共きょう形かたち場じょう理論りろん

共きょう形かたち場じょう理論りろん（きょうけいばりろん、Conformal Field Theory, CFT）とは、共きょう形かたち変換へんかんに対たいして作用さようが不変ふへんな場ばの理論りろんである。特とくに、1+1次元じげん系けいでは複素ふくそ平面へいめんをはじめとするリーマン面めん上うえでの理論りろんとして記述きじゅつされる。

共きょう形かたち変換へんかんに対たいする不変ふへん性せいはウォード＝高橋たかはし恒ひさし等式とうしきを要請ようせいし、これをもとにエネルギー-運動うんどう量りょうテンソル（あるいはストレステンソル）に関かんする保存ほぞん量りょうが導出みちびきだされる。また1+1次元じげん系けいにおいては、エネルギー-運動うんどう量りょうテンソルを展開てんかいしたものは、Virasoro代数だいすうと呼よばれる無限むげん次元じげんリー代数だいすうをなし、理論りろんの中心ちゅうしん的てき役割やくわりを果はたす。

共きょう形かたち変換へんかん群ぐんは、時空じくう間あいだの対称たいしょう性せいであるポアンカレ群ぐんの自然しぜんな拡張かくちょうになっており、空間くうかんd-1次元じげん＋時間じかん1次元じげんのd次元じげん時空じくう間あいだではリー群ぐんSO(d,2)で記述きじゅつされる。この変換へんかん群ぐんの生成せいせい子こは(d+2)(d+1)/2個こあり、その内訳うちわけは以下いかのとおり。

• d(d-1)/2:　空間くうかん d-1 + 時間じかん 1次元じげん空間くうかんのローレンツ変換へんかん
• d: d次元じげん空間くうかんの並進へいしん+時間じかん推進すいしん

※以上いじょうが、部分ぶぶん群ぐんとしてのポアンカレ群ぐんの生成せいせい子こをなす。 スケール普遍ふへん性せいは定義ていぎより以下いかの変換へんかん(ディラテーション)を示唆しさする。

• 1: スケール変換へんかん（計量けいりょうの目盛めもりの変更へんこう）

さらに強つよく、共きょう形かたち不変ふへん性せいを要求ようきゅうすると

• d: d次元じげん時空じくうの特殊とくしゅ共ども形がた変換へんかん（反転はんてん×平行へいこう移動いどう×反転はんてん）

が加くわわる。この代数だいすうSO(d,2)を共きょう形代かたしろ数すう(conformal algebra)と呼よぶ。

場ばの理論りろんの基本きほん的てきな可か観測かんそく量りょうである相関そうかん関数かんすう(場ばの演算えんざん子この積せきの真空しんくう期待きたい値ち)は共きょう形代かたしろ数すうによって強つよい制限せいげんを受うける。特とくにユニタリな共きょう形かたち場じょうの理論りろんにおいては、例たとえばスカラー演算えんざん子この二に点てん関数かんすうは $\langle \phi (x)\phi (y)\rangle ={\frac {1}{|x-y|^{\Delta _{\phi }}}}$ と定さだまってしまう。ここで、$\Delta _{\phi }$は演算えんざん子こ$\phi$ のスケーリング次元じげんと呼よばれる(理論りろん依存いぞんの)パラメータである。

2次元じげん共ども形かたち場じょう理論りろん

2次元じげん共ども形かたち場じょう理論りろんは歴史れきし的てきには1984年ねんにBelavin、ポリャコフ、Zamolodchikov(BPZ)によって初はじめて定式ていしき化かされた。2次元じげん共ども形かたち場じょう理論りろんで言及げんきゅうするのは次つぎのような場合ばあいである。

一般いっぱんに(2+1次元じげん以上いじょうの時空じくうでは)共きょう形かたち変換へんかん群ぐんは有限ゆうげん個この生成せいせい子こからなる有限ゆうげん次元じげんリー群ぐんである。しかし、空間くうかん1次元じげん＋時間じかん1次元じげん(d=2)の2次元じげん共ども形かたち場じょう理論りろん場合ばあいに限かぎり、共きょう形かたち変換へんかん群ぐんSO(2,2)は正則せいそく関数かんすうの等角とうかく写像しゃぞうの変換へんかん群ぐん（無限むげん次元じげんリー群ぐん）に拡張かくちょうされる。この場合ばあい共とも形がた変換へんかん群ぐんSO(2,2)は無限むげん個この生成せいせい子こからなる代数だいすう(ヴィラソロ代数だいすう)の部分ぶぶん代数だいすうとなる。ヴィラソロ代数だいすうから得えられるヒルベルト空間くうかんに対たいする制限せいげんは強力きょうりょくであり、ミニマル模型もけいと呼よばれる模型もけい群ぐんに対たいしては、(これには臨界りんかい点てん上じょうの2次元じげんイジング模型もけいも含ふくまれる)全すべての相関そうかん関数かんすうの振ふる舞まいをヴィラソロ代数だいすうとウォード＝高橋たかはし恒等こうとう式しきから厳密げんみつに求もとめることができる（可か解かいである）。可か解かいである2次元じげん共ども形かたち場じょう理論りろんは、2次元じげん統計とうけい系けいあるいは1+1次元じげん量子りょうし系けいを理解りかいする上じょうで強力きょうりょくな武器ぶきとなっている。

参考さんこう文献ぶんけん

• Di Francesco; Mathieu, Sénéchal (1997). Conformal field theory. Graduate texts in contemporary physics. Springer. ISBN 9780387947853 
• Paul Ginsparg, Applied Conformal Field Theory. arXiv:hep-th/9108028.
• 川上かわかみ則雄のりお、梁りょう成吉せいきち：「共きょう形かたち場じょう理論りろんと1次元じげん量子りょうし系けい」、岩波書店いわなみしょてん、ISBN 4-00-007411-3（1997年ねん11月25日にち）。
• 山田やまだ 泰彦やすひこ:「共きょう形かたち場じょう理論りろん入門にゅうもん」、培風館ばいふうかん、ISBN 978-4563006617（2006/01）。
• 伊藤いとう克司かつし: 臨時りんじ別冊べっさつ・数理すうり科学かがくSGC-83「共きょう形かたち場じょう理論りろん」、サイエンス社しゃ（2011/06/25）。
• 江口えぐち 徹とおる, 菅原すがわら 祐二ゆうじ:「共きょう形かたち場じょう理論りろん」、岩波書店いわなみしょてん、ISBN 978-4000052498（2015/9/18）。

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