V ≅ F n n -次元 じげん 空間 くうかん e 1 , ..., e n } がその基底 きてい 与 あた n × n 行列 ぎょうれつ A は A = (B (e i e j 定義 ていぎ v , w をこの基底 きてい 関 かん 表 あらわ n × 1 行列 ぎょうれつ x , y であるとすれば
B
(
v
,
w
)
=
x
T
A
y
=
∑
i
,
j
=
1
n
a
i
j
x
i
y
j
{\displaystyle B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=x^{\mathrm {T} }Ay=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}y_{j}}
が成 な 立 た 別 べつ 基底 きてい f 1 , ..., f n } を取 と 正則 せいそく 線型 せんけい 変換 へんかん S ∈ GL (n ; F )存在 そんざい
[f 1 , ..., f n e 1 , ..., e n S と書 か 同 おな 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 基底 きてい 関 かん 行列 ぎょうれつ 表現 ひょうげん S T AS により与 あた
ベクトル空間 くうかん V 上 うえ 任意 にんい 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき B に対 たい カリー化 か により、V から双対 そうつい 空間 くうかん V *線型 せんけい 写像 しゃぞう 対 たい B 1 , B 2 : V → V *
B
1
(
v
)
=
B
(
v
,
∙
)
:
V
→
F
;
w
↦
B
1
(
v
)
(
w
)
=
B
(
v
,
w
)
{\displaystyle B_{1}(\mathbf {v} )=B(\mathbf {v} ,\bullet )\colon V\to F;\;\mathbf {w} \mapsto B_{1}(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )=B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}
B
2
(
w
)
=
B
(
∙
,
w
)
:
V
→
F
;
v
↦
B
2
(
w
)
(
v
)
=
B
(
v
,
w
)
{\displaystyle B_{2}(\mathbf {w} )=B(\bullet ,\mathbf {w} )\colon V\to F;\;\mathbf {v} \mapsto B_{2}(\mathbf {w} )(\mathbf {v} )=B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}
として誘導 ゆうどう 黒丸 くろまる • は、得 え 線型 せんけい 汎 ひろし 函数 かんすう 引数 ひきすう 入 はい 場所 ばしょ 示 しめ プレースホルダ である。
V が有限 ゆうげん 次元 じげん 空間 くうかん 場合 ばあい B 1 B 2 一方 いっぽう 同型 どうけい 両者 りょうしゃ 同型 どうけい 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき B は非 ひ 退化 たいか 言 い 具体 ぐたい 的 てき 有限 ゆうげん 次元 じげん 空間 くうかん 上 じょう 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき B が非 ひ 退化 たいか
B
(
x
,
y
)
=
0
(
∀
y
∈
V
)
⟹
x
=
0
,
{\displaystyle B(x,y)=0\,(\forall y\in V)\implies x=0,}
B
(
x
,
y
)
=
0
(
∀
x
∈
V
)
⟹
y
=
0
{\displaystyle B(x,y)=0\,(\forall x\in V)\implies y=0}
がともに成立 せいりつ 言 い
可 か 換 かわ 環 たまき R の上 うえ 加 か 群 ぐん M の場合 ばあい 対応 たいおう 概念 がいねん 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき B : M × M → R ユニモジュラー (unimodular) であるとは、誘導 ゆうどう 写像 しゃぞう B 1 , B 2 : M → M * := Hom(M ,R )同型 どうけい 言 い 可 か 換 かわ 環 かん 上 うえ 有限 ゆうげん 階数 かいすう 加 か 群 ぐん 与 あた 誘導 ゆうどう 写像 しゃぞう 単 たん 射 い 上 うえ 意味 いみ 非 ひ 退化 たいか 場合 ばあい 起 お 得 え 例 たと 有理 ゆうり 整数 せいすう 環 たまき Z 上 うえ 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき B (x , y ) = 2xy 非 ひ 退化 たいか 実際 じっさい 誘導 ゆうどう Z → Z * = Z 2 -倍 ばい 写像 しゃぞう 同型 どうけい V が有限 ゆうげん 次元 じげん 場合 ばあい V と二 に 重 じゅう 双対 そうつい V **同 どう 一 いち 視 し B 2 線型 せんけい 写像 しゃぞう B 1 転置 てんち 写像 しゃぞう 示 しめ V が無限 むげん 次元 じげん 場合 ばあい B 2 B 1 転置 てんち 写像 しゃぞう V **V の像 ぞう 制限 せいげん 一致 いっち 与 あた 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき B に対 たい B の転置 てんち
B*(v , w ) = B(w , v ) で定義 ていぎ 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 言 い
双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき B の左 ひだり 根基 こんき 右 みぎ 根基 こんき B 1 B 2 核 かく [1] 左 ひだり 右 みぎ 引数 ひきすう 空間 くうかん 全体 ぜんたい 直交 ちょっこう 全 すべ 部分 ぶぶん 空間 くうかん 言 い [2]
V が有限 ゆうげん 次元 じげん B 1 階数 かいすう B 2 階数 かいすう 等 ひと 階数 かいすう dim(V ) に等 ひと B 1 , B 2 V から V *線型 せんけい 同型 どうけい B は非 ひ 退化 たいか 階数 かいすう 退化 たいか 次数 じすう 定理 ていり 左 ひだり 根基 こんき 同 おな 右 みぎ 根基 こんき 自明 じめい 条件 じょうけん 同値 どうち 実際 じっさい 有限 ゆうげん 次元 じげん 場合 ばあい 非 ひ 退化 たいか 定義 ていぎ 採用 さいよう
定義 ていぎ 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき B が非 ひ 退化 たいか B (v , w ) = 0 (∀w ) ならば v = 0 線型 せんけい 写像 しゃぞう A : V → V *任意 にんい 与 あた
B (v , w ) = A (v )(w )と置 お V 上 うえ 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき B が定 さだ 形式 けいしき 非 ひ 退化 たいか 必要 ひつよう 十 じゅう 分 ふん 条件 じょうけん A が同型 どうけい
V が有限 ゆうげん 次元 じげん 時 とき V の適当 てきとう 基底 きてい 関 かん 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 退化 たいか 必要 ひつよう 十 じゅう 分 ふん 条件 じょうけん 対応 たいおう 行列 ぎょうれつ 行列 ぎょうれつ 式 しき 零 れい 同様 どうよう 非 ひ 退化 たいか 形式 けいしき 対応 たいおう 行列 ぎょうれつ 行列 ぎょうれつ 式 しき 零 れい 行列 ぎょうれつ 正則 せいそく 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 基底 きてい 取 と 方 かた 依 よ 成 な 立 た 事実 じじつ
可 か 換 かわ 環 かん 上 うえ 加 か 群 ぐん 場合 ばあい 形式 けいしき 付随 ふずい 行列 ぎょうれつ 行列 ぎょうれつ 式 しき 単元 たんげん 例 たと 1 ）、したがって各項 かくこう 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 付随 ふずい 行列 ぎょうれつ 非 ひ 零 れい 単元 たんげん 形式 けいしき 非 ひ 退化 たいか 注意 ちゅうい 例 たと 整数 せいすう 環 たまき 上 じょう 定義 ていぎ
B
(
x
,
y
)
=
2
x
y
{\displaystyle B(x,y)=2xy}
対称 たいしょう 性 せい 歪 ひずみ 対称 たいしょう 性 せい 交代 こうたい 性 せい
編集 へんしゅう
与 あた 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき
対称 たいしょう 全 すべ v , w に対 たい B (v , w ) = B(w , v ) のこと;交代 こうたい 的 てき 全 すべ v に対 たい B (v , v ) = 0 のこと;歪 いびつ 対称 たいしょう 全 すべ v , w に対 たい B (v , w ) = −B (w , v ) のことと定義 ていぎ
注意 ちゅうい 任意 にんい 交代 こうたい 形式 けいしき 歪 いびつ 対称 たいしょう B (v +w , v +w ) を展開 てんかい 明 あき 基礎 きそ 体 たい F の標 しるべ 数 すう 逆 ぎゃく 正 ただ 即 すなわ 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 歪 いびつ 対称 たいしょう 的 てき 交代 こうたい 的 てき 同 おな 概念 がいねん しかし char(F) = 2 のときは、歪 ひずみ 対称 たいしょう 形式 けいしき 対称 たいしょう 形式 けいしき 同一 どういつ 概念 がいねん 表 あらわ 交代 こうたい 形式 けいしき 対称 たいしょう 歪 ひずみ 対称 たいしょう 形式 けいしき 存在 そんざい 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 対称 たいしょう 歪 ひずみ 対称 たいしょう 必要 ひつよう 十 じゅう 分 ふん 条件 じょうけん 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 任意 にんい 基底 きてい 対 たい 表現 ひょうげん 行列 ぎょうれつ 対称 たいしょう 歪 いびつ 対称 たいしょう 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 交代 こうたい 的 てき 必要 ひつよう 十 じゅう 分 ふん 条件 じょうけん 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 表現 ひょうげん 行列 ぎょうれつ 歪 いびつ 対称 たいしょう 対 たい 角 かく 成分 せいぶん F ) ≠ 2F の時 とき 歪 ひずみ 対称 たいしょう 従 したが
双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 対称 たいしょう 必要 ひつよう 十 じゅう 分 ふん 条件 じょうけん 対応 たいおう 二 ふた 線型 せんけい 写像 しゃぞう 1 , B2 : V → V* が相 そう 等 ひと 歪 ひずみ 対称 たいしょう 必要 ひつよう 十 じゅう 分 ふん 条件 じょうけん 対応 たいおう 線型 せんけい 写像 しゃぞう 一方 いっぽう 他方 たほう 符号 ふごう 変 か 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき
B
±
=
1
2
(
B
±
B
∗
)
{\displaystyle B^{\pm }={\frac {1}{2}}(B\pm B^{*})}
と置 お 対称 たいしょう 部分 ぶぶん 歪 ひずみ 対称 たいしょう 部分 ぶぶん 分解 ぶんかい B ∗ は B の（上 うえ 定義 ていぎ 意味 いみ 転置 てんち
双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき B : V × V → F 対 たい 付随 ふずい 二 に 次 じ 形式 けいしき Q B V → F Q B v ) := B (v , v )与 あた
char(F) ≠ 2 のとき、二 に 次 じ 形式 けいしき 付随 ふずい 対称 たいしょう 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 言葉 ことば 用 もち 定義 ていぎ 同様 どうよう 仕方 しかた 二 に 次 じ 形式 けいしき 概念 がいねん 歪 ひずみ 対称 たいしょう 形式 けいしき エルミート形式 けいしき 、歪 いびつ 形式 けいしき 対応 たいおう 変形 へんけい 版 ばん 定義 ていぎ 一般 いっぱん 概念 がいねん ε いぷしろん 二 に 次 じ 形式 けいしき （英語 えいご 版 ばん ε いぷしろん
定義 ていぎ 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき B : V × V → F が反射 はんしゃ 的 てき V の全 すべ v , w に対 たい B (v , w ) = 0 ならば B (w , v ) = 0 が成 な 立 た 言 い 反射 はんしゃ 的 てき 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 対 たい v , w が B に関 かん 直交 ちょっこう (orthogonal) するとは B (v , w ) = 0 が成 な 立 た B (w , v ) = 0 が成 な 立 た 同 おな 言 い 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき B が反射 はんしゃ 的 てき 対称 たいしょう 的 てき 交代 こうたい 的 てき 何 いず 必要 ひつよう 十分 じゅうぶん [3] 反射 はんしゃ 性 せい 落 お 考 かんが 左 ひだり 直交 ちょっこう 右 みぎ 直交 ちょっこう 概念 がいねん 区別 くべつ 反射 はんしゃ 的 てき 空間 くうかん 左右 さゆう 根基 こんき 一致 いっち 自分 じぶん 以外 いがい 全 すべ 直交 ちょっこう 全体 ぜんたい 成 な 部分 ぶぶん 空間 くうかん 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 核 かく 根基 こんき 呼 よ 行列 ぎょうれつ 表現 ひょうげん x をもつベクトル v が行列 ぎょうれつ 表現 ひょうげん A を持 も 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 根基 こんき 属 ぞく Ax = 0 となること（いまの場合 ばあい x T A = 0 となることとしても同 おな 根基 こんき 常 つね 部分 ぶぶん 空間 くうかん 根基 こんき 自明 じめい 行列 ぎょうれつ 非特異 ひとくい 同値 どうち 従 したが 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 非 ひ 退化 たいか 同値 どうち
部分 ぶぶん 空間 くうかん W に対 たい B に関 かん 直交 ちょっこう 補 ほ 空間 くうかん [4]
W
⊥
=
{
v
∣
B
(
v
,
w
)
=
0
∀
w
∈
W
}
{\displaystyle W^{\perp }=\{v\mid B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0\ \forall \mathbf {w} \in W\}}
で定義 ていぎ 有限 ゆうげん 次元 じげん 空間 くうかん 上 うえ 非 ひ 退化 たいか 二 に 次 じ 形式 けいしき 対 たい 写像 しゃぞう ⊥ は全 ぜん 単 たん 射 しゃ ⊥ の次元 じげん 与 あた
同 おな 基礎 きそ 体 たい 上 うえ 双 そう 線型 せんけい 写像 しゃぞう
B : V × W → F に対 たい 上 うえ 述 の 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 関 かん 議論 ぎろん 大半 たいはん 同様 どうよう 内容 ないよう 成立 せいりつ 例 たと 場合 ばあい 双 そう 線型 せんけい 写像 しゃぞう V から W ∗ への線型 せんけい 写像 しゃぞう W から V ∗ への線型 せんけい 写像 しゃぞう 誘導 ゆうどう 写像 しゃぞう 同型 どうけい 起 お 得 え 有限 ゆうげん 次元 じげん 場合 ばあい 一方 いっぽう 同型 どうけい 他方 たほう 同型 どうけい 場合 ばあい B は完全 かんぜん 対 たい V と W とを双対 そうつい
有限 ゆうげん 次元 じげん 非 ひ 退化 たいか 同値 どうち 空間 くうかん 必然 ひつぜん 的 てき 同 どう 次元 じげん 空間 くうかん 加 か 群 ぐん 言 い 非 ひ 退化 たいか 形式 けいしき 形式 けいしき 条件 じょうけん 弱 よわ 条件 じょうけん 同 おな 意味 いみ 非 ひ 退化 たいか 対 たい 完全 かんぜん 対 たい 弱 よわ 条件 じょうけん 非 ひ 退化 たいか 完全 かんぜん 例 れい (x ,y ) ↦ 2xy による Z × Z → Z 非 ひ 退化 たいか 写像 しゃぞう Z → Z *上 うえ 積 せき 引 ひ 起 お
そこで、こういった場合 ばあい 対 たい 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 言葉 ことば 用 もち 例 たと 八 はち 種類 しゅるい 内積 ないせき [5] 議論 ぎろん 非 ひ 零 れい 成分 せいぶん 持 も 対 たい 角 かく 行列 ぎょうれつ A ij 用 もち 内積 ないせき 定義 ていぎ 内積 ないせき 中 なか 斜 はす 式 しき 半双 はんそう 線型 せんけい 形式 けいしき エルミート形式 けいしき であるようなものが含 ふく 議論 ぎろん 一般 いっぱん 体 からだ F ではなくて、具体 ぐたい 的 てき 実数 じっすう 体 たい R , 複素数 ふくそすう 体 たい C , 四 よん 元 げん 数 すう 体 からだ H を詳述 しょうじゅつ 例 たと
∑
k
=
1
p
x
k
y
k
−
∑
k
=
p
+
1
n
x
k
y
k
{\displaystyle \sum _{k=1}^{p}x_{k}y_{k}-\sum _{k=p+1}^{n}x_{k}y_{k}}
なる形 かたち 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 実 じつ 対称 たいしょう 型 がた 呼 よ p , q ) (ただし p + q = n ) というラベル で分類 ぶんるい 旧来 きゅうらい 用語 ようご 関係 かんけい
実 じつ 対称 たいしょう 型 がた 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 非常 ひじょう 重要 じゅうよう 含 ふく 正 せい 定値 ていち 場合 ばあい n , 0) はユークリッド空間 くうかん に対応 たいおう 一 ひと 負 ふ 符号 ふごう n −1, 1) はローレンツ空間 くうかん に対応 たいおう n = 4 の場合 ばあい 空間 くうかん ミンコフスキー空間 くうかん またはミンコフスキー時空 じくう とも呼 よ p , p ) なる特別 とくべつ 場合 ばあい 分解 ぶんかい 型 がた 呼 よ
と述 の [6]
テンソル積 せき の持 も 普遍 ふへん 性 せい 上 うえ 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 線型 せんけい 写像 しゃぞう 対 たい 対応 たいおう 上 うえ 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 対応 たいおう 線型 せんけい 写像 しゃぞう
v ⊗ w ↦ B(v , w )によって与 あた 全 すべ 線型 せんけい 写像 しゃぞう 集合 しゅうごう 双対 そうつい 空間 くうかん 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき
(V ⊗ V )* ≅ V* ⊗ V* の元 もと 考 かんが 同様 どうよう 対称 たいしょう 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 2 (V*) （V* の二 に 次 じ 対称 たいしょう 冪 べき 元 もと 考 かんが 交代 こうたい 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき Λ らむだ 2 V* （V* の二 に 次 じ 外 そと 冪 べき 元 もと 考 かんが
定義 ていぎ ノルム線型 せんけい 空間 くうかん の上 うえ 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 全 すべ u , v ∈ V に対 たい
B
(
u
,
v
)
≤
C
‖
u
‖
‖
v
‖
{\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\leq C\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}
成立 せいりつ 定数 ていすう 存在 そんざい 有界 ゆうかい ノルム線型 せんけい 空間 くうかん 上 うえ 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき 楕円 だえん 的 てき 強圧 きょうあつ 的 てき （英語 えいご 版 ばん 全 すべ u ∈ V に対 たい
B
(
u
,
u
)
≥
c
‖
u
‖
2
{\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )\geq c\|\mathbf {u} \|^{2}}
定数 ていすう 存在 そんざい 場合 ばあい 言 い
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