内積ないせき

線型せんけい代数だいすう学がくにおける内積ないせき（ないせき、英えい: inner product）は、（実みまたは複素ふくそ）ベクトル空間くうかん上うえで定義ていぎされる非ひ退化たいかかつ正せい定値ていちのエルミート半双はんそう線型せんけい形式けいしき（実じつ係数けいすうの場合ばあいには対称たいしょう双そう線型せんけい形式けいしき）のことである。二ふたつのベクトルに対たいしてある数かず（スカラー）を定さだめる二に項こう演算えんざんであるためスカラー積せき（スカラーせき、英えい: scalar product）ともいう。内積ないせきを備そなえるベクトル空間くうかんは内積ないせき空間くうかんと呼よばれ、内積ないせきの定さだめる計量けいりょうを持もつ幾何きか学がく的てきな空間くうかんとみなされる。エルミート半双はんそう線型せんけい形式けいしきの意味いみでの内積ないせきはしばしば、エルミート内積ないせきまたはユニタリ内積ないせきと呼よばれる。

定義ていぎ

「半双はんそう線型せんけい形式けいしき」も参照さんしょう

複素数ふくそすう体からだ $ℂ$ 上うえのベクトル空間くうかん $V$ 上うえで定義ていぎされた二に変数へんすうの写像しゃぞう $⟨, ⟩ : V \times V \to ℂ$ が内積ないせきあるいはエルミート内積ないせきであるとは、 $x, y, z \in V$ および $λ らむだ \in ℂ$ を任意にんいとして

第だい一変いっぺん数すうに関かんする線型せんけい性せい: $⟨ λ らむだ x + y, z ⟩ = λ らむだ ⟨ x, z ⟩ + ⟨ y, z ⟩$ ;
第だい二に変数へんすうに関かんする共軛きょうやく線型せんけい性せい（英語えいご版ばん）: $⟨ x, λ らむだ y + z ⟩ = λ らむだ ⟨ x, y ⟩ + ⟨ x, z ⟩$ ;
エルミート対称たいしょう性せい: $⟨ x, y ⟩ = ⟨ y, x ⟩$ ;
非ひ退化たいか性せい: $V$ の元もと $x$ に対たいして $⟨ x, x ⟩ = 0$ ならば $x = 0$ ;
半はん正せい定値ていち性せい: $V$ の任意にんいの元もと $x$ に対たいして $⟨ x, x ⟩ \geq 0$

を満みたすことを言いう（ここで上うえ付つきのバー $•$ は複素ふくそ共役きょうやくを表あらわす）。すなわち、複素ふくそベクトル空間くうかん上じょうの内積ないせきは非ひ退化たいか正せい定値ていちのエルミート形式けいしきである^{[注釈ちゅうしゃく 1]}。

実じつベクトル空間くうかんの場合ばあいも同様どうようで、実じつベクトル空間くうかん $V$ 上うえの二に変数へんすうの写像しゃぞう $⟨, ⟩ : V \times V \to ℝ$ が内積ないせきであるとは、それが非ひ退化たいか正せい定値ていちの対称たいしょう双そう線型せんけい形式けいしきであるときに言いう^{[注釈ちゅうしゃく 2]}。

場合ばあいによっては、非負ひふの「半はん定値ていち」半双はんそう線型せんけい形式けいしきを考かんがえる必要ひつようがあることがある。つまり、 $⟨ x, x ⟩$ は非負ひふであることのみが要求ようきゅうされ、非ひ退化たいかでないものも考かんがえるということである（後述こうじゅつ）。

基本きほん性質せいしつ

エルミート対称たいしょう性せいに注意ちゅういすれば、任意にんいの $x$ に対たいして $\langle x,x\rangle ={\overline {\langle x,x\rangle }}$ ゆえ、これは実じつ数値すうちである。さらに半双はんそう線型せんけい性せいにより $\langle -x,x\rangle =-1\langle x,x\rangle ={\overline {-1}}\langle x,x\rangle =\langle x,-x\rangle$ が成なり立たつ。

線型せんけい性せいにより、「 $x = 0$ ならば $⟨ x, x ⟩ = 0$ 」が成なり立たち、また非ひ退化たいか性せいはその逆ぎゃく「 $⟨ x, x ⟩ = 0$ ならば $x = 0$ 」を言いうものであるから、これらを合あわせて、 $⟨ x, x ⟩ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ を得える。

内積ないせきの半双はんそう線型せんけい性せいを用もちいれば、平方へいほう展開てんかい $\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\langle x,x\rangle +2\Re \langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle$ が成なり立たち、特とくに係数けいすう体たいが $ℝ$ の場合ばあいには内積ないせきは対称たいしょうだから、 $\langle x\pm y,x\pm y\rangle =\langle x,x\rangle \pm 2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle$ を得える。また線型せんけい性せいにおいてスカラーについて特とくに考かんがえないとき ${\begin{aligned}\langle x+y,z\rangle &=\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle ,\\\langle x,y+z\rangle &=\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle \end{aligned}}$ が成なり立たつが、これは分配ぶんぱい性せいあるいは加法かほう性せい（双そう加法かほう性せい）とも呼よばれる。

例れい

様々さまざまな空間くうかんに複数ふくすう通どおりの内積ないせきが定義ていぎできる。一覧いちらん表ひょうで概要がいようを、各かく節ふしで詳細しょうさいを説明せつめいする。

具体ぐたい的てきな内積ないせき
ベクトル空間くうかん	内積ないせき関数かんすう	notes
$ℝ n$	${\boldsymbol {x}}^{\top }{\boldsymbol {y}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$	別名べつめい: 標準ひょうじゅん内積ないせき
$ℝ n$	${\boldsymbol {x}}^{\top }A{\boldsymbol {y}}$	$A$ は正せい定値ていち対称たいしょう行列ぎょうれつ $\langle x,y\rangle _{A}$ とも表記ひょうき
$ℂ n$	${\bar {x}}^{\top }y=\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{i}y_{i}$
$ℂ n$	${\bar {x}}^{\top }Hy$	$H$ は正せい定値ていちエルミート $\langle x,y\rangle _{H}$ とも表記ひょうき
$S n \times n$	$\operatorname {Tr} (XY)$
$L 2 (Ω おめが)$	$\int _{\Omega }f{\bar {g}}\,d\mu$

実み $n$ 次元じげんベクトル空間くうかん $ℝ n$: 実み $n$ -次元じげん数かずベクトル空間くうかん $ℝ n$ において、任意にんいの二に元げん $x = (x 1, x 2, \dots, x n), y = (y 1, y 2, \dots, y n)$ に対たいし、 $\langle x,y\rangle :=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$ とすると、この $⟨, ⟩$ は（正せい定値ていちな）内積ないせきの性質せいしつを満みたす。これを、 $ℝ n$ の標準ひょうじゅん内積ないせきと呼よぶ。標準ひょうじゅん内積ないせきは $ℝ n$ を $n$ 行くだり1列れつの行列ぎょうれつと同一どういつ視しすることで、転置てんち $⊤$ と行列ぎょうれつ積せきを用もちいて $\langle x,y\rangle =x^{\top }y$ と表あらわせる。また、 $n$ 次つぎの（正せい定値ていち）対称たいしょう行列ぎょうれつ $A$ を用もちいて $\langle x,y\rangle _{A}:=x^{\top }Ay$ とおくと、これも（正せい定値ていち）内積ないせきの性質せいしつを満みたす。
複素ふくそ $n$ 次元じげんベクトル空間くうかん $ℂ n$: 複素ふくそ $n$ -次元じげん数すうベクトル空間くうかん $ℂ n$ において、任意にんいの二に元げん $x = (x 1, x 2, \dots, x n), y = (y 1, y 2, \dots, y n)$ に対たいし、 $\langle x,y\rangle :=x^{\top }{\bar {y}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bar {y}}_{i}$ とすると、この $⟨, ⟩$ はエルミート内積ないせきの性質せいしつを満みたす。また、 $n$ 次つぎの（正せい定値ていち）エルミート行列ぎょうれつ $H$ を用もちいて $\langle x,y\rangle _{A}:=x^{\top }H{\bar {y}}$ とおくと、これも（正せい定値ていち）エルミート内積ないせきの性質せいしつを満みたす。
対称たいしょう行列ぎょうれつの空間くうかん $S n \times n$: $n$ 次つぎ対称たいしょう行列ぎょうれつの空間くうかん $S n \times n$ について、 $X, Y \in S n \times n$ に対たいして $\langle X,Y\rangle :=\operatorname {Tr} (XY)$ と取とると、これは内積ないせきを与あたえる。
L²空間くうかん $L 2 (Ω おめが)$: $Ω おめが$ をユークリッド空間くうかんの開ひらき集合しゅうごうとする。 $Ω おめが$ 上うえの二乗にじょう可か積分せきぶんな関数かんすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうを関数かんすうがほとんど至いたる所ところ等ひとしい（測度そくど零れいの集合しゅうごう上じょうでとる値ねを除のぞいて等ひとしい）という同値どうち関係かんけいで割わって得えられるルベーグ空間くうかん $L 2 (Ω おめが)$ には、二乗にじょう可か積分せきぶん関数かんすう $f, g$ について $\langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}\,dx$ と置おいて、エルミート内積ないせきが定さだまる。より一般いっぱんに、 $(Ω おめが, F, μ みゅー)$ を測度そくど空間くうかんとすると、 $L 2 (Ω おめが, μ みゅー)$ の二に元げん $f, g$ について $\langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f{\bar {g}}\,d\mu$ と置おいたものはエルミート内積ないせきの性質せいしつを満みたす。

内積ないせきの幾何きか学がく性せい

一ひとつのベクトル空間くうかんに定義ていぎされる内積ないせきは一ひとつとは限かぎらない。また、ある内積ないせき $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ に対たいして $\lVert x\rVert :={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ と定さだめると、1 つのノルム $‖ \cdot ‖$ が定義ていぎできる。これを内積ないせきが誘導ゆうどうするノルムまたは内積ないせきが定さだめるノルムと呼よぶ。ノルムは与あたえられた内積ないせきではかった "ベクトルの大おおきさ" であり、 $\cos \theta ={\frac {\langle a,b\rangle }{\lVert a\rVert \lVert b\rVert }}$ とおくことで、二ふたつのベクトルのなす角かくが定さだめられる。この意味いみで内積ないせきはベクトル空間くうかんに計量けいりょう (metric) を定さだめるという。

このように定義ていぎされたノルムは必かならず中ちゅう線せん定理ていり $\lVert x+y\rVert ^{2}+\lVert x-y\rVert ^{2}=2(\lVert x\rVert ^{2}+\lVert y\rVert ^{2})$ を満みたすという意味いみで、この等式とうしきは幾何きか学がく的てきな性質せいしつを示しめすものと捉とらえられる。逆ぎゃくに与あたえられたノルムが内積ないせきから誘導ゆうどうされるものであるならば、（実数じっすう体たい $ℝ$ 上うえの内積ないせき空間くうかんのとき） $\langle x,y\rangle :={\frac {1}{4}}(\lVert x+y\rVert ^{2}-\lVert x-y\rVert ^{2})\qquad (\forall x,y)$ または（複素数ふくそすう体たい $ℂ$ 上うえの内積ないせき空間くうかんのとき） $\langle x,y\rangle :={\frac {1}{4}}((\lVert x+y\rVert ^{2}-\lVert x-y\rVert ^{2})+i(\lVert x+iy\rVert ^{2}-\lVert x-iy\rVert ^{2}))\qquad (i={\sqrt {-1}},\,\forall x,y)$ で定さだめられる函数かんすう $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ は内積ないせきの性質せいしつを満みたし、所期しょきの通とおり与あたえられたノルムはこの内積ないせきから誘導ゆうどうされる。この関係かんけい式しきを分極ぶんきょく恒等こうとう式しきまたは偏へん極ごく恒等こうとう式しきという。

このように、内積ないせきはベクトル空間くうかんの代数だいすう的てきな性質せいしつと幾何きか的てきな性質せいしつの橋渡はしわたしをするものである。詳細しょうさいについては計量けいりょうベクトル空間くうかんの項こうを参照さんしょうされたい。

一般いっぱん化か

内積ないせきの公理こうりを適当てきとうに弱よわめることにより、内積ないせきを一般いっぱん化かする概念がいねんを考かんがえることができる。

退化たいか内積ないせき（半はん内積ないせき）

内積ないせきと最もっとも関連かんれん性せいの高たかい一般いっぱん化かは、双そう線型せんけい性せいや共軛きょうやく対称たいしょう性せいはそのままに、正せい定値ていち性せいに関かんする要請ようせいを弱よわめるものである。ベクトル空間くうかん $V$ とその上うえの半はん正せい定値ていち半双はんそう線型せんけい形式けいしき $⟨, ⟩$ に対たいして、写像しゃぞう $\lVert x\rVert ={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ は意味いみを持もち、 $‖ x ‖ = 0$ が $x = 0$ を導みちびかないこと以外いがいはノルムの性質せいしつをすべて満足まんぞくする（このような汎ひろし函数かんすうは半はんノルムと呼よばれる）。商しょう線型せんけい空間くうかん $W = V /{x : ‖ x ‖ = 0}$ を考かんがえると、半双はんそう線型せんけい形式けいしき $⟨, ⟩$ は $W$ 上うえの内積ないせきを誘導ゆうどうする。

このような内積ないせき空間くうかんの構成こうせい法ほうは様々さまざまな場面ばめんで用もちいられ、特とくに重要じゅうような例れいはゲルファント＝ナイマルク＝シーガル構成こうせい法ほうである。ほかにも任意にんいの集合しゅうごう上じょうの半はん正せい定値ていち核かく函数かんすう（英語えいご版ばん）の表現ひょうげんなどが例れいに挙あげられる。

非ひ退化たいか共軛きょうやく対称たいしょう形式けいしき（不ふ定値ていち内積ないせき）

詳細しょうさいは「擬なずらえユークリッド空間くうかん（英語えいご版ばん）」を参照さんしょう

別べつな方向ほうこうでの一般いっぱん化かは、（正せい定値ていち性せいを落おとして）対たい付つける写像しゃぞうが単たんに非ひ退化たいか双そう線型せんけい形式けいしきであるようにするものである。これは各かく非ひ零れい元げん $x$ は適当てきとうな $y$ を取とって $⟨ x, y ⟩ \neq 0$ とすることが（ $y = x$ でなくてもいいから）できるということであり、即すなわち双対そうつい空間くうかんに引ひき起おこされる写像しゃぞう $V \to V*$ が単たん射しゃということである。この一般いっぱん化かは微分びぶん幾何きか学がくで重要じゅうようである。リーマン多様たよう体たいは各かく接せっ空間くうかんが内積ないせきを持もつ多様たよう体たいであるが、これを弱よわめて非ひ退化たいか共軛きょうやく対称たいしょう形式けいしきを持もつ場合ばあいを考かんがえたものは擬なずらえリーマン多様たよう体たいである。シルベスターの慣性かんせい法則ほうそくによれば、任意にんいの内積ないせきがベクトルの集合しゅうごう上じょうの正せい値ね荷重かじゅうを持もつ点てん乗じょう積せきに相似そうじであるのと同様どうように、任意にんいの非ひ退化たいか共軛きょうやく対称たいしょう形式けいしきはベクトルの集合しゅうごう上じょうの非ひ零れい荷重かじゅうを持もつ点てん乗じょう積せきに相似そうじになり、またこのとき正ただしおよび負まけの荷重かじゅうの個数こすうはそれぞれ正ただしおよび負まけの指数しすうと呼よばれる。ミンコフスキー空間くうかんにおけるベクトルの積せきは「不ふ定値ていち内積ないせき」の例れいだが、技術ぎじゅつ的てきない方いかたをすれば、これは上うえで述のべた標準ひょうじゅん的てきな定義ていぎに従したがう「内積ないせき」ではない。ミンコフスキー空間くうかんは実み四よん次元じげんで、各かく符号ふごう ( $\pm$ ) の指数しすうは 3 および 1 （符号ふごう数すう $(3,1)$ }）である。

（正せい定値ていち性せいに触ふれない）純じゅん代数だいすう的てきな主張しゅちょうはふつう非ひ退化たいか性せい（単たん射い準じゅん同型どうけい $V \to V*$ ) のみに依存いぞんして決きまり、ゆえにより一般いっぱんの状況じょうきょうにおいても成立せいりつする。

脚注きゃくちゅう

[脚注きゃくちゅうの使つかい方かた]

注釈ちゅうしゃく

^ エルミート対称たいしょう性せいのもと、第だい一変いっぺん数すうに関かんする線型せんけい性せいは第だい二に変数へんすうに関かんする共軛きょうやく線型せんけい性せいから出でる。同様どうように、第だい二に変数へんすうに関かんする共軛きょうやく線型せんけい性せいは第だい一変いっぺん数すうの線型せんけい性せいから出でる。
^ 注意ちゅうい 文献ぶんけんによっては、エルミート内積ないせきおよび半双はんそう線型せんけい形式けいしきは第だい二に引数ひきすうに関かんして線型せんけい、従したがって第だい一いち引数ひきすうに関かんして共軛きょうやく線型せんけいとするもの（特とくに物理ぶつり学がくや行列ぎょうれつ環たまきに関かんするもの）と、それとは逆ぎゃくに第だい一いち引数ひきすうに関かんして線型せんけい、第だい二に引数ひきすうに関かんして共軛きょうやく線型せんけいとするものがある。前者ぜんしゃの分野ぶんやにおいては、上記じょうきの内積ないせき $⟨ x, y ⟩$ を（量子力学りょうしりきがくにおけるブラケット記法きほうで） $⟨ y | x ⟩$ と書かいたり、（点てん乗じょう積せきを行くだりベクトル $A$ と列れつベクトル $B$ との行列ぎょうれつの積せき $AB$ と見みて） $y † x$ などと書かくことも多おおい。ここでは、ケットベクトルと列れつベクトルはベクトル空間くうかん $V$ に属ぞくするベクトルと同一どういつ視しされ、ブラベクトルと行くだりベクトルは双対そうつい空間くうかん $V*$ に属ぞくする双対そうついベクトル（つまり線型せんけい汎ひろし函数かんすう）と同一どういつ視しされ、複素ふくそ共軛きょうやくは双対そうつい性せいと関連付かんれんづけられる。また現在げんざいではより抽象ちゅうしょう的てきな文脈ぶんみゃくにおいてもこの $⟨ x, y ⟩$ が（ $y$ に関かんしてではなく） $x$ に関かんして共軛きょうやく線型せんけいとする定義ていぎを採用さいようするものが時折ときおりみられる^[1]。また、いくつかの文献ぶんけんで妥協だきょう点てんとして $⟨, ⟩$ と $⟨ | ⟩$ を両方りょうほう使つかい、それぞれどちらの引数ひきすうに関かんして共軛きょうやく線型せんけいなのかを区別くべつするものとして扱あつかうものがある。

出典しゅってん

^ Emch, Gerard G. (1972). Algebraic methods in statistical mechanics and quantum field theory. New York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-23900-0

参考さんこう文献ぶんけん

外部がいぶリンク

『内積ないせき』 - コトバンク
『ベクトルの内積ないせきの性質せいしつと公式こうしき』 - 高校こうこう数学すうがくの美うつくしい物語ものがたり
『ベクトルの内積ないせきと外積がいせきの意味いみと嬉うれしさ』 - 高校こうこう数学すうがくの美うつくしい物語ものがたり
Renze, John; Stover, Christopher; Weisstein, Eric W. "Inner Product". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
Rowland, Todd. "Hermitian Inner Product". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
inner product - PlanetMath.（英語えいご）
Definition:Inner Product at ProofWiki

[1] エルミート対称たいしょう性せいのもと、第だい一変いっぺん数すうに関かんする線型せんけい性せいは第だい二に変数へんすうに関かんする共軛きょうやく線型せんけい性せいから出でる。同様どうように、第だい二に変数へんすうに関かんする共軛きょうやく線型せんけい性せいは第だい一変いっぺん数すうの線型せんけい性せいから出でる。

[3] 注意ちゅうい 文献ぶんけんによっては、エルミート内積ないせきおよび半双はんそう線型せんけい形式けいしきは第だい二に引数ひきすうに関かんして線型せんけい、従したがって第だい一いち引数ひきすうに関かんして共軛きょうやく線型せんけいとするもの（特とくに物理ぶつり学がくや行列ぎょうれつ環たまきに関かんするもの）と、それとは逆ぎゃくに第だい一いち引数ひきすうに関かんして線型せんけい、第だい二に引数ひきすうに関かんして共軛きょうやく線型せんけいとするものがある。前者ぜんしゃの分野ぶんやにおいては、上記じょうきの内積ないせき $⟨ x, y ⟩$ を（量子力学りょうしりきがくにおけるブラケット記法きほうで） $⟨ y | x ⟩$ と書かいたり、（点てん乗じょう積せきを行くだりベクトル $A$ と列れつベクトル $B$ との行列ぎょうれつの積せき $AB$ と見みて） $y † x$ などと書かくことも多おおい。ここでは、ケットベクトルと列れつベクトルはベクトル空間くうかん $V$ に属ぞくするベクトルと同一どういつ視しされ、ブラベクトルと行くだりベクトルは双対そうつい空間くうかん $V*$ に属ぞくする双対そうついベクトル（つまり線型せんけい汎ひろし函数かんすう）と同一どういつ視しされ、複素ふくそ共軛きょうやくは双対そうつい性せいと関連付かんれんづけられる。また現在げんざいではより抽象ちゅうしょう的てきな文脈ぶんみゃくにおいてもこの $⟨ x, y ⟩$ が（ $y$ に関かんしてではなく） $x$ に関かんして共軛きょうやく線型せんけいとする定義ていぎを採用さいようするものが時折ときおりみられる^[1]。また、いくつかの文献ぶんけんで妥協だきょう点てんとして $⟨, ⟩$ と $⟨ | ⟩$ を両方りょうほう使つかい、それぞれどちらの引数ひきすうに関かんして共軛きょうやく線型せんけいなのかを区別くべつするものとして扱あつかうものがある。

[2] Emch, Gerard G. (1972). Algebraic methods in statistical mechanics and quantum field theory. New York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-23900-0

[注釈ちゅうしゃく 1]

[注釈ちゅうしゃく 2]

[1]