出典 しゅってん 百科 ひゃっか 事典 じてん
幾何 きか 学 がく 平面 へいめん 英 えい Dehn plane ）とは、デーン が導入 どうにゅう 非 ひ 幾何 きか 例 れい マックス・デーン は2つの平面 へいめん 例 れい 半 はん 幾何 きか 非 ひ 幾何 きか 導入 どうにゅう 所与 しょよ 点 てん 直線 ちょくせん 対 たい 点 てん 通 とお 無限 むげん 本 ほん 平行 へいこう 線 せん 持 も 三角形 さんかっけい 内角 ないかく 和 わ 少 すく
π ぱい
{\displaystyle \pi }
同様 どうよう 現象 げんしょう 双 そう 曲 きょく 幾何 きか 見 み 三角形 さんかっけい 内角 ないかく 和 わ
π ぱい
{\displaystyle \pi }
未 み 満 まん 例 れい 非 ひ 的 てき 順序 じゅんじょ 体 たい 利用 りよう 構成 こうせい アルキメデスの公理 こうり が破 わ Max Dehn (1900 )導入 どうにゅう Hilbert (1902 , p.127–130, or p. 42-43 in some later editions)で論 ろん
非 ひ 的 てき 順序 じゅんじょ 体 たい Ω おめが t )[ 編集 へんしゅう ] 自 みずか 幾何 きか 構成 こうせい 為 ため 非 ひ 的 てき 順序付 じゅんじょづ ピタゴラス的 てき 体 からだ
Ω おめが (
t
)
{\displaystyle \Omega (t)}
用 もち 実 じつ 係数 けいすう 変数 へんすう 有理 ゆうり 式 しき 関数 かんすう 成 な 体 からだ
R
(
t
)
{\displaystyle \mathbb {R} (t)}
ピタゴラス閉包 へいほう 、すなわち実 じつ 定数 ていすう 関数 かんすう 不定 ふてい 元 もと t を意味 いみ 恒等 こうとう 関数 かんすう 実数 じっすう 自身 じしん 写 うつ 関数 かんすう 含 ふく 演算 えんざん
ω おめが ↦
(
1
+
ω おめが
2
)
{\displaystyle \omega \mapsto {\sqrt {(1+\omega ^{2})}}}
閉 と 最小 さいしょう 関数 かんすう 体 たい
Ω おめが (
t
)
{\displaystyle \Omega (t)}
次 つぎ 順序付 じゅんじょづ
x
>
y
{\displaystyle x>y}
十分 じゅうぶん 大 おお 任意 にんい 実数 じっすう
t
{\displaystyle t}
対 たい
x
(
t
)
>
y
(
t
)
{\displaystyle x(t)>y(t)}
成 な 立 た
Ω おめが (
t
)
{\displaystyle \Omega (t)}
元 もと
x
{\displaystyle x}
有限 ゆうげん 呼 よ 整数 せいすう
m
,
n
{\displaystyle m,n}
対 たい
m
<
x
<
n
{\displaystyle m<x<n}
有限 ゆうげん 元 もと 無限 むげん 大 だい 呼 よ
いま、
Ω おめが (
t
)
{\displaystyle \Omega (t)}
元 もと
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
表 あらわ 全 すべ 元 もと 集合 しゅうごう 次 つぎ 通常 つうじょう 計量 けいりょう
‖
(
x
,
y
)
‖
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle \|(x,y)\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
を入 い 考 かんが
‖
(
x
,
y
)
‖
{\displaystyle \|(x,y)\|}
Ω おめが (
t
)
{\displaystyle \Omega (t)}
値 ね 取 と 注意 ちゅうい 空間 くうかん ユークリッド幾何 きか のモデルを与 あた 平行 へいこう 線 せん 公準 こうじゅん 於 お 真 しん 直線 ちょくせん 本 ほん 直線 ちょくせん 交 まじ 同 おな 側 がわ 内角 ないかく 和 わ 直角 ちょっかく 小 ちい 本 ほん 直線 ちょくせん 側 がわ 交 まじ 他方 たほう 内角 ないかく 和 わ 直角 ちょっかく 誤差 ごさ 無限 むげん 小 しょう 正 せい 有理数 ゆうりすう 小 ちい 意味 いみ 直線 ちょくせん 交点 こうてん 平面 へいめん 有限 ゆうげん 点 てん 交 まじ 平面 へいめん 有限 ゆうげん 部分 ぶぶん
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
x
,
y
{\displaystyle x,y}
有限 ゆうげん 点 てん 制限 せいげん 平行 へいこう 線 せん 公準 こうじゅん 破 やぶ 三角形 さんかっけい 内角 ないかく 和 わ
π ぱい
{\displaystyle \pi }
幾何 きか 学 がく 得 え 半 はん 幾何 きか Rucker (1982 , page 98)で論 ろん
同 おな 論文 ろんぶん 於 お 非 ひ 幾何 きか 例 れい 構成 こうせい 点 てん 通 とお 別 べつ 直線 ちょくせん 交 まじ 無限 むげん 本 ほん 直線 ちょくせん 存在 そんざい 平行 へいこう 線 せん 公準 こうじゅん 破 やぶ 三角形 さんかっけい 内角 ないかく 和 わ
π ぱい
{\displaystyle \pi }
超 こ
Ω おめが (
t
)
{\displaystyle \Omega (t)}
上 うえ 楕円 だえん 幾何 きか
Ω おめが (
t
)
{\displaystyle \Omega (t)}
上 うえ 射影 しゃえい 平面 へいめん 構成 こうせい
(
x
:
y
:
1
)
{\displaystyle (x:y:1)}
形 かたち 点 てん 無限 むげん 遠 とお 直線 ちょくせん 付 つ 加 くわ 平面 へいめん 同一 どういつ 視 し 三角形 さんかっけい 内角 ないかく 和 わ
π ぱい
{\displaystyle \pi }
超 こ 性質 せいしつ 持 も 非 ひ 幾何 きか 部分 ぶぶん 空間 くうかん 点 てん
(
x
:
y
:
1
)
{\displaystyle (x:y:1)}
t
x
{\displaystyle tx}
t
y
{\displaystyle ty}
有限 ゆうげん
t
{\displaystyle t}
恒等 こうとう 関数 かんすう 表現 ひょうげん
Ω おめが (
t
)
{\displaystyle \Omega (t)}
元 もと ルジャンドルの定理 ていり は三角形 さんかっけい 内角 ないかく 和 わ 高々 たかだか
π ぱい
{\displaystyle \pi }
述 の 公理 こうり 仮定 かてい 例 れい 定理 ていり 公理 こうり 除 のぞ 成立 せいりつ 可能 かのう 性 せい 示 しめ
Dehn, Max (1900), “Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck” , Mathematische Annalen 53 (3): 404–439, doi :10.1007/BF01448980 , ISSN 0025-5831 , JFM 31.0471.01 , https://books.google.com/books?id=vEbWAAAAMAAJ&pg=PA404 Hilbert, David (1902), The foundations of geometry MR 0116216 , http://www.gutenberg.org/files/17384/17384-pdf.pdf Rucker, Rudy (1982), Infinity and the mind. The science and philosophy of the infinite , Boston, Mass.: Birkhäuser, ISBN 3-7643-3034-1 , MR 0658492 
