カオス (力学りきがく系けい)

力学りきがく系けいにおけるカオス（英語えいご: chaos）とは、決定けってい論ろん的てきな法則ほうそくにしたがうにもかかわらず、不規則ふきそく的てきで複雑ふくざつな様相ようそうを示しめす軌道きどうである。特とくに決定けってい論ろん的てきカオス（英語えいご: deterministic chaos）という名なでも呼よばれる。

カオスの本質ほんしつ的てき特徴とくちょうの一ひとつが、微小びしょうな差異さいが将来しょうらい的てきに巨大きょだいな差異さいに成長せいちょうする点てんにある。このことはカオス特有とくゆうの予測よそく不可能ふかのう性せいを生うみ、バタフライ効果こうかという言葉ことばでも知しられる。

カオスは非線形ひせんけいな現象げんしょうで、線形せんけいな系けいで生しょうじることはない。カオスの最初さいしょ期きの発見はっけんは、アンリ・ポアンカレによって三さん体たい問題もんだいの研究けんきゅうの中なかで生うまれた。散逸さんいつ系けいにおけるカオスはストレンジアトラクターとして存在そんざいする 。ローレンツ方程式ほうていしきで発生はっせいする蝶ちょうのような形かたちをしたアトラクターは、おそらく世界せかいでもっとも有名ゆうめいなストレンジアトラクターである。

性質せいしつ

非線形ひせんけい性せい

力学りきがく系けいには大おおきく分わけて線形せんけいな系けいと非線形ひせんけいな系けいが存在そんざいするが、線形せんけいな系けいではカオスは発生はっせいしえない。カオスが生起せいきされるためには、その系けいが何なんらかの非線形ひせんけい性せいを持もつ必要ひつようがある。

非ひ周期しゅうき性せい

カオスは、固定こてい点てんにも周期しゅうき的てき軌道きどうにも準じゅん周期しゅうき軌道きどうにも漸近ぜんきんしない、非ひ周期しゅうき的てきな軌道きどうを取とる。

初期しょき値ち鋭敏えいびん性せい

距離きょり空間くうかん上うえの写像しゃぞう f : X → X について、ある δでるた > 0 が存在そんざいし、任意にんいの x ∈ X と εいぷしろん > 0 に対たいして、d(f (x), f (y)) < εいぷしろん かつ d(f ⁿ(x), f ⁿ(y)) > δでるた を満みたす y ∈ X と自然しぜん数すう n が存在そんざいするとき、f は初期しょき値ち鋭敏えいびん性せいを持もつという。

拡大かくだい性せい

初期しょき値ち鋭敏えいびん性せいよりも強つよい性質せいしつとして拡大かくだい性せいの概念がいねんがある。距離きょり空間くうかん上じょうの写像しゃぞう f : X → X が、任意にんいの相そう異ことなる x, y ∈ X に対たいし、ある δでるた >0 があって、d(f ⁿ(x), f ⁿ(y)) > δでるた を満みたす n が存在そんざいするとき、f は拡大かくだい的てきであるという。

位相いそう推移すいい性せい

ある連続れんぞく写像しゃぞう f : X → X が X 上うえで稠密ちゅうみつな軌道きどうを持もつとき、f は位相いそう推移すいい的てきであるという。また、同値どうちな表現ひょうげんだが、空そらではない任意にんいの開ひらけ集合しゅうごう U, V ⊂ X が f ⁿ(U) ∩ V ≠ ∅ となるようなある n > 1 が存在そんざいするとき、f は位相いそう推移すいい的てきであるという。

位相いそう混合こんごう性せい

位相いそう推移すいい性せいよりも強つよい性質せいしつとして位相いそう混合こんごう性せいがある。ある自然しぜん数すう N が存在そんざいし、すべての n > N について、空そらではない任意にんいの開ひらき集合しゅうごう U, V ⊂ X がf ⁿ(U) ∩ V ≠ ∅ となるとき、f は位相いそう混合こんごう的てきであるという。力学りきがく系けいが位相いそう混合こんごう的てきならば、明あきらかに同時どうじに位相いそう推移すいい的てきでもある。

有界ゆうかい性せい・コンパクト性せい

望のぞましくない例れいを排除はいじょするために、軌道きどうあるいは系けいが定義ていぎされる空間くうかんが有界ゆうかいあるいはコンパクトあることがカオスの定義ていぎに含ふくまれると望のぞましい。望のぞましくない例れいというのは ·x = ax や x ↦ ax （a は正せいの定数ていすう）のような系けいのことで、このような系けいでは初期しょき値ち鋭敏えいびん性せいと位相いそう推移すいい性せいを満みたすものの軌道きどうは指数しすう関数かんすう的てきに単調たんちょう増加ぞうかするだけなので、カオスに含ふくめるには不ふ適当てきとうである。

参照さんしょう文献ぶんけん

• 合ごう原はら 一幸かずゆき（編へん）、1990、『カオス ―カオス理論りろんの基礎きそと応用おうよう』初版しょはん、サイエンス社しゃ〈Information & Computing 49〉 ISBN 4-7819-0592-7
  • 香田こうだ 徹とおる「カオス概論がいろん」
  • 小室こむろ 元もと政せい・松本まつもと 隆たかし・CHUA, Leon O.「カオスを電子でんし回路かいろでとらえる」
• 井上いのうえ 政義まさよし・秦はた 浩ひろし起おこり、1999、『カオス科学かがくの基礎きそと展開てんかい ―複雑ふくざつ系けいの理解りかいに向むけて』初版しょはん、共立きょうりつ出版しゅっぱん ISBN 4-320-03323-X
• 丹羽にわ 敏雄としお、1999、『数学すうがくは世界せかいを解明かいめいできるか ―カオスと予定よてい調和ちょうわ』再版さいはん、中央公論ちゅうおうこうろん新しん社しゃ〈中公新書ちゅうこうしんしょ〉 ISBN 4-12-101475-8
• 合ごう原はら 一幸かずゆき、1993、『カオス ―まったく新あたらしい創造そうぞうの波なみ』、講談社こうだんしゃ ISBN 4-06-206287-9
• 千葉ちば 逸いっ人じん、2021、『解とくための微分びぶん方程式ほうていしきと力学りきがく系けい理論りろん』初版しょはん、現代げんだい数学すうがく社しゃ ISBN 978-4-7687-0570-4
• 青木あおき 統みつる夫おっと・白岩しらいわ 謙一けんいち、2013、『力学りきがく系けいとエントロピー』復刊ふっかん、共立きょうりつ出版しゅっぱん ISBN 978-4-320-11043-4
• 青木あおき 統みつる夫おっと、1996、『力学りきがく系けい・カオス ―非線形ひせんけい現象げんしょうの幾何きか学がく的てき構成こうせい』初版しょはん、共立きょうりつ出版しゅっぱん ISBN 4-320-03340-X
• 久保くぼ 泉いずみ・矢野やの 公一こういち、2018、『力学りきがく系けい』オンデマンド版ばん、岩波書店いわなみしょてん ISBN 978-4-00-730742-3
• 松葉まつば 育雄いくお、2011、『力学りきがく系けいカオス』第だい1版はん、森北もりきた出版しゅっぱん ISBN 978-4-627-15451-3
• 船越ふなこし 満明みつあき、2008、『カオス』初版しょはん、朝倉書店あさくらしょてん〈シリーズ 非線形ひせんけい科学かがく入門にゅうもん3〉 ISBN 978-4-254-11613-7
• 井上いのうえ 政義まさよし、1996、『やさしくわかるカオスと複雑ふくざつ系けいの科学かがく』初版しょはん、日本にっぽん実業じつぎょう出版しゅっぱん社しゃ ISBN 4-53402492-4
• 合ごう原はら 一幸かずゆき・黒崎くろさき 政男まさお・高橋たかはし 純じゅん、1999、『哲学てつがく者しゃクロサキと工学こうがく者しゃアイハラの神かみはカオスに宿やどりたもう』初版しょはん、アスキー ISBN 4-7561-3133-6
• Steven H. Strogatz、田中たなか 久ひさ陽ひ・中尾なかお 裕也ゆうや・千葉ちば 逸いっ人じん（訳わけ）、2015、『ストロガッツ　非線形ひせんけいダイナミクスとカオス ―数学すうがく的てき基礎きそから物理ぶつり・生物せいぶつ・化学かがく・工学こうがくへの応用おうようまで』、丸善まるぜん出版しゅっぱん ISBN 978-4-621-08580-6

外部がいぶリンク

• Chaos - Encyclopaedia of Mathematics
• Chaos - MathWorld
• カオス - コトバンク
• CHAOS - 力学りきがく系けい、バタフライ効果こうか、カオスの理論りろんに関かんする一般いっぱん向むけのビデオ
• カオス - J-GLOBAL