楕円だえん軌道きどう

楕円だえん軌道きどう（だえんきどう、英語えいご: elliptical orbit）とは、逆ぎゃく二に乗じょうの法則ほうそくに従したがう力ちからの作用さようの下もとで、束縛そくばくされた物体ぶったいがとる軌道きどうである。

左記さきにおいて説明せつめいしている内容ないようを図面ずめんに表あらわした図ずです。

概要がいよう

万有引力ばんゆういんりょくの法則ほうそくやクーロンの法則ほうそくは逆ぎゃく二に乗じょうの法則ほうそくで表あらわされる。このような力ちからの作用さようの下したで運動うんどうする物体ぶったいがとる軌道きどうは、力ちからの中心ちゅうしんを焦点しょうてんとする2次じ曲線きょくせんとなる。2次じ曲線きょくせんの軌道きどうのうち、距離きょりが有限ゆうげんにとどまる軌道きどう、すなわち束縛そくばく軌道きどうが楕円だえん軌道きどうである。

太陽系たいようけいにおいて、惑星わくせいに作用さようする力ちからは太陽たいようからの万有引力ばんゆういんりょくが支配しはい的てきであり、その周回しゅうかい軌道きどうはほぼ楕円だえん軌道きどうとなる。これはケプラーの第だい1法則ほうそくとして知しられている。また、惑星わくせいの周まわりを周回しゅうかいする衛星えいせいの軌道きどうもほぼ楕円だえん軌道きどうとなる。人工じんこう衛星えいせいの軌道きどうには、利用りよう上じょうの便宜べんぎから円軌道えんきどうをとる場合ばあいもあるが、これは楕円だえん軌道きどうの特別とくべつな場合ばあいである。軌道きどう離はなれ心しん率りつが大おおきい場合ばあいには、長ちょう楕円だえん軌道きどうとも呼よばれる。

力ちからの中心ちゅうしんとなる天体てんたいは二ふたつある楕円だえんの焦点しょうてん（図ずの点てんF₁）に位置いちしており、楕円だえんの図形ずけい的てき中心ちゅうしん（図ずの点てんO）に来くるわけではない。楕円だえん軌道きどうにある人工じんこう衛星えいせいは地表ちひょうからの高度こうどが軌道きどう上じょうの位置いちによって変化へんかする。地球ちきゅうに最もっとも近ちかづいた点てんを近きん地点ちてん（ペリジ、perigee）と呼よび、地球ちきゅうから最もっとも遠とおざかった点てんを遠地点えんちてん（アポジ、apogee）と呼よぶ。また惑星わくせいが太陽たいように最もっとも近ちかづく点てんは近日きんじつ点てん、最もっとも遠とおざかる点てんは遠日点えんじつてんと呼よばれる。

軌道きどうの表現ひょうげん

「軌道きどう要素ようそ」も参照さんしょう

2次じ曲線きょくせんは焦点しょうてんを原点げんてんとする極座標きょくざひょう (r, φふぁい) により

$r={\frac {L}{1+e\cos \phi }}$

で表あらわされる。e は離はなれ心しん率りつと呼よばれるパラメータで、2次じ曲線きょくせんの概がい形がたを表あらわす。離はなれ心しん率りつが 0 ≤ e < 1 の範囲はんいにあるとき、分母ぶんぼがゼロとならないため、焦点しょうてんからの距離きょり r が有限ゆうげんにとどまり楕円だえんとなる。L は半はん通つう径みち、あるいは半はん直ちょく弦つると呼よばれる2次じ曲線きょくせんの大おおきさを表あらわすパラメータである。 楕円だえんにおいては長ちょう半径はんけいが

$a={\frac {L}{1-e^{2}}}$

で定義ていぎされ、半はん通どおり径みちに変かえて楕円だえんの大おおきさを表あらわすパラメータとして用もちいることができる。

2次じ曲線きょくせんが天体てんたいなどの軌道きどうである場合ばあい、角度かくど変数へんすう φふぁい は真ま近きん点てん角かくと呼よばれる。 真ま近きん点てん角かく φふぁい = 0 のとき、近きん点てん距離きょり

$r_{\text{min}}={\frac {L}{1+e}}=a(1-e)$

となり、φふぁい = πぱい のとき、遠とお点てん距離きょり

$r_{\text{max}}={\frac {L}{1-e}}=a(1+e)$

となる。

運動うんどうの解析かいせき

逆ぎゃく二に乗じょうの法則ほうそくに従したがう力ちからは保存ほぞん力りょくであり、ポテンシャルは V = −k/r で与あたえられる。 このポテンシャルの下したでの運動うんどうを記述きじゅつするハミルトン関数かんすうは

${\mathcal {H}}={\frac {{p_{r}}^{2}}{2m}}+{\frac {{p_{\phi }}^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {k}{r}}$

である。この系けいは保存ほぞん系けいであり、エネルギーを保存ほぞんする。また、変数へんすう φふぁい はハミルトン関数かんすうに含ふくまれない循環じゅんかん座標ざひょうであり、これに共役きょうやくな角かく運動うんどう量りょうも保存ほぞんする。 先さきにみたように、2次じ曲線きょくせんは二ふたつのパラメータ L, e で表あらわされるため、二ふたつの保存ほぞん量りょうにより運動うんどうが決定けっていされる。 保存ほぞんエネルギーを E、保存ほぞん角かく運動うんどう量りょうを J とすると

$E={\frac {{p_{r}}^{2}}{2m}}+{\frac {J^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {k}{r}}$

である。楕円だえん軌道きどうでは有限ゆうげんの距離きょりに束縛そくばくされているので E < 0 である。 長ちょう半径はんけいは

$a={\frac {k}{2|E|}}=-{\frac {k}{2E}}$

となる。 また、軌道きどう周期しゅうきは

$T={\frac {\pi k}{|E|^{3/2}}}{\sqrt {\frac {m}{2}}}=2\pi a^{3/2}{\sqrt {\frac {m}{k}}}$

となる。周期しゅうきの二乗にじょうが長ちょう半径はんけいの三さん乗じょうに比例ひれいすることはケプラーの第だい3法則ほうそくとして知しられている。

参考さんこう文献ぶんけん

• レフ・ランダウ、エフゲニー・リフシッツ『力学りきがく』（増ぞう訂てい第だい3版はん）東京とうきょう図書としょ〈理論りろん物理ぶつり教程きょうてい〉。ISBN 4-489-01160-1。 

関連かんれん項目こうもく

• 軌道きどう - 円軌道えんきどう
• ケプラーの法則ほうそく
• 人工じんこう衛星えいせいの軌道きどう

外部がいぶリンク

• 日置ひおき幸みゆき介かい. “物理ぶつり学がく１ 講義こうぎノート その７” (PDF). 北海道大学ほっかいどうだいがく. 2023年ねん7月がつ7日にち閲覧えつらん。