白銀はくぎん比ひ

白銀はくぎん比ひ（はくぎんひ）と呼よばれるものは以下いかの2つがあり、いずれも無理むり比ひである。

比ひ $1:(1+{\sqrt {2}})$ のこと。貴金属ききんぞく比ひの一ひとつ（第だい2貴金属ききんぞく比ひ）。
比ひ ${\textstyle 1:{\sqrt {2}}}$ のこと。 $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}b/2 : a = a : b$ を満みたす比ひであることから、紙かみの寸法すんぽうなどに用もちいられている。

$1 : (1+ \sqrt 2)$ の白銀はくぎん比ひ

1 : (1+ \sqrt 2)

の白銀はくぎん長方形ちょうほうけい

幾何きか学がく的てきに、正せい円えんとその中心ちゅうしんを通とおる水平すいへい並ならびに傾かたむき１の直線ちょくせんを利用りようすると、図ずのように「

1 : (1+ \sqrt 2)

」の白銀はくぎん長方形ちょうほうけいを描えがける。

$1 : (1+ \sqrt 2)$ の白銀はくぎん比ひ（はくぎんひ、英語えいご: silver ratio / silver mean / silver constant）は、貴金属ききんぞく比ひの一ひとつ（第だい2貴金属ききんぞく比ひ）である^[1]。近似きんじ値ちは 1 : 2.414 である。英語えいごでsilver ratioなどと言いった場合ばあいはこちらを指さす。

線分せんぶん比ひ $a : b$ が白銀はくぎん比ひであるとは、

(b-2a):a=a:b

が成なり立たつことを意味いみする。

白銀はくぎん数すう

白銀はくぎん比ひ $1 : (1+ \sqrt 2)$ に現あらわれる右側みぎがわの数かず $1+ \sqrt 2$ を白銀はくぎん数すう（はくぎんすう、英語えいご: silver number）という。しばしばギリシア文字もじの $τ たう$ （タウ）で表あらわされる^[2]。

白銀はくぎん数すう $τ たう$ は二に次じ方程式ほうていしき $x^{2}-2x-1=0$ の正せいの解かいであるから、

\tau =1+{\sqrt {2}}=2.4142135623\dots \approx {\frac {12}{5}}

一方いっぽう、このときの白銀はくぎん比ひを ${\textstyle 1:(\tau -1)}$ のように定義ていぎすることがある^[2]。これは後述こうじゅつのもう一ひとつの白銀はくぎん比ひと一致いっちしている。

数学すうがく的てき性質せいしつ

白銀はくぎん数すうの連分数れんぶんすう展開てんかいは

1+{\sqrt {2}}=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\cdots }}}}}}

である。

白銀はくぎん数すう $r s$ は有理数ゆうりすうに 2の平方根へいほうこんを添加てんかした代数だいすう体たいにおける代数だいすう的てき整数せいすうになっており、 $r s$ の共役きょうやく数すうは

{r_{\rm {s}}}^{\sigma }=1-{\sqrt {2}}=-{\frac {1}{1+{\sqrt {2}}}}=-{\frac {1}{r_{\rm {s}}}}

によって与あたえられる。任意にんいの自然しぜん数すう $n$ について、 $(r_{\rm {s}})^{n}+({r_{\rm {s}}}^{\sigma })^{n}$ は有理ゆうり整数せいすうになるが、 ${r_{s}}^{\sigma }$ の絶対ぜったい値ちが $1 / 2$ より小ちいさいため、この有理ゆうり整数せいすうは $(r_{s})^{n}$ に最もっとも近ちかい自然しぜん数すうを与あたえている。 $n \to \infty$ のとき $({r_{\rm {s}}}^{\sigma })^{n}$ は $0$ に収束しゅうそくするから、 $\mathbb {R} \cup \{\infty \}\setminus \mathbb {Z}$ における $(r_{\rm {s}})^{n}$ は無限むげん遠とお点てんを唯一ゆいいつの集積しゅうせき点てんとして持もち、特とくに $(r_{\rm {s}})^{n}$ の小数しょうすう部分ぶぶんは均等きんとうに分布ぶんぷしていないことが分わかる。

一いち辺へんの長ながさが1の正せい八はち角形かくがたの対角線たいかくせんのうち、2番目ばんめに長ながい対角線たいかくせんの長ながさである。

三角さんかく関数かんすうで表あらわすと、

r_{s}=\cot 22.5^{\circ }={\frac {1}{\tan 22.5^{\circ }}}

等ひとしの表記ひょうきができる。

$1 : \sqrt 2$ の白銀はくぎん比ひ

1 : \sqrt 2

の白銀はくぎん比ひ長方形ちょうほうけいは正せい八はち角形かくがたによく現あらわれる（赤あか枠わく）。

1 : \sqrt 2

の白銀はくぎん比ひの長方形ちょうほうけいの長ちょう辺あたりを半分はんぶんに折おってできる長方形ちょうほうけいは、折おる前まえの長方形ちょうほうけいと相似そうじであり、折おる前ぜんと後ごの長方形ちょうほうけいについて図ずのように引ひいた対角線たいかくせんは直交ちょっこうしている。

${\textstyle 1:{\sqrt {2}}}$ の白銀はくぎん比ひ（はくぎんひ）は、1:1.414… で、約やく 5:7 である。紙かみの寸法すんぽうなどに用もちいられる。

{\sqrt {2}}=1.4142135623\dots \approx {\frac {7}{5}}

これは先さきの第だい2貴金属ききんぞく比ひとしての白銀はくぎん比ひから、ちょうど1を引ひいた値ねとなっている。

ギャラリー

$1 : \sqrt 2$ の白銀はくぎん比ひの長方形ちょうほうけい（緑色みどりいろ）を図ずのように3個こ並ならべると、正三角形せいさんかっけい（赤色あかいろ）ができる。
合同ごうどうな直角ちょっかく二等辺三角形にとうへんさんかっけいを張はり合あわせて黄金おうごん長方形ちょうほうけい、白銀はくぎん長方形ちょうほうけい（大和やまと比ひ）を作つくり、それらから正三角形せいさんかっけいを作つくった例れい。
直径ちょっけいが $1$ と $\sqrt 2$ の円えんの外接がいせつ時じの両りょう円えんへの接線せっせん（外接がいせつ点てんを通とおらないもの）2本ほんの交点こうてんと円えんとの最短さいたん距離きょりは「 $1+ \sqrt 2$ 」となっている。
半径はんけいが１と「 $1+ \sqrt 2$ 」の正せい円えんが互たがいに外接がいせつする場合ばあい、両りょう円えんへの接線せっせん（両りょう円えんの接点せってんを通過つうかしないもの）２本ほんの交点こうてんと正せい円えんとの最短さいたん距離きょりは $\sqrt 2$ となる。
図形ずけいの相似そうじ縮小しゅくしょうにおいて、面積めんせきを変更へんこう前まえの半分はんぶんにする場合ばあい、対応たいおうする箇所かしょの長ながさ（距離きょり）についてそれぞれ変更へんこう前まえ : 変更へんこう後ご = $\sqrt 2 :1$ とすることで実現じつげんできる。（図ず中ちゅうの緑みどりの三角形さんかっけいと青あおの台形だいけいの面積めんせきは互たがいに等ひとしい。）
大和やまと比ひの長方形ちょうほうけい（赤あか）の対角線たいかくせん・長ちょう辺あたり・短たん辺べの長ながさの比ひを活用かつようすると、正せい円えんの面積めんせきをそれと同心どうしんの正せい円えんで三さん等分とうぶん（緑みどり・桃もも・黄き）できる。
図ずのように、半径はんけい $\sqrt n$ の正せい円えんと、その円周えんしゅう上じょうに中心ちゅうしん ( $P$ ) を持もつ半径はんけい $\sqrt 2$ の正せい円えんを描えがいた場合ばあい、両りょう円えんの共通きょうつう弦つるは両りょう円心えんしん間あいだ直線ちょくせんの $P$ 側がわからの $1 / n$ の区切くぎりを示しめす垂線すいせんとなる。

白銀はくぎん長方形ちょうほうけいと工業こうぎょう規格きかく

一辺いっぺんと他た辺あたりが $1 : (1+ \sqrt 2)$ となる長方形ちょうほうけいを白銀はくぎん長方形ちょうほうけい（英語えいご: silver rectangle）と呼よぶ。また、 $1 : \sqrt 2$ の白銀はくぎん比ひの長方形ちょうほうけいも白銀はくぎん長方形ちょうほうけいと呼よばれる^[2]ため注意ちゅういが必要ひつようだが、こちらはルート長方形ちょうほうけいとも呼よぶ。以下いか、混同こんどうを防ふせぐため、 $1 : (1+ \sqrt 2)$ の白銀はくぎん比ひの長方形ちょうほうけいを「 $1 : (1+ \sqrt 2)$ 白銀はくぎん長方形ちょうほうけい」、 $1 : \sqrt 2$ の白銀はくぎん比ひの長方形ちょうほうけいを「 $1 : \sqrt 2$ 白銀はくぎん長方形ちょうほうけい」とする。

ISO 216規格きかくで定さだめられる紙しの寸法すんぽうは $1 : \sqrt 2$ 白銀はくぎん長方形ちょうほうけいとなっているが、このような長方形ちょうほうけいは、長ちょう辺あたりの中点ちゅうてんを結むすぶ線分せんぶんで折おると、出来できた長方形ちょうほうけいは元もとの長方形ちょうほうけいと相似そうじとなる。例れいとしてA4規格きかくの紙かみを2分割ぶんかつして得えられる長方形ちょうほうけいがA5規格きかくである。

写真しゃしんレンズの開口かいこう比ひ（いわゆる絞しぼり値ち、F値ね）の

1, 1.4, 2, 2.8, 4, 5.6, 8, \dots

という系列けいれつのように、対象たいしょうがパラメータの値ねの自乗じじょうで変化へんかするようなものにも現あらわれることがある。

$1 : (1+ \sqrt 2)$ 白銀はくぎん長方形ちょうほうけいと $1 : \sqrt 2$ 白銀はくぎん長方形ちょうほうけいには相関そうかん性せいがある。 $1 : (1+ \sqrt 2)$ 白銀はくぎん長方形ちょうほうけいから最大限さいだいげんの大おおきさの正方形せいほうけいを切きり取とったときに残のこる長方形ちょうほうけいは $1 : \sqrt 2$ 白銀はくぎん長方形ちょうほうけいとなり、 $1 : \sqrt 2$ 白銀はくぎん長方形ちょうほうけいから最大限さいだいげんの大おおきさの正方形せいほうけいを切きり取とったときに残のこる長方形ちょうほうけいは $1 : (1+ \sqrt 2)$ 白銀はくぎん長方形ちょうほうけいとなる。

白銀はくぎん比ひの作図さくず

白銀はくぎん比ひを作図さくずするには $1 : \sqrt 2$ を作図さくずすればよいが、これは正方形せいほうけい（作図さくず可能かのう）から容易よういに得えられる。

脚注きゃくちゅう

^ Buitrago, Antonia Redondo (2008). "Polygons, Diagonals, and the Bronze Mean", Nexus Network Journal 9,2: Architecture and Mathematics, p.321-2. Springer Science & Business Media. ISBN 9783764386993
^ ^a ^b ^c 岩本いわもと誠一せいいち・江口えぐち将すすむ生せい・吉よし良知よしとも文ぶん　黄金おうごん・白銀はくぎん・青銅せいどう : 数かずと比ひと形かたちと率りつと

外部がいぶリンク

Weisstein, Eric W. "Silver Ratio". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).

[mean2-1] Buitrago, Antonia Redondo (2008). "Polygons, Diagonals, and the Bronze Mean", Nexus Network Journal 9,2: Architecture and Mathematics, p.321-2. Springer Science & Business Media. ISBN 9783764386993

[mean-2] 岩本いわもと誠一せいいち・江口えぐち将すすむ生せい・吉よし良知よしとも文ぶん　黄金おうごん・白銀はくぎん・青銅せいどう : 数かずと比ひと形かたちと率りつと

[1]

[2]

白銀はくぎん比ひ

目次もくじ