数学 すうがく 弱 じゃく 形式 けいしき 英 えい weak formulation ）は、線型 せんけい 代数 だいすう 学 がく 概念 がいねん 例 たと 偏 へん 微分 びぶん 方程式 ほうていしき 他 ほか 分野 ぶんや 問題 もんだい 解 と 用 もち 可能 かのう 重要 じゅうよう 解析 かいせき 上 じょう 道具 どうぐ 弱 じゃく 形式 けいしき 方程式 ほうていしき 絶対 ぜったい 性 せい 要求 ようきゅう 適切 てきせつ 必要 ひつよう 代 か 函数 かんすう 関 かん 弱 じゃく 解 かい 存在 そんざい 超 ちょう 函数 かんすう 意味 いみ 解 かい 要求 ようきゅう 問題 もんだい 構成 こうせい 同値 どうち
ここでは弱 じゃく 形式 けいしき 関 かん 例 れい 紹介 しょうかい 解 かい 対 たい 主要 しゅよう 定理 ていり ラックス＝ミルグラムの定理 ていり （Lax-Milgram theorem）を述 の
V
=
R
n
{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}
A
:
V
→
V
{\displaystyle A:V\to V}
線型 せんけい 写像 しゃぞう 方程式 ほうていしき
A
u
=
f
{\displaystyle Au=f}
の弱 じゃく 形式 けいしき
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
対 たい 次 つぎ 方程式 ほうていしき 満 み
u
∈
V
{\displaystyle u\in V}
見 み
⟨
A
u
,
v
⟩
=
⟨
f
,
v
⟩
{\displaystyle \langle Au,v\rangle =\langle f,v\rangle \,}
ここで
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
内積 ないせき 表 あらわ
A
{\displaystyle A}
線型 せんけい 写像 しゃぞう 基底 きてい 対 たい 調 しら 十分 じゅうぶん
⟨
A
u
,
e
i
⟩
=
⟨
f
,
e
i
⟩
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle \langle Au,e_{i}\rangle =\langle f,e_{i}\rangle \quad i=1,\ldots ,n\,}
が得 え 実際 じっさい
u
=
∑
j
=
1
n
u
j
e
j
{\displaystyle u=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}
展開 てんかい 次 つぎ 行列 ぎょうれつ 形式 けいしき 方程式 ほうていしき 得 え
A
u
=
f
.
{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\mathbf {f} .}
ここで
a
i
j
=
⟨
A
e
j
,
e
i
⟩
{\displaystyle a_{ij}=\langle Ae_{j},e_{i}\rangle }
f
i
=
⟨
f
,
e
i
⟩
{\displaystyle f_{i}=\langle f,e_{i}\rangle }
この弱 じゃく 形式 けいしき 関連 かんれん 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 次 つぎ 与 あた
a
(
u
,
v
)
=
v
T
A
u
.
{\displaystyle a(u,v)=\mathbf {v} ^{T}\mathbf {A} \mathbf {u} .}
ここでの目標 もくひょう 領域 りょういき
Ω おめが ⊂
R
d
{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}
上 うえ 次 つぎ ポアソン方程式 ほうていしき
−
∇
2
u
=
f
{\displaystyle -\nabla ^{2}u=f\,}
の解 かい 境界 きょうかい
u
=
0
{\displaystyle u=0}
見 み 解 かい 空間 くうかん
V
{\displaystyle V}
後述 こうじゅつ 議論 ぎろん 決定 けってい 弱 じゃく 形式 けいしき 導出 どうしゅつ 次 つぎ
L
2
{\displaystyle L^{2}}
内積 ないせき 用 もち
⟨
u
,
v
⟩
=
∫
Ω おめが
u
v
d
x
.
{\displaystyle \langle u,v\rangle =\int _{\Omega }uv\,dx.}
微分 びぶん 可能 かのう 函数 かんすう
v
{\displaystyle v}
函数 かんすう 用 もち 次 つぎ 得 え
−
∫
Ω おめが
(
∇
2
u
)
v
d
x
=
∫
Ω おめが
f
v
d
x
.
{\displaystyle -\int _{\Omega }(\nabla ^{2}u)v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}
この方程式 ほうていしき 左辺 さへん グリーンの恒等 こうとう 式 しき を用 もち 部分 ぶぶん 積分 せきぶん 対称 たいしょう 的 てき 次 つぎ 形式 けいしき 記述 きじゅつ
∫
Ω おめが
∇
u
⋅
∇
v
d
x
=
∫
Ω おめが
f
v
d
x
.
{\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}
これは正 まさ ポアソン方程式 ほうていしき の弱 じゃく 形式 けいしき 通常 つうじょう 呼 よ 空間 くうかん
V
{\displaystyle V}
定義 ていぎ 必要 ひつよう 空間 くうかん 方程式 ほうていしき 導 みちび 空間 くうかん 導 しるべ 函数 かんすう 二乗 にじょう 可 か 積分 せきぶん 必要 ひつよう 実際 じっさい 境界 きょうかい 条件 じょうけん 弱 じゃく 微分 びぶん
L
2
(
Ω おめが )
{\displaystyle L^{2}(\Omega )}
属 ぞく 函数 かんすう ソボレフ空間 くうかん
H
0
1
(
Ω おめが )
{\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}
考 かんが 目的 もくてき 満 み
次 つぎ 記号 きごう 定 さだ 一般 いっぱん 的 てき 形 かたち 得 え 出来 でき
a
(
u
,
v
)
=
∫
Ω おめが
∇
u
⋅
∇
v
d
x
{\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx}
および
f
(
v
)
=
∫
Ω おめが
f
v
d
x
.
{\displaystyle f(v)=\int _{\Omega }fv\,dx.}
これは双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 対称 たいしょう 部分 ぶぶん 性質 せいしつ 依存 いぞん ラックス＝ミルグラムの定理 ていり （Lax-Milgram theorem）の構成 こうせい 最 もっと 一般 いっぱん 的 てき 形 かたち 訳 わけ
V
{\displaystyle V}
ヒルベルト空間 くうかん とし、
a
(
⋅
,
⋅
)
{\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}
V
{\displaystyle V}
上 うえ 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 次 つぎ 満 み
有界 ゆうかい
|
a
(
u
,
v
)
|
≤
C
‖
u
‖
‖
v
‖
{\displaystyle |a(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|}
強圧 きょうあつ 的 てき
a
(
u
,
u
)
≥
c
‖
u
‖
2
.
{\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}.}
このとき、任意 にんい
f
∈
V
′
{\displaystyle f\in V'}
対 たい 次 つぎ 方程式 ほうていしき 唯 ただ 一 ひと 解 かい
u
∈
V
{\displaystyle u\in V}
存在 そんざい
a
(
u
,
v
)
=
f
(
v
)
.
{\displaystyle a(u,v)=f(v).}
また次 つぎ 成立 せいりつ
‖
u
‖
≤
1
c
‖
f
‖
V
′
.
{\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|_{V'}.}
この場合 ばあい 定理 ていり 適用 てきよう 明 あき 十分 じゅうぶん 他 た 場合 ばあい 同様 どうよう 形 かたち 定理 ていり 使用 しよう
有界 ゆうかい 性 せい
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
上 うえ 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 有界 ゆうかい 特 とく 次 つぎ 成 な 立 た
|
a
(
u
,
v
)
|
≤
‖
A
‖
‖
u
‖
‖
v
‖
{\displaystyle |a(u,v)|\leq \|A\|\,\|u\|\,\|v\|\,}
強圧 きょうあつ 性 せい 実際 じっさい
A
{\displaystyle A}
固有値 こゆうち 実 み 部 ぶ
c
{\displaystyle c}
小 ちい 意味 いみ 特 とく 固有値 こゆうち 存在 そんざい 意味 いみ 系 けい 可 か 解 かい さらに次 つぎ 評価 ひょうか 得 え
‖
u
‖
≤
1
c
‖
f
‖
,
{\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|,\,}
ここで
c
{\displaystyle c}
A
{\displaystyle A}
固有値 こゆうち 最小 さいしょう 実 み 部 ぶ
上述 じょうじゅつ
V
=
H
0
1
(
Ω おめが )
{\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Omega )}
次 つぎ 定 さだ
‖
v
‖
V
:=
‖
∇
v
‖
{\displaystyle \|v\|_{V}:=\|\nabla v\|}
ここで右辺 うへん
Ω おめが
{\displaystyle \Omega }
上 うえ
L
2
{\displaystyle L^{2}}
ポアンカレ不等式 ふとうしき により、これは正 まさ
V
{\displaystyle V}
上 うえ 与 あた
|
a
(
u
,
u
)
|
=
‖
∇
u
‖
2
{\displaystyle |a(u,u)|=\|\nabla u\|^{2}}
コーシー＝シュワルツの不等式 ふとうしき より次 つぎ 成 な 立 た
|
a
(
u
,
v
)
|
≤
‖
∇
u
‖
‖
∇
v
‖
{\displaystyle |a(u,v)|\leq \|\nabla u\|\,\|\nabla v\|}
したがって、任意 にんい
f
∈
[
H
0
1
(
Ω おめが )
]
′
{\displaystyle f\in [H_{0}^{1}(\Omega )]'}
対 たい ポアソン方程式 ほうていしき の唯 ただ 一 ひと 解 かい
u
∈
V
{\displaystyle u\in V}
存在 そんざい 次 つぎ 評価 ひょうか 得 え
‖
∇
u
‖
≤
‖
f
‖
[
H
0
1
(
Ω おめが )
]
′
.
{\displaystyle \|\nabla u\|\leq \|f\|_{[H_{0}^{1}(\Omega )]'}.}
Lax, Peter D. ; Milgram, Arthur N. (1954). “Parabolic equations”. Contributions to the theory of partial differential equations . Annals of Mathematics Studies, no. 33. Princeton, N. J.: Princeton University Press. pp. 167–190 MR 0067317 
=f(v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2f60607eecedda1a17237e3cd60a09902b3de86)
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106c3214889818dd21d36fede1049ccbe587a82c)
![{\displaystyle f\in [H_{0}^{1}(\Omega )]'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5e949b3575a7b046830899b66fe9c45ae5515a8)
![{\displaystyle \|\nabla u\|\leq \|f\|_{[H_{0}^{1}(\Omega )]'}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/881a2aa647d323adeba9790d3279559f222972eb)