局所きょくしょコンパクト群ぐん

数学すうがくにおいて、局所きょくしょコンパクト群ぐん (きょくしょコンパクトぐん、英えい: locally compact group) とは、位相いそう空間くうかんとして局所きょくしょコンパクトかつハウスドルフな位相いそう群ぐん G である。数学すうがくで現あらわれる群ぐんの多おおくの例れいは局所きょくしょコンパクトでありそのような群ぐんはハール測度そくどと呼よばれる自然しぜんな測度そくどを持もっているから局所きょくしょコンパクト群ぐんは重要じゅうようである。これによって G 上うえのボレル可か測はか関数かんすうの積分せきぶんを定義ていぎすることができフーリエ変換へんかんや $L^{p}$ 空間くうかんといった標準ひょうじゅん的てきな解析かいせき学がくの概念がいねんを一般いっぱん化かすることができる。

有限ゆうげん群ぐんの表現ひょうげん論ろんの結果けっかの多おおくは群ぐん上じょう平均へいきん化かすることによって証明しょうめいされる。コンパクト群ぐんに対たいしては、これらの証明しょうめいの修正しゅうせいは正規せいき化かされたハール積分せきぶんに関かんして平均へいきんを取とることによって類似るいじの結果けっかをもたらす。一般いっぱんの局所きょくしょコンパクト群ぐんでは、そのような技術ぎじゅつが使つかえるとは限かぎらない。得えられる理論りろんは調和ちょうわ解析かいせきの中心ちゅうしん的てきな部分ぶぶんである。局所きょくしょコンパクトアーベル群ぐんの表現ひょうげん論ろんはポントリャーギン双対そうついによって記述きじゅつされる。

例れいと反例はんれい

• 任意にんいのコンパクト群ぐんは局所きょくしょコンパクトである。
• 任意にんいの離散りさん群ぐんは局所きょくしょコンパクトである。したがって局所きょくしょコンパクト群ぐんの理論りろんは通常つうじょうの群ぐんの理論りろんを含ふくむ。任意にんいの群ぐんには離散りさん位相いそうを与あたえることができるからである。
• 局所きょくしょ的てきにユークリッド的てきなリー群ぐんは局所きょくしょコンパクト群ぐんである。
• ハウスドルフ位相いそう線型せんけい空間くうかんが局所きょくしょコンパクトであることと有限ゆうげん次元じげんであることは同値どうちである。
• 有理数ゆうりすうの加法かほう群ぐん Q は実数じっすうの部分ぶぶん集合しゅうごうとして相対そうたい位相いそうを与あたえると局所きょくしょコンパクトではない。離散りさん位相いそうを与あたえると局所きょくしょコンパクトである。
• 任意にんいの素数そすう p に対たいして p 進数しんすうの加法かほう群ぐん Q_p は局所きょくしょコンパクトである。

性質せいしつ

等質とうしつ性せいにより、位相いそう群ぐんに対たいする局所きょくしょコンパクト性せいは単位たんい元もとにおいてのみ確認かくにんすればよい。つまり、群ぐん G が局所きょくしょコンパクトであることと単位たんい元もとがコンパクトな近傍きんぼうを持もつことは同値どうちである。各かく点てんにおいてコンパクトな近傍きんぼうの局所きょくしょ基もとが存在そんざいすることが従したがう。

局所きょくしょコンパクト群ぐんのすべての閉部分ぶぶん群ぐんは局所きょくしょコンパクト群ぐんである。（有理数ゆうりすうの群ぐんが示しめしているように閉という条件じょうけんは必要ひつようである。）逆ぎゃくに、ハウスドルフ群ぐんのすべての局所きょくしょコンパクト部分ぶぶん群ぐんは閉である。局所きょくしょコンパクト群ぐんのすべての商しょう群ぐんは局所きょくしょコンパクトである。局所きょくしょコンパクト群ぐんの族ぞくの直積ちょくせきが局所きょくしょコンパクトであることと有限ゆうげん個こを除のぞくすべての因子いんしが実じつはコンパクトであることは同値どうちである。

位相いそう群ぐんは位相いそう空間くうかんとして常つねに完全かんぜん正則せいそくである。局所きょくしょコンパクト群ぐんは正規せいきというより強つよい性質せいしつを持もつ。

すべての第だい二に可算かさんな局所きょくしょコンパクト群ぐんは位相いそう群ぐんとして距離きょり化か可能かのう（すなわち位相いそうと両立りょうりつする左ひだり不変ふへんな距離きょりを与あたえることができる）であり完備かんびである。

関連かんれん項目こうもく

• 局所きょくしょコンパクト空間くうかん
• 局所きょくしょコンパクト体たい
• 局所きょくしょコンパクト量子りょうし群ぐん

参考さんこう文献ぶんけん

• Folland, Gerald B. (1995), A Course in Abstract Harmonic Analysis, CRC Press, ISBN 978-0-8493-8490-5 .