正せい五ご胞体

正せい五ご胞体（せいごほうたい、regular pentachoron）は、4次元じげん正せい多た胞体のうち、胞が5つあるもの。つまり、全すべての胞が合同ごうどうな正せい四よん面体めんていからなる五ご胞体である。

正せい五ご胞体の投影とうえい図ずの例れい

4次元じげん正せい単体たんたいであり、2次元じげんでの正三角形せいさんかっけい、3次元じげんでの正せい四よん面体めんていの4次元じげんへの拡張かくちょうである。

五ご胞体の位相いそう幾何きか学がくは1種類しゅるいしかないので、全すべての五ご胞体は正せい五ご胞体に位相いそう同型どうけいである。

性質せいしつ

• シュレーフリ記号きごうは {3,3,3}。
• 胞は正せい四よん面体めんてい、面めんは正三角形せいさんかっけいである。
• n 次元じげん面めんの数かずは ${}_{5}\operatorname {C} _{n+1}$ である。つまり、頂点ちょうてんと胞はそれぞれ5つ、辺あたりと面めんはそれぞれ10である。これらはパスカルの三角形さんかっけいの第だい6段だんの2～5番目ばんめの数字すうじである。
• 頂点ちょうてん形状けいじょうは正せい四よん面体めんていである。頂点ちょうてんには4つの辺あたり、6つの面めん、4つの胞が集あつまり、これらは正せい四よん面体めんていの頂点ちょうてんと辺あたりと面めんの数かず（パスカルの三角形さんかっけいの第だい5段だんの2～4番目ばんめの数字すうじ）に対応たいおうしている。座標ざひょうは (1, 0, 0, 0) の置換ちかん（4個こ）と、φふぁい を黄金おうごん比ひとして (1/2-φふぁい/2, 1/2-φふぁい/2, 1/2-φふぁい/2, 1/2-φふぁい/2,) の1個いっこである。
• 辺あたり形状けいじょうは正三角形せいさんかっけいである。辺あたりには面めんと胞が3つずつ集あつまり、これらは正三角形せいさんかっけいの頂点ちょうてんと辺あたりの数かず（パスカルの三角形さんかっけいの第だい4段だんの2, 3番目ばんめの数字すうじ）に対応たいおうしている。
• 面めん形状けいじょうは線分せんぶんである。面めんには胞が2つずつ集あつまり、これは線分せんぶんの端点たんてんの数かず（パスカルの三角形さんかっけいの第だい3段だんの2番目ばんめの数字すうじ）に対応たいおうしている。
• 自己じこ双対そうつい多た胞体である。つまり、自みずからと双対そうついである。なお4次元じげん正ただし多た胞体の中なかでは、正せい五ご胞体と正せい二に十じゅう四よん胞体が自己じこ双対そうついである。
• ペトリー多面体ためんたい（ペトリー多角たかく形がたの4次元じげん版ばん）は正せい八はち面体めんていである。一般いっぱんに正せい単体たんたいのペトリー多た胞体は正せい軸じく体たいで、正せい四よん面体めんていのペトリー多面体ためんたいが正方形せいほうけいであることに対応たいおうしている。
• 展開てんかい図ずをダ・ヴィンチの星ほし型かたに作つくることができる（他たの形かたちも可能かのうである）。

計量けいりょう

辺あたりの長ながさを $a\,$とする。

• 超ちょう体積たいせき: ${\frac {\sqrt {5}}{96}}a^{4}\approx 0.023292375a^{4}$
• 超ちょう表面積ひょうめんせき: ${\frac {5{\sqrt {2}}}{12}}a^{3}\approx 0.589255659a^{3}$