冪べき零れい元げん

数学すうがくにおいて、環たまき R の元もと x はある正せいの整数せいすう n が存在そんざいして xⁿ = 0 となるときに冪べき零れい元げん（べきれいげん、英えい: nilpotent element）という。

冪べき零れい (nilpotent) という言葉ことばは、ベンジャミン・パースによって、多元たげん環たまきの元もとのある冪べきが 0 になるという文脈ぶんみゃくで1870年ねん頃ごろに導入どうにゅうされた^[1]。

例れい

この定義ていぎは特とくに正方まさかた行列ぎょうれつに対たいして適用てきようすることができる。行列ぎょうれつ

A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}

は A³ = 0 なのでベキ零れいである。より多おおくの情報じょうほうは冪べき零れい行列ぎょうれつを見みよ。

剰余じょうよ環たまき Z/9Z において、3 の同値どうち類るいは冪べき零れいである、なぜならば 3² は 9 を法ほうとして 0 と合同ごうどうだからである。

（非ひ可か換かわ）環たまき R の二に元げん a, b が ab = 0 を満みたすとする。このとき元もと c = ba は c² = (ba)² = b(ab)a = 0 なので冪べき零れいである。行列ぎょうれつでの例れいは（a, b に対たいして）

A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.

このとき AB = 0, BA = B である。

分解ぶんかい型がた四よん元げん数すう（英語えいご版ばん）の環たまきは冪べき零れい元げんの錐きりを含ふくむ。

性質せいしつ

（唯一ゆいいつの元もと 0 = 1 をもつ零れい環たまき {0} を除のぞいて）冪べき零れい元げんは決けっして単元たんげんではない。すべての 0 でない冪べき零れい元げんは零れい因子いんしである。

体からだ係数けいすうの n 次じ正方せいほう行列ぎょうれつ A が冪べき零れいであることとその固有こゆう多項式たこうしきが tⁿ であることは同値どうちである。

x が冪べき零れいであれば、1 − x は単元たんげんである、なぜならば xⁿ = 0 によって

(1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.\

であるからだ。より一般いっぱんに、単元たんげん u とベキ零れい元げん x の和わ u + x はそれらが交換こうかんする（すなわち ux = xu である）ときには冪べき零れいである。

可か換かわ環たまき

可か換かわ環たまき $R$ のベキ零れい元げん全体ぜんたいはイデアル ${\mathfrak {N}}$ をなす。これは二に項こう定理ていりの結果けっかである。このイデアルは環たまきの冪べき零れい根基こんきである。可か換かわ環たまきのすべての冪べき零れい元げん $x$ はその環たまきのすべての素すイデアル ${\mathfrak {p}}$ に含ふくまれる、なぜならば $x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}$ だからだ。したがって ${\mathfrak {N}}$ はすべての素すイデアルの共通きょうつう部分ぶぶんに含ふくまれる。

$x$ が冪べき零れいでなければ、 $x$ の冪べきによって局所きょくしょ化かすることができる。つまり、 $S=\{1,x,x^{2},...\}$ によって局所きょくしょ化かして零れいでない環たまき $S^{-1}R$ を得える。この局所きょくしょ化か環たまきの素すイデアルはちょうど ${\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset$ であるような素すイデアル ${\mathfrak {p}}$ と対応たいおうする ^[2]。すべての零れいでない可か換かわ環たまきは極大きょくだいイデアルをもちそれは素もとイデアルでもあるので、どの冪べき零れいでない $x$ もある素もとイデアルに含ふくまれない。したがって ${\mathfrak {N}}$ はちょうどすべての素すイデアルの共通きょうつう部分ぶぶんである^[3]。

ジャコブソン根基こんきと単純たんじゅん加か群ぐんの零れい化か (annihilation) の特徴とくちょうづけに似にた特徴とくちょうづけが冪べき零れい根基こんきに対たいしてもできる。環たまき R の冪べき零れい元げんはちょうど環たまき R に internal なすべての整せい域いき（すなわち素すイデアル I に対たいして R/I の形かたちのもの）を零れい化かする元もとである。このことは冪べき零れい根基こんきはすべての素すイデアルの共通きょうつう部分ぶぶんであるという事実じじつから従したがう。

リー環たまきの冪べき零れい元げん

${\mathfrak {g}}$ をリー環たまきとする。このとき ${\mathfrak {g}}$ の元もとは $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ に入はいっていて $\operatorname {ad} x$ が冪べき零れい変換へんかんであるときに冪べき零れいであるという。リー環たまきにおけるジョルダン分解ぶんかい（英語えいご版ばん）も参照さんしょうせよ。

物理ぶつり学がくにおける冪べき零れい性せい

Q² = 0 を満みたすオペランド Q は冪べき零れいである。フェルミオンの場ばの経路けいろ積分せきぶん表現ひょうげんを許ゆるすグラスマン数すうは、その平方へいほうが消きえるので、冪べき零れいである。BRST 電荷でんか（英語えいご版ばん）は物理ぶつり学がくにおける重要じゅうような例れいである。線型せんけい演算えんざん子こは結合けつごう多元たげん環たまき従したがって環たまきをなすので、これは初はじめの定義ていぎの特別とくべつな場合ばあいである^[4]^[5]。より一般いっぱんに、上記じょうきの定義ていぎの観点かんてんから、演算えんざん子こ Q は n∈N が存在そんざいして Qⁿ = 0 （零れい写像しゃぞう）であるときに冪べき零れいである。したがって、線型せんけい写像しゃぞうが冪べき零れいであることとそれがある基底きていで冪べき零れい行列ぎょうれつをもつことは同値どうちである。これの別べつの例れいは外そと微分びぶんである（再ふたたび n = 2 である）。エドワード・ウィッテンによって有名ゆうめいな論文ろんぶんで示しめされているように^[6]、超ちょう対称たいしょう性せいとモース理論りろんも通とおして^[7]、両者りょうしゃは繋つながっている。

ソースのない平面へいめん波はの電磁場でんじばは、物理ぶつり的てき空間くうかんの代数だいすう学がく（英語えいご版ばん）の言葉ことばで表現ひょうげんされるとき、冪べき零れいである^[8]。

代数だいすう的てき冪べき零れい元げん

2次元じげんの二に重じゅう数すうは冪べき零れい空間くうかんを含ふくむ。冪べき零れい空間くうかんを含ふくむ多元たげん環たまきや数かずとしては他たに分解ぶんかい型がた四よん元げん数すう（英語えいご版ばん） (coquaternions)、分解ぶんかい型がた八はち元げん数すう、双そう四よん元げん数すう（英語えいご版ばん） $\mathbb {C} \otimes \mathbb {H}$ 、そして複素ふくそ八はち元げん数すう $\mathbb {C} \otimes \mathbb {O}$ がある。

参考さんこう文献ぶんけん

^ Polcino & Sehgal (2002). "§3.1 A Brief History". An Introduction to Group Rings. p. 127.
^ Matsumura, Hideyuki (1970). “Chapter 1: Elementary Results”. Commutative Algebra. W. A. Benjamin. pp. 6. ISBN 978-0-805-37025-6
^ Atiyah, M. F.; MacDonald, I. G. (February 21, 1994). “Chapter 1: Rings and Ideals”. Introduction to Commutative Algebra. Westview Press. pp. 5. ISBN 978-0-201-40751-8
^ Peirce, B. Linear Associative Algebra. 1870.
^ Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. An introduction to group rings. Algebras and applications, Volume 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0
^ E. Witten, Supersymmetry and Morse theory. J.Diff.Geom.17:661–692,1982.
^ A. Rogers, The topological particle and Morse theory, Class. Quantum Grav. 17:3703–3714,2000 doi:10.1088/0264-9381/17/18/309.
^ Rowlands, P. Zero to Infinity: The Foundations of Physics, London, World Scientific 2007, ISBN 978-981-270-914-1

[1] Polcino & Sehgal (2002). "§3.1 A Brief History". An Introduction to Group Rings. p. 127.

[2] Matsumura, Hideyuki (1970). “Chapter 1: Elementary Results”. Commutative Algebra. W. A. Benjamin. pp. 6. ISBN 978-0-805-37025-6

[3] Atiyah, M. F.; MacDonald, I. G. (February 21, 1994). “Chapter 1: Rings and Ideals”. Introduction to Commutative Algebra. Westview Press. pp. 5. ISBN 978-0-201-40751-8

[4] Peirce, B. Linear Associative Algebra. 1870.

[5] Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. An introduction to group rings. Algebras and applications, Volume 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0

[6] E. Witten, Supersymmetry and Morse theory. J.Diff.Geom.17:661–692,1982.

[7] A. Rogers, The topological particle and Morse theory, Class. Quantum Grav. 17:3703–3714,2000 doi:10.1088/0264-9381/17/18/309.

[8] Rowlands, P. Zero to Infinity: The Foundations of Physics, London, World Scientific 2007, ISBN 978-981-270-914-1

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