Raja-arvo
Tämän artikkelin tai sen osan kieliasua on pyydetty parannettavaksi. Voit auttaa Wikipediaa parantamalla artikkelin kieliasua. Tarkennus: Tällaisenaan artikkeli on kyllä matemaatikolle selvää pässinlihaa, mutta matemaattisiin funktioihin tarkemmin perehtymättömälle täyttä hepreaa. Esimerkiksi englanninkielisessä Wikipediassakin on paljon kansantajuisempi esitys aiheesta vapaasti kopioitavissa. |
Matematiikassa raja-arvo eli limes kuvaa funktion käyttäytymistä, kun sen muuttuja lähestyy tiettyä pistettä tai ääretöntä, tai lukujonon käyttäytymistä, kun sen indeksi lähestyy ääretöntä. Raja-arvoa käytetään matemaattisessa analyysissä määrittämään jatkuvuutta, integroituvuutta ja derivoituvuutta.
Funktion raja-arvo
Oletetaan että on reaaliarvoinen funktio ja on reaaliluku. Lause
tarkoittaa että saadaan miten lähelle tahansa lukua viemällä riittävän lähelle lukua . Tämä voidaan ilmaista sanoin: "f(x):llä on kohdassa c raja-arvo L". On syytä huomata, että tämä voi päteä vaikka f(c) ≠ L. Funktion ei tarvitse olla edes määritelty arvolla
Esimerkiksi funktiolla
f(1) ei ole määritelty (katso nollalla jakaminen). Silti kun viedään riittävän lähelle arvoa 1, saadaan mielivaltaisen lähelle arvoa 2, kuten alla olevasta taulukosta nähdään. Näin ollen funtiolla on kohdassa 1 raja-arvo 2.
f(0.9) | f(0.99) | f(0.999) | f(1.0) | f(1.001) | f(1.01) | f(1.1) |
1.900 | 1.990 | 1.999 | ⇒ määrittelemätön ⇐ | 2.001 | 2.010 | 2.100 |
Tarkka määritelmä
Funktiolla on raja-arvo pisteessä , jos sen arvot ovat likimain samat, kun on lähellä arvoa , sitä tarkemmin, mitä lähempänä. Raja-arvo määritellään täsmällisemmin näin: reaaliarvoisella reaalimuuttujan funktiolla on raja-arvo pisteessä , jos kaikilla on olemassa siten, että
Tämän voi vielä formaalimmin kirjoittaa seuraavasti:
Mikäli raja-arvo on olemassa, sitä merkitään
tai
Esimerkiksi funktion raja-arvo pisteessä on 6 ( lähestyy lukua 6, kun lähestyy lukua 3.
Raja-arvon määritelmä on mielekäs, jos funktio on määritelty ainakin jossakin pisteessä jokaisessa pisteen ympäristössä, ja määritelmiä tulisi tarkkaan ottaen vielä täydentää vaatimuksella, joka koskee :n kuulumista funktion määrittelyjoukkoon. Erityisesti raja-arvon määritelmä ei edellytä, että olisi olemassa. Esimerkiksi nimittäjän nollakohdassa funktion arvoa ei ole määritelty, mutta sillä saattaa silti olla siinä raja-arvo. Derivaatta määritelläänkin erään tällaisen raja-arvon avulla.
Raja-arvon määritelmän laajennuksia
Tilannetta, jossa funktio on määritelty kaikilla (tai jossa kaikilla on lukuja , joilla on määritelty) ja jossa funktion arvot ovat tarpeeksi suurilla lähellä jotain tiettyä arvoa, merkitään
Merkintä tarkoittaa, että kaikilla on olemassa niin, että aina, kun .
Merkintä luetaan ":llä on raja-arvo , kun kasvaa rajatta" (tai "kun lähestyy ääretöntä"). Vastaavalla tavalla määritellään :n raja-arvo, kun " vähenee rajatta", .
Funktion vasemman- ja oikeanpuolinen raja-arvo pisteessä määritellään samoin kuin raja-arvo, mutta ehto korvataan ehdolla (vasemmanpuolinen raja-arvo) tai (oikeanpuoleinen raja-arvo. Vasemman- ja oikeanpuolisia raja-arvoja merkitään ja .
Sanaa raja-arvo käytetään usein myös silloin, kun funktion arvot kasvavat tai vähenevät rajatta, kun lähestyy arvoa tai kasvaa tai vähenee rajatta. Tällöin on tapana merkitä esimerkiksi (mikä tarkoittaa, että kaikilla on olemassa niin, että , kun ) tai (mikä tarkoittaa, että kaikilla on olemassa niin, että , kun ).
Raja-arvon ominaisuuksia
Raja-arvo on yksikäsitteinen: funktiolla on pisteessä korkeintaan yksi raja-arvo. Raja-arvo (silloin kun on kyse perusmääritelmästä eikä "raja-arvosta ") suhtautuu laskutoimituksiin vaihdannaisesti: jos esimerkiksi ja ja ovat vakioita, niin ja .
Lukujonon ja sarjan raja-arvo
Lukujonon raja-arvo on sellainen luku , että kaikilla on olemassa siten, että , kun . Sitä, että lukujonon raja-arvo on , merkitään
Kun lukujonolla on olemassa raja-arvo, sen sanotaan suppenevan. Lukujono, joka ei suppene, hajaantuu. Jos lukujonolla on raja-arvo, sanotaan myös, että jonon luvut lähestyvät tätä raja-arvoa, kun kasvaa rajatta (tai lähestyy ääretöntä). Lukujonon raja-arvo on yksikäsitteinen, ja se suhtautuu lukujonoilla tehtäviin laskutoimituksiin funktion raja-arvon kanssa analogisesti.
Suppeneva lukujono on esimerkiksi
Sen raja-arvo on 1 eli .
Sarjan raja-arvo määritellään vastaavalla tavalla. Jos sarjalla on raja-arvo, se suppenee, muussa tapauksessa se hajaantuu. Suppenevia sarjoja ovat esimerkiksi sellaiset geometriset sarjat, joissa jokainen termi on itseisarvoltaan edellistä pienempi, esimerkiksi
ja
Hajaantuvia sarjoja ovat esimerkiksi
- ,
ja
- .
Sarja x1 + x2 + x3 + ... voi olla suppeneva vain, jos sen termit suppenevat kohti nollaa eli . On kuitenkin olemassa olemassa myös sarjoja, joiden termit tosin suppenevat kohti nollaa, mutta jotka kuitenkin hajaantuvat. Yksinkertaisin esimerkki sellaisesta on harmoninen sarja
.
Ominaisuuksia
- Lukujonolla voi olla enintään yksi raja-arvo
- Suppeneva jono on aina rajoitettu
- Jos ja
Tällöin pätee
. .