中央ちゅうおう値ち

中央ちゅうおう値ち（ちゅうおうち、英えい: median）あるいはメジアン、メディアンとは、データや集合しゅうごうの代表だいひょう値ちの一ひとつで、順位じゅんいが中央ちゅうおうである値ねのことである。ただし、データの大おおきさが偶数ぐうすうの場合ばあいは、中央ちゅうおう順位じゅんい2個この値ねの算術さんじゅつ平均へいきんをとる。

例たとえば5人にんの年齢ねんれい10歳さい、32歳さい、96歳さい、100歳さい、105歳さいからなるデータの中央ちゅうおう値ちは、順位じゅんいが上うえからも下したからも3である96（歳とし）となる。0歳さいの子供こどもが2人にん増ふえて7人にんになると、中央ちゅうおう値ちは32歳さいとなる。

平均へいきん値ちとの関係かんけい

最さい頻しき値ね・中央ちゅうおう値ち・平均へいきん値ちの図示ずし

中央ちゅうおう値ちは平均へいきん値ちと同様どうように集団しゅうだんの代表だいひょう値ちを得える目的もくてきで使つかう。例たとえば年収ねんしゅうからなるデータの場合ばあいを考かんがえてみると分わかりやすい。

一部いちぶの富裕ふゆう層そうが平均へいきん年収ねんしゅうをつり上あげてしまう例れいを考かんがえる。人口じんこう100人にんの集落しゅうらくで、90人にんが年収ねんしゅう200万まん円えんだとしても、10人にんが年収ねんしゅう5000万まん円えんであれば平均へいきん年収ねんしゅうは680万まん円えんとなる。

一方いっぽう中央ちゅうおう値ちは、年収ねんしゅうが低ひくい順じゅん（高たかい順じゅん）に国民こくみんを並ならべたときに丁度ちょうど真まん中なかになる人ひとの年収ねんしゅうを表あらわしている。この場合ばあい、中央ちゅうおう値ちはあいかわらず200万まん円えんであり、一部いちぶの富裕ふゆう層そうの年収ねんしゅうが中央ちゅうおう値ちに与あたえる影響えいきょうはゼロになる。

例たとえば一人ひとりの億おく万まん長者ちょうじゃが小ちいさな町まちに引ひっ越こしてくれば平均へいきん年収ねんしゅうはつり上あがってしまうが、年収ねんしゅうの中央ちゅうおう値ちはたかだか一いち順位じゅんい分ぶん変かわるに過すぎない。

厳密げんみつな定義ていぎ

実み確かく率りつ変数へんすう $X$ の累積るいせき分布ぶんぷ関数かんすうを $F (x)$ とするとき、 $F (x)$ は実じつ数値すうち非ひ単調たんちょう減少げんしょう関数かんすう、右みぎ連続れんぞく関数かんすうとなる。この時とき、次つぎの不等式ふとうしきを満みたす実数じっすう $m$ を中央ちゅうおう値ち（メディアン）と呼よぶ。

\int _{-\infty }^{m}\mathrm {d} F(x)\geq {\frac {1}{2}}{\text{ and }}\int _{m}^{\infty }\mathrm {d} F(x)\geq {\frac {1}{2}}\,\!

ただし、積分せきぶん記号きごうはリーマン＝スティルチェス積分せきぶんの意味いみである。

データの大おおきさが有限ゆうげん値ち（ $n$ とする）である場合ばあいは、以下いかのように簡単かんたんに記述きじゅつすることができる。（ただし、同一どういつの順位じゅんいが無ないと仮定かていする。）

データの値ねを $x 1, x 2, \dots, x n$ とする。それらを小ちいさい順じゅんに並ならべ替かえたものを $x' 1, x' 2, \dots, x' n$ とするとき、 ${\boldsymbol {x}}=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$ の中央ちゅうおう値ち $\mathrm {Q} _{\frac {1}{2}}(x)$ は

{\displaystyle \mathrm {Q} _{\frac {1}{2}}(x)={\begin{cases}x'_{\frac {n+1}{2}}&n{\text{ は

により定義ていぎされる。なお、単純たんじゅんに $\mathrm {Q} _{\frac {1}{2}}(x)=x_{\frac {n}{2}}$ とならないのは、 $x$ の添字そえじが $0, \dots, n$ ではなく $1, \dots, n$ だからである。

中央ちゅうおう値ちは平均へいきん絶対ぜったい誤差ごさ（英語えいご版ばん） (mean absolute error, MAE)

\operatorname {MAE} (t)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-t|

を最小さいしょうにする性質せいしつをもっている（ただし、そうなる値ねは一意いちいではない）。データの大おおきさが偶数ぐうすうのときは、その値ね $t$ は一意いちいには定さだまらないが便宜上べんぎじょう、上うえで述のべた定義ていぎを採用さいようする。

平均へいきん値ちとの関係かんけい（数式すうしき的てきなもの）

分布ぶんぷが対称たいしょうであるデータに対たいしては、中央ちゅうおう値ちは平均へいきん値ちに等ひとしい。ただし、分布ぶんぷが対称たいしょうでなくても、中央ちゅうおう値ちと平均へいきん値ちが等ひとしくなることもある。
以下いかの性質せいしつにより、平均へいきん値ちよりも、全体ぜんたいの傾向けいこうを表あらわす代表だいひょう値ちとして適切てきせつである場合ばあいが多おおい。
- 平均へいきん値ちは、測定そくていミスなどによって発生はっせいする外はずれ値ち（他たの値ねより著いちじるしく異ことなる値ね）に大おおきく影響えいきょうされ、誤差ごさが大おおきくなったり、無意味むいみな値ねとなることがある。そのため、刈かり込こみ、ロバスト統計とうけいなどの対策たいさくが必要ひつようになる。しかし、中央ちゅうおう値ちは外はずれ値ちにほとんど影響えいきょうされないので、対策たいさくは不要ふようである。
- たとえばデータが正せい値ねのみといったように限定げんていされている場合ばあい、そうでない場合ばあいと比くらべて分布ぶんぷはより非対称ひたいしょうになりやすく、少数しょうすうの大おおきな値ねに引ひきずられて平均へいきん値ちは大だい多数たすうの分布ぶんぷより大おおきくずれることがある。しかし、中央ちゅうおう値ちではそういった影響えいきょうはほとんどない。
- $\pm \infty$ を含ふくむデータに対たいしても中央ちゅうおう値ちは有限ゆうげんとなることがある。（平均へいきん値ちは、必かならず無限むげんまたは不定ふていとなる）
- 分布ぶんぷの谷たにに位置いちするようなケースが、平均へいきん値ちに比くらべて少すくない。（平均へいきん値ちは、2峰みね分布ぶんぷに対たいししばしば谷たにに位置いちする）
中央ちゅうおう値ちを求もとめるには、線形せんけい汎用はんよう選択せんたくアルゴリズムを使つかうと $\mathrm {O} (n)$ の計算けいさん量りょうで求もとめられる（平均へいきん値ちも $\mathrm {O} (n)$ ）。逐次ちくじデータが得えられる場合ばあいは全すべてのデータを保持ほじしておく必要ひつようがあり、 $\mathrm {O} (n)$ のメモリを要ようする（平均へいきん値ちは $\mathrm {O} (1)$ ）。
代表だいひょう値ちとして平均へいきん値ちを使つかうときは、分布ぶんぷの広ひろがりは分散ぶんさんまたは標準ひょうじゅん偏差へんさで表あらわすことが多おおい。それに対たいし、代表だいひょう値ちとして中央ちゅうおう値ちを使つかうときは、分布ぶんぷの広ひろがりは第だい3四よん分ふん位い点てんと第だい1四よん分ふん位い点てんの差さである四よん分ふん位い範囲はんい（英えい: interquartile range, IQR）で表あらわすことが多おおい。