirjoittaa seuraavasti:

$(\forall {\epsilon >0})\,(\exists {\delta >0}):0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$,

Mikäli raja-arvo on olemassa, sitä merkitään

$\lim _{x\to c}f(x)=L$ (luetaan $f(x)$:n raja-arvo, kun $x$ lähestyy $c$:tä, on $L$)

tai

$f(x)\to L$, kun $x\to c$ (luetaan $f(x)$ lähestyy $L$:ää, kun $x$ lähestyy $c$:tä)

Esimerkiksi funktion $f(x)=2x$ raja-arvo pisteessä $3$ on 6 ($f(x)=2x$ lähestyy lukua 6, kun $x$ lähestyy lukua 3.

Raja-arvon määritelmä on mielekäs, jos funktio on määritelty ainakin jossakin pisteessä jokaisessa pisteen $c$ ympäristössä, ja määritelmiä tulisi tarkkaan ottaen vielä täydentää vaatimuksella, joka koskee $x$:n kuulumista funktion määrittelyjoukkoon. Erityisesti raja-arvon määritelmä ei edellytä, että $f(c)$ olisi olemassa. Esimerkiksi nimittäjän nollakohdassa funktion arvoa ei ole määritelty, mutta sillä saattaa silti olla siinä raja-arvo. Derivaatta määritelläänkin erään tällaisen raja-arvon avulla.

Raja-arvon määritelmän laajennuksia

Tilannetta, jossa funktio $f$ on määritelty kaikilla $x>a$ (tai jossa kaikilla $a$ on lukuja $x>a$, joilla $f(x)$ on määritelty) ja jossa funktion arvot ovat tarpeeksi suurilla $x$ lähellä jotain tiettyä arvoa, merkitään

$\lim _{x\to \infty }f(x)=L.$

Merkintä tarkoittaa, että kaikilla $\epsilon >0$ on olemassa $m$ niin, että $|f(x)-L|<\epsilon$ aina, kun $x>m$.

Merkintä luetaan "$f(x)$:llä on raja-arvo $L$, kun $x$ kasvaa rajatta" (tai "kun $x$ lähestyy ääretöntä"). Vastaavalla tavalla määritellään $f(x)$:n raja-arvo, kun "$x$ vähenee rajatta", $\lim _{x\to -\infty }f(x)=L$.

Funktion $f$ vasemman- ja oikeanpuolinen raja-arvo pisteessä $c$ määritellään samoin kuin raja-arvo, mutta ehto $0<|x-c|<\delta$ korvataan ehdolla $0<c-x<\delta$ (vasemmanpuolinen raja-arvo) tai $0<x-c<\delta$ (oikeanpuoleinen raja-arvo. Vasemman- ja oikeanpuolisia raja-arvoja merkitään $\lim _{x\to c-}f(x)$ ja $\lim _{x\to c+}f(x)$.

Sanaa raja-arvo käytetään usein myös silloin, kun funktion $f$ arvot $f(x)$ kasvavat tai vähenevät rajatta, kun $x$ lähestyy arvoa $c$ tai kasvaa tai vähenee rajatta. Tällöin on tapana merkitä esimerkiksi $\lim _{x\to c}f(x)=\infty$ (mikä tarkoittaa, että kaikilla $M$ on olemassa $\delta >0$ niin, että $f(x)>M$, kun $|x-c|<\delta$) tai $\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$ (mikä tarkoittaa, että kaikilla $M$ on olemassa $m$ niin, että $f(x)>M$, kun $x>m$).

Raja-arvon ominaisuuksia

Raja-arvo on yksikäsitteinen: funktiolla $f$ on pisteessä $c$ korkeintaan yksi raja-arvo. Raja-arvo (silloin kun on kyse perusmääritelmästä eikä "raja-arvosta $\pm \infty$") suhtautuu laskutoimituksiin vaihdannaisesti: jos esimerkiksi $\lim _{x\to c}f(x)=L_{1}$ ja $\lim _{x\to c}g(x)=L_{2}$ ja $a_{1},\,a_{2}$ ovat vakioita, niin $\lim _{x\to c}(a_{1}f(x)+a_{2}g(x))=a_{1}L_{1}+a_{2}L_{2}$ ja $\lim _{x\to c}(f(x)g(x))=L_{1}L_{2}$.

Lukujonon ja sarjan raja-arvo

Lukujonon $(x_{n}\,\!)$ raja-arvo on sellainen luku $L$, että kaikilla $\epsilon >0$ on olemassa $n_{0}\in \mathbb {N}$ siten, että $|x_{n}-L|<\epsilon$, kun $n>n_{0}$. Sitä, että lukujonon $(x_{n})\,\!$ raja-arvo on $L$, merkitään

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=L$ .

Kun lukujonolla on olemassa raja-arvo, sen sanotaan suppenevan. Lukujono, joka ei suppene, hajaantuu. Jos lukujonolla on raja-arvo, sanotaan myös, että jonon luvut lähestyvät tätä raja-arvoa, kun $n$ kasvaa rajatta (tai lähestyy ääretöntä). Lukujonon raja-arvo on yksikäsitteinen, ja se suhtautuu lukujonoilla tehtäviin laskutoimituksiin funktion raja-arvon kanssa analogisesti.

Suppeneva lukujono on esimerkiksi

$(1-0{,}1^{n})=0{,}9;0{,}99;0{,}999...,1-0{,}1^{n};...\,\!$

Sen raja-arvo on 1 eli $\lim(1-0,1^{n})=1$ .

Sarjan raja-arvo määritellään vastaavalla tavalla. Jos sarjalla on raja-arvo, se suppenee, muussa tapauksessa se hajaantuu. Suppenevia sarjoja ovat esimerkiksi sellaiset geometriset sarjat, joissa jokainen termi on itseisarvoltaan edellistä pienempi, esimerkiksi

• $1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+{\frac {1}{10000}}+...=1,11111...=1{\frac {1}{9}}$

ja

• $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+...=2$

Hajaantuvia sarjoja ovat esimerkiksi

• $1+1+1+1+1+...$ ,
• $1+2+3+4+5+...$

ja

• $1+2+4+8+16+...$.

Sarja x₁ + x₂ + x₃ + ... voi olla suppeneva vain, jos sen termit suppenevat kohti nollaa eli $\lim(x_{n})=0$. On kuitenkin olemassa olemassa myös sarjoja, joiden termit tosin suppenevat kohti nollaa, mutta jotka kuitenkin hajaantuvat. Yksinkertaisin esimerkki sellaisesta on harmoninen sarja

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+...$.

Ominaisuuksia

• Lukujonolla voi olla enintään yksi raja-arvo
• Suppeneva jono on aina rajoitettu
• Jos $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ ja $\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$

Tällöin pätee

1. $\lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=a+b$ .
2. $\lim _{n\to \infty }(rx_{n})=ra$ . $r\in \mathbb {R}$
3. $\lim _{n\to \infty }(x_{n}y_{n})=ab$
4. $\lim _{n\to \infty }(x_{n}/y_{n})=a/b$