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記事 きじ は
英語 えいご 版 ばん 対応 たいおう 翻訳 ほんやく 充実 じゅうじつ （2024年 ねん 月 がつ ） 翻訳 ほんやく 前 まえ 重要 じゅうよう 指示 しじ 読 よ 右 みぎ 表示 ひょうじ
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ディオファントス方程式 ほうていしき （ディオファントスほうていしき、Diophantine equation）とは、整 せい 係 がかり 数多 あまた 変数 へんすう 高次 こうじ 不定 ふてい 方程式 ほうていしき 文脈 ぶんみゃく 整数 せいすう 解 かい 有理数 ゆうりすう 解 かい 問題 もんだい 場合 ばあい 用 もち 用語 ようご 主 おも 数 かず 論 ろん 研究 けんきゅう 課題 かだい 考 かんが 古代 こだい アレクサンドリア の数学 すうがく 者 しゃ ディオファントス の著作 ちょさく 算術 さんじゅつ 有理数 ゆうりすう 解 かい 研究 けんきゅう 名称 めいしょう
ディオファントス方程式 ほうていしき 整 せい 係 がかり 数多 あまた 変数 へんすう 高次 こうじ 不定 ふてい 方程式 ほうていしき
∑
a
e
1
e
2
…
e
m
x
1
e
1
x
2
e
2
⋯
x
m
e
m
=
0
(
a
e
1
e
2
…
e
m
∈
Z
)
{\displaystyle \sum a_{e_{1}e_{2}\ldots e_{m}}x_{1}^{e_{1}}x_{2}^{e_{2}}\cdots x_{m}^{e_{m}}=0\quad (a_{e_{1}e_{2}\ldots e_{m}}\in \mathbb {Z} )}
である。整数 せいすう 変数 へんすう 定数 ていすう 乗 じょう 加減 かげん 乗算 じょうざん 方程式 ほうていしき 方程式 ほうていしき
指数 しすう 部分 ぶぶん 変数 へんすう 化 か 方程式 ほうていしき 広義 こうぎ 方程式 ほうていしき 方程式 ほうていしき 指数 しすう 型 がた 方程式 ほうていしき 呼 よ 実際 じっさい 指数 しすう 型 がた 方程式 ほうていしき 通常 つうじょう 方程式 ほうていしき 複数 ふくすう 組 くみ 還元 かんげん 知 し [1] [2]
ディオファントス方程式 ほうていしき 特殊 とくしゅ 例 れい 以下 いか
ベズー方程式 ほうていしき a x + b y = d ユークリッドの互除法 ほう の応用 おうよう 一般 いっぱん 整数 せいすう 解 かい 求 もと ピタゴラス方程式 ほうていしき x 2 + y 2 = z 2 直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい 辺 あたり 長 ちょう 対応 たいおう 自然 しぜん 数 すう 解 かい ピタゴラス数 すう といい、一般 いっぱん 生成 せいせい 公式 こうしき 存在 そんざい ペル方程式 ほうていしき x 2 - n y 2 = 1連分数 れんぶんすう 応用 おうよう 一般 いっぱん 整数 せいすう 解 かい 求 もと 楕円 だえん 曲線 きょくせん y 2 = f (x ) （f (x ) は重根 しこね 次 じ 次 じ 多項式 たこうしき 数 かず 論 ろん 中心 ちゅうしん 的 てき 課題 かだい 一 ひと 有理数 ゆうりすう 解 かい 構造 こうぞう 定理 ていり モーデルの定理 ていり ）がある。整数 せいすう 解 かい 有限 ゆうげん 個 こ 存在 そんざい 原理 げんり 的 てき 全 すべ 整数 せいすう 解 かい 求 もと 可能 かのう 有限 ゆうげん 体 たい 上 うえ 楕円 だえん 曲線 きょくせん 構造 こうぞう 考察 こうさつ 暗号 あんごう 理論 りろん 応用 おうよう 超 ちょう 楕円 だえん 曲線 きょくせん y 2 = f (x ) （f (x ) は重根 しこね 次 じ 以上 いじょう 多項式 たこうしき 整数 せいすう 解 かい 有限 ゆうげん 個 こ 存在 そんざい 原理 げんり 的 てき 全 すべ 整数 せいすう 解 かい 求 もと 可能 かのう ファルティングスの定理 ていり により、有理数 ゆうりすう 解 かい 有限 ゆうげん 個 こ 存在 そんざい 全 すべ 求 もと 限 かぎ トゥエ方程式 ほうていしき f (x , y ) = k （f (x , y ) は3次 じ 以上 いじょう 斉 ひとし 次 じ 既 すんで 約 やく 多項式 たこうしき 整数 せいすう 解 かい 有限 ゆうげん 個 こ 存在 そんざい 原理 げんり 的 てき 全 すべ 整数 せいすう 解 かい 求 もと 可能 かのう 曲線 きょくせん 次数 じすう 楕円 だえん 曲線 きょくせん 双 そう 有理 ゆうり 同値 どうち 次数 じすう 以上 いじょう ファルティングスの定理 ていり により、有理数 ゆうりすう 解 かい 有限 ゆうげん 個 こ 存在 そんざい 全 すべ 求 もと 限 かぎ
ディオファントス方程式 ほうていしき 整数 せいすう 解 かい 有理数 ゆうりすう 解 かい 問題 もんだい 古 ふる 非常 ひじょう 難問 なんもん 知 し 自身 じしん 近代 きんだい フランス の数学 すうがく 者 しゃ フェルマー らが代表 だいひょう 的 てき 研究 けんきゅう 者 しゃ 有名 ゆうめい
アリヤバータ は499年 ねん 著作 ちょさく 線型 せんけい 方程式 ほうていしき
a
y
+
b
x
=
c
{\displaystyle ay+bx=c}
整数 せいすう 解 かい 解法 かいほう 初 はじ 明確 めいかく 記 しる 法 ほう 呼 よ ブラーマグプタ は「チャクラバーラ法 ほう (Chakravala method を用 もち 次 じ 方程式 ほうていしき 扱 あつか 年 ねん バースカラ2世 せい がブラーマグプタの解法 かいほう 改良 かいりょう 方程式 ほうていしき 他 ほか 不定 ふてい 二 に 次 じ 方程式 ほうていしき 二 に 次 じ 方程式 ほうていしき 一般 いっぱん 解 かい 見 み
現在 げんざい 方程式 ほうていしき 整数 せいすう 範囲 はんい 一般 いっぱん 解法 かいほう 存在 そんざい 証明 しょうめい 整数 せいすう 解 かい 存在 そんざい 判定 はんてい 限定 げんてい 変数 へんすう 一般 いっぱん 的 てき 判定 はんてい 法 ほう 存在 そんざい 証明 しょうめい 変数 へんすう 一般 いっぱん 的 てき 判定 はんてい 法 ほう 未知 みち 種 たね 数 すう 場合 ばあい y k f (x ) の形 かたち 方程式 ほうていしき 原理 げんり 的 てき 判定 はんてい 可能 かのう 有理数 ゆうりすう 範囲 はんい 一般 いっぱん 的 てき 判定 はんてい 方法 ほうほう 存在 そんざい 未知 みち
1900年 ねん 提示 ていじ ヒルベルトの23の問題 もんだい 」の第 だい 問題 もんだい 方程式 ほうていしき 一般 いっぱん 的 てき 有限 ゆうげん 的 てき 可 か 解 かい 性 せい 判定 はんてい 方法 ほうほう 年 ねん ロシア の数学 すうがく 者 しゃ ユーリ・マチャセビッチ によって否定 ひてい 的 てき 解決 かいけつ [1] 計算 けいさん 可能 かのう 性 せい 理論 りろん 証明 しょうめい 副産物 ふくさんぶつ 再帰 さいき 的 てき 枚挙 まいきょ 可能 かのう 任意 にんい 整数 せいすう 集合 しゅうごう 素数 そすう 集合 しゅうごう 要素 ようそ 整数 せいすう 解 かい 方程式 ほうていしき 存在 そんざい 証明 しょうめい 日本 にっぽん 廣瀬 ひろせ 健 けん 同 どう 時期 じき 独立 どくりつ 部分 ぶぶん 的 てき 解決 かいけつ
2変数 へんすう 次 じ 方程式 ほうていしき a x 2 + b y + c = 0 の整数 せいすう 解 かい 存在 そんざい 判定 はんてい 問題 もんだい NP完全 かんぜん 問題 もんだい であることが証明 しょうめい 計算 けいさん 複雑 ふくざつ 性 せい 理論 りろん
^ a b これらの話題 わだい Amer. Math. Monthly 80 (1973), 233--269 で解説 かいせつ
^ 例 たと Hilbert's Tenth Problem is Unsolvable の Lemma 3.5 によれば、m = n k
m
,
n
,
k
∈
N
{\displaystyle m,n,k\in \mathbb {N} }
以下 いか 方程式 ほうていしき 系 けい m が所与 しょよ 際 さい 以外 いがい 変数 へんすう
∈
N
{\displaystyle \in \mathbb {N} }
解 かい 持 も 同値 どうち 指数 しすう 型 がた 方程式 ほうていしき 以下 いか 通常 つうじょう 方程式 ほうていしき 系 けい 帰着 きちゃく
x
2
−
(
a
2
−
1
)
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-(a^{2}-1)y^{2}=1}
u
2
−
(
a
2
−
1
)
v
2
=
1
{\displaystyle u^{2}-(a^{2}-1)v^{2}=1}
s
2
−
(
b
2
−
1
)
t
2
=
1
{\displaystyle s^{2}-(b^{2}-1)t^{2}=1}
v
=
r
y
2
{\displaystyle v=ry^{2}}
b
=
1
+
4
p
y
=
a
+
q
u
{\displaystyle b=1+4py=a+qu}
s
=
x
+
c
u
{\displaystyle s=x+cu}
t
=
k
+
4
(
d
−
1
)
y
{\displaystyle t=k+4(d-1)y}
y
=
k
+
e
−
1
{\displaystyle y=k+e-1}
(
x
−
y
(
a
−
n
)
−
m
)
2
=
(
f
−
1
)
2
(
2
a
n
−
n
2
−
1
)
2
{\displaystyle (x-y(a-n)-m)^{2}=(f-1)^{2}(2an-n^{2}-1)^{2}}
m
+
g
=
2
a
n
−
n
2
−
1
{\displaystyle m+g=2an-n^{2}-1}
w
=
n
+
h
=
k
+
l
{\displaystyle w=n+h=k+l}
a
2
−
(
w
2
−
1
)
(
w
−
1
)
2
z
2
=
1
{\displaystyle a^{2}-(w^{2}-1)(w-1)^{2}z^{2}=1}
証明 しょうめい 方程式 ほうていしき 解 かい 性質 せいしつ 三角 さんかく 関数 かんすう ド・モアブルの定理 ていり ）との関連 かんれん 性 せい 着目 ちゃくもく 論 ろん
