ペル方程式ほうていしき

ペル方程式ほうていしき（ペルほうていしき、英えい: Pell's equation）とは、 $n$ を平方へいほう数すうではない自然しぜん数すうとして、未知みち整数せいすう $x$ , $y$ について

x 2 - ny 2 = 1

の形かたちのディオファントス方程式ほうていしきである。

ペル方程式ほうていしきの一般いっぱん的てきな解法かいほうは、1150年ねんにインドのバースカラ2世せいが見みつけている。彼かれはブラーマグプタのチャクラバーラ法ほう（英語えいご版ばん）を改良かいりょうした解法かいほうを使つかい、同おなじ技法ぎほうを応用おうようして不定ふてい二に次じ方程式ほうていしきや二に次じディオファントス方程式ほうていしきの一般いっぱん解かいも見みつけた。西洋せいようにおけるペル方程式ほうていしきの一般いっぱん的てきな解法かいほうは、ウィリアム・ブランカーが発見はっけんした。しかし、オイラーはこの方程式ほうていしきを研究けんきゅうしたのはジョン・ペルであると誤解ごかいし「ペル方程式ほうていしき」と命名めいめいしたため、その名前なまえが広ひろく使つかわれるようになった。

解法かいほう

平方へいほう数すうでない正せいの整数せいすう $n$ に対たいしてペル方程式ほうていしきは必かならず自明じめいな解かい ( $x = 1, y = 0$ ) 以外いがいの整数せいすう解かいを持もつことが知しられている。また1つの解かい $(x, y)$ を得えたとすれば、

x_{k}+y_{k}{\sqrt {n}}=(x+y{\sqrt {n}})^{k}

は全すべてペル方程式ほうていしきの解かいになる。また逆ぎゃくにペル方程式ほうていしきの全すべての解かいは最小さいしょう解かいの冪べき乗じょうになることが知しられている。

最小さいしょう解かいを得える法ほうとしては、連分数れんぶんすう展開てんかいからの近似きんじ分数ぶんすうを利用りようする方法ほうほうが良よく用もちいられる。

具体ぐたい的てきには、 $\sqrt n$ の連分数れんぶんすう展開てんかいを、 $\sqrt n = A = [a 0; a 1, a 2, \dots, a m]$ と置おき、近似きんじ分数ぶんすう $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}P/Q$ を、 $P / Q = B = [a 0; a 1, a 2, \dots, a m -1]$ とすると、 $(x, y) = (P, Q)$ が解かいになる。ただし、周期しゅうき $m$ が奇数きすうの場合ばあいは、右辺うへん = −1 の解かいが得えられるので、1 の解かいを得えるには上記じょうきの式しきで二乗にじょうする必要ひつようがある。ここで、A は $a 0$ を整数せいすう部分ぶぶん、 $a 1, a 2, \dots, a m$ を循環じゅんかん節ぶしとする無限むげん連分数れんぶんすうで、B は循環じゅんかん節ぶしを一周いっしゅう期きだけ採とり、最後さいごの項こう $a m$ を除のぞいた、有限ゆうげん連分数れんぶんすうである。ちなみに、 $a 1, a 2, \dots, a m -1$ は左右さゆう対称たいしょうとなっており、 $a m = 2 a 0$ が常つねに成立せいりつする。

例たとえば $n$ が $7$ ならば、 $\sqrt 7 = [2; 1, 1, 1, 4]$ (周期しゅうきは 4 で偶数ぐうすう) なので、 $[2; 1, 1, 1]$ から近似きんじ分数ぶんすう $8 / 3$ が得えられ、 $(x, y) = (8, 3)$ が最小さいしょう解かいとなる。 $n$ が $61$ の場合ばあいは、 $\sqrt 61 = [7; 1, 4, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 14]$ （周期しゅうきは 11 で奇数きすう）なので近似きんじ分数ぶんすう $29718 / 3805$ が得えられ、右辺うへん = −1 の最小さいしょう解かいは $(x_{1},y_{1})=(29718,3805)$ となる。右辺うへん = 1 の最小さいしょう解かいは、 $x+y{\sqrt {61}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {61}})^{2}$ から $(x, y) = (1766319049, 226153980)$ となる。

解かいの公式こうしきから

\alpha =x+y{\sqrt {n}},\;\beta =x-y{\sqrt {n}}

とおくと、

x_{k}={\frac {\alpha ^{k}+\beta ^{k}}{2}},\;y_{k}={\frac {\alpha ^{k}-\beta ^{k}}{2{\sqrt {n}}}}

が得えられる。つまり、ペル方程式ほうていしきの解かいに対たいして、 $y k / y, 2 x k$ はリュカ数列すうれつを構成こうせいする。

拡張かくちょう1

冒頭ぼうとうの不定ふてい方程式ほうていしきの右辺うへんを 1 のかわりに −1 としたもの

x^{2}-ny^{2}=-1

もペル方程式ほうていしきと呼よばれることがあるが、これは $n$ の値ねによっては解かいを持もたないこともある。

解かいを持もつ $n$ と、解かいの例れいをいくつか挙あげる： $n = 2$ のとき $(x, y) = (1, 1), n = 5$ のとき $(x, y) = (2, 1), n = 13$ のとき $(x, y) = (18, 5)$ 。

どのような n が -1 の解かいを持もつのかは、未み解決かいけつ問題もんだいだが、 $\sqrt n$ を連分数れんぶんすう展開てんかいしたときの循環じゅんかん節ぶしの長ながさ(周期しゅうき)が奇数きすうのとき、かつその場合ばあいに限かぎり解かいを持もつことが、知しられている。−1 の解かいを持もつ n の必要ひつよう条件じょうけんとしては、

4の倍数ばいすうでない
4k + 3 型がたの素因数そいんすうを持もたない
$k 2 + 2 k / a (0 < a < 2 k, a | 2 k)$ の形かたちでない^{[注ちゅう 1]}

が挙あげられる。1, 2は、

N = x 2 + 1 = ny 2

と置おいたとき、N が2平方和へいほうわに分解ぶんかいされており、 $gcd(x, 1) = 1$ であることから、2平方和へいほうわ定理ていりからの自明じめいな帰結きけつとして得えられる。3は、この形かたちの数かずの平方根へいほうこんが ${\sqrt {k^{2}+{\frac {2k}{a}}}}=[k;a,2k,a,2k,\cdots ]$ と、周期しゅうき2の連分数れんぶんすうに展開てんかいされることから、導みちびかれる。例たとえば、 $a = k = 12$ なら $\sqrt 122 +2 = \sqrt 146 = [12; 12, 24, 12, 24, \dots]$ である^{[注ちゅう 2]}。上記じょうきが、必要ひつよう条件じょうけんであり、必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんでないことは、34 (= 2 × 17), 205 (= 5 × 41), 221 (= 13 × 17) などの多数たすうの反例はんれいで示しめされる。

十分じゅうぶん条件じょうけんの報告ほうこく例れいは少すくないが、n が 4k + 1 型がたの素数そすうの場合ばあいや 8k + 5 型がたの素数そすうの2倍ばいの場合ばあいも、必かならず解かいを持もつことが報告ほうこくされている^[1]。また、 $n = k 2 + 1$ の形かたちであれば、 $(x, y) = (k, 1)$ が解かいになることは、明あきらかであろう^{[注ちゅう 3]}。

拡張かくちょう2

右辺うへんを1の代かわりに4としたもの

x 2 - ny 2 = \pm4

もペル方程式ほうていしきとよばれることがあるが、これは二に次じ体たいの単数たんすうと深ふかく関連かんれんしている。 $K$ を二に次じ体たいとし、 $D$ をその判別はんべつ式しきとすると、

x 2 - Dy 2 = \pm4

の整数せいすう解かいに対たいして

(x + y \sqrt D)/2

全体ぜんたいは $K$ の単数たんすう全体ぜんたいと一致いっちする。特とくに最小さいしょう解かいを $(x 1, y 1)$ とおくと、

\alpha ={\frac {x_{1}+y_{1}{\sqrt {D}}}{2}},\beta ={\frac {x_{1}-y_{1}{\sqrt {D}}}{2}}

は $K$ の基本きほん単数たんすうとなり、この方程式ほうていしきの解かいについて、通常つうじょうのペル方程式ほうていしきの場合ばあいと類似るいじした公式こうしき

{\frac {x_{k}+y_{k}{\sqrt {D}}}{2}}=\left({\frac {x_{1}+y_{1}{\sqrt {D}}}{2}}\right)^{k}

が得えられる。

最小さいしょう解かいの一覧いちらん表ひょう

$x 2 - ny 2 = 1$ の、115 以下いかの $n$ についての最小さいしょう解かいの一覧いちらん表ひょうを、以下いかに示しめす。

n	x	y	n	x	y	n	x	y
2	3	2	42	13	2	79	80	9
3	2	1	43	3482	531	80	9	1
5	9	4	44	199	30	82	163	18
6	5	2	45	161	24	83	82	9
7	8	3	46	24335	3588	84	55	6
8	3	1	47	48	7	85	285769	30996
10	19	6	48	7	1	86	10405	1122
11	10	3	50	99	14	87	28	3
12	7	2	51	50	7	88	197	21
13	649	180	52	649	90	89	500001	53000
14	15	4	53	66249	9100	90	19	2
15	4	1	54	485	66	91	1574	165
17	33	8	55	89	12	92	1151	120
18	17	4	56	15	2	93	12151	1260
19	170	39	57	151	20	94	2143295	221064
20	9	2	58	19603	2574	95	39	4
21	55	12	59	530	69	96	49	5
22	197	42	60	31	4	97	62809633	6377352
23	24	5	61	1766319049	226153980	98	99	10
24	5	1	62	63	8	99	10	1
26	51	10	63	8	1	101	201	20
27	26	5	65	129	16	102	101	10
28	127	24	66	65	8	103	227528	22419
29	9801	1820	67	48842	5967	104	51	5
30	11	2	68	33	4	105	41	4
31	1520	273	69	7775	936	106	32080051	3115890
32	17	3	70	251	30	107	962	93
33	23	4	71	3480	413	108	1351	130
34	35	6	72	17	2	109	158070671986249	15140424455100
35	6	1	73	2281249	267000	110	21	2
37	73	12	74	3699	430	111	295	28
38	37	6	75	26	3	112	127	12
39	25	4	76	57799	6630	113	1204353	113296
40	19	3	77	351	40	114	1025	96
41	2049	320	78	53	6	115	1126	105

$x 2 - ny 2 = -1$ の、653 以下いかの $n$ についての最小さいしょう解かいの一覧いちらん表ひょうを、以下いかに示しめす。

n	ｘ	ｙ	n	ｘ	ｙ	n	ｘ	ｙ
2	1	1	193	1764132	126985	409	111921796968	5534176685
5	2	1	197	14	1	421	44042445696821418	2146497463530785
10	3	1	202	3141	221	425	268	13
13	18	5	218	251	17	433	7230660684	347483377
17	4	1	226	15	1	442	21	1
26	5	1	229	1710	113	445	4662	221
29	70	13	233	23156	1517	449	189471332	8941705
37	6	1	241	71011068	4574225	457	59089951584	2764111349
41	32	5	250	4443	281	458	107	5
50	7	1	257	16	1	461	24314110	1132421
53	182	25	265	6072	373	481	964140	43961
58	99	13	269	82	5	485	22	1
61	29718	3805	274	1407	85	493	683982	30805
65	8	1	277	8920484118	535979945	509	395727950	17540333
73	1068	125	281	1063532	63445	521	128377240	5624309
74	43	5	290	17	1	530	23	1
82	9	1	293	2482	145	533	6118	265
85	378	41	298	409557	23725	538	69051	2977
89	500	53	313	126862368	7170685	541	1361516316469227450	58536158470221581
97	5604	569	314	443	25	554	174293	7405
101	10	1	317	352618	19805	557	118	5
106	4005	389	325	18	1	565	14752278	620633
109	8890182	851525	337	1015827336	55335641	569	2894863832	121359005
113	776	73	338	239	13	577	24	1
122	11	1	346	93	5	586	4115086707	169992665
125	682	61	349	9210	493	593	600632	24665
130	57	5	353	71264	3793	601	139468303679532	5689030769845
137	1744	149	362	19	1	610	71847	2909
145	12	1	365	3458	181	613	481673579088618	19454612624065
149	113582	9305	370	327	17	617	41009716	1650989
157	4832118	385645	373	5118	265	626	25	1
170	13	1	389	1282	65	629	7850	313
173	1118	85	394	395023035	19900973	634	65999458125	2621173333
181	1111225770	82596761	397	20478302982	1027776565	641	36120833468	1426687145
185	68	5	401	20	1	653	2291286382	89664965

脚注きゃくちゅう

注ちゅう

^ $a | x$ は、 $a$ が $x$ を割わり切きる（即すなわち、 $a$ は $x$ の因数いんすうである）ことを表あらわす。 $k 2 + 2, k 2 + k (= k (k + 1)), k 2 + 2 k (= (k + 1) 2 - 1)$ は、全すべてこの形かたちに含ふくまれる。
^ $a = 12$ , $k = 30$ なら ${\sqrt {30^{2}+{\frac {60}{12}}}}={\sqrt {905}}=[30;12,60,12,60,\cdots ]$ である。周期しゅうきが 4, 6 のときの形かたちを示しめすこともできるが、かなり煩雑はんざつであり、周期しゅうきが偶数ぐうすう（又または奇数きすう）の場合ばあいの一般いっぱん形がたを示しめせなければ、情報じょうほうとしての価値かちが低ひくいので、周期しゅうき2の形かたちのみを示しめす。
^ この形かたちは、必要ひつよう条件じょうけん3で a = 2k とした場合ばあいに相当そうとうし、その平方根へいほうこんは ${\sqrt {k^{2}+1}}=[k;2k,2k,2k,\cdots ]$ と、周期しゅうき 1 の連分数れんぶんすうに展開てんかいされる。近似きんじ分数ぶんすうは、 $k / 1$ である。

出典しゅってん

^ "HIGHER DESCENT ON PELL CONICS."

参考さんこう文献ぶんけん

和田わだ秀男ひでお『数かずの世界せかい - 整数せいすう論ろんへの道みち』岩波書店いわなみしょてん、1981年ねん7月がつ10日とおか。
ジョセフ・H・シルヴァーマン著しる、鈴木すずき治郎じろう訳わけ『はじめての数かず論ろん原著げんちょ第だい3版はん発見はっけんと証明しょうめいの大だい航海こうかい――ピタゴラスの定理ていりから楕円だえん曲線きょくせんまで』ピアソン・エデュケーション、2007年ねん4月がつ25日にち。ISBN 978-4-89471-492-2。
- 第だい27章しょうどの数かずが平方へいほう数すう２ふたつの和わとなるのでしょう？（193–194頁ぺーじ）
- 第だい40章しょう連分数れんぶんすう，平方根へいほうこん，そしてペル方程式ほうていしき（327–341頁ぺーじ）
高木たかぎ貞治さだはる：「初等しょとう整数せいすう論ろん講義こうぎ」第だい２版はん，共立きょうりつ出版しゅっぱん (1971)。

外部がいぶリンク

『ペル方程式ほうていしきに関かんする基本きほん的てきな性質せいしつまとめ』 - 高校こうこう数学すうがくの美うつくしい物語ものがたり

この項目こうもくは、数かず論ろんに関連かんれんした書かきかけの項目こうもくです。この項目こうもくを加筆かひつ・訂正ていせいなどしてくださる協力きょうりょく者しゃを求もとめています（プロジェクト:数学すうがく／Portal:数学すうがく）。

[1] $a | x$ は、 $a$ が $x$ を割わり切きる（即すなわち、 $a$ は $x$ の因数いんすうである）ことを表あらわす。 $k 2 + 2, k 2 + k (= k (k + 1)), k 2 + 2 k (= (k + 1) 2 - 1)$ は、全すべてこの形かたちに含ふくまれる。

[2] $a = 12$ , $k = 30$ なら ${\sqrt {30^{2}+{\frac {60}{12}}}}={\sqrt {905}}=[30;12,60,12,60,\cdots ]$ である。周期しゅうきが 4, 6 のときの形かたちを示しめすこともできるが、かなり煩雑はんざつであり、周期しゅうきが偶数ぐうすう（又または奇数きすう）の場合ばあいの一般いっぱん形がたを示しめせなければ、情報じょうほうとしての価値かちが低ひくいので、周期しゅうき2の形かたちのみを示しめす。

[4] この形かたちは、必要ひつよう条件じょうけん3で a = 2k とした場合ばあいに相当そうとうし、その平方根へいほうこんは ${\sqrt {k^{2}+1}}=[k;2k,2k,2k,\cdots ]$ と、周期しゅうき 1 の連分数れんぶんすうに展開てんかいされる。近似きんじ分数ぶんすうは、 $k / 1$ である。

[HIGHER_DESCENT_ON_PELL_CONICS.-3] "HIGHER DESCENT ON PELL CONICS."

[注ちゅう 1]

[注ちゅう 2]

[1]

[注ちゅう 3]