共きょう形かたち変換へんかん

共きょう形かたち変換へんかん（きょうけいへんかん、conformal transformation）とは、空間くうかんのある1点てんで交まじわった2曲きょく線せんの接線せっせんのなす角度かくどが保存ほぞんされる変換へんかん、等角とうかく写像しゃぞうとも。 並進へいしん、回転かいてん、スケール変換へんかんなどはその最もっとも簡単かんたんな例れい。 特とくに、2次元じげんでは無限むげん個この変換へんかんが存在そんざいすることが示しめされ、複素ふくそ平面へいめん上うえの解析かいせき関数かんすうで表現ひょうげんできる。場ばの理論りろんにおいて、共きょう形かたち変換へんかんのもとで不変ふへんとなっている物理ぶつり系けいを記述きじゅつする理論りろんを共きょう形かたち場じょう理論りろんと呼よぶ。

共きょう形かたち対称たいしょう性せい

物理ぶつり学がくにおいて、場ばの理論りろんの共きょう形かたち対称たいしょう性せいは、ポアンカレ変換へんかん（時空じくうの並進へいしん＋ローレンツ変換へんかん）、スケール変換へんかん（ディラテーション）、そして特殊とくしゅ共ども形がた変換へんかんのもとでの対称たいしょう性せいによって構成こうせいされる。これらの対称たいしょう性せいから成なる群ぐんを共きょう形かたち群ぐん、あるいは共きょう形かたち変換へんかん群ぐんと呼よぶ。

座標ざひょう変換へんかん

ミンコフスキー時空じくう上うえの座標ざひょうx^μみゅーに対たいする並進へいしん、ローレンツ変換へんかん、スケール変換へんかん、特殊とくしゅ共ども形がた変換へんかんは以下いかのようになる。

• 時空じくうの並進へいしん

$x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=x^{\mu }+a^{\mu }$

• ローレンツ変換へんかん（時空じくうの回転かいてん変換へんかん）

$x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=\Lambda _{\ \nu }^{\mu }x^{\nu }$

• スケール変換へんかん（ディラテーション）

$x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=\lambda x^{\mu }$

• 特殊とくしゅ共ども形がた変換へんかん

$x^{\mu }\to x^{\prime \mu }={\frac {x^{\mu }-b^{\mu }x^{2}}{1-2b\cdot x+b^{2}x^{2}}}$

ここで、a^μみゅー、$\Lambda _{\ \nu }^{\mu }$、λらむだ、b^μみゅーは変換へんかんによる任意にんいのパラメータである。

特殊とくしゅ共ども形がた変換へんかんは、以下いかのように書かき直なおすことができる。

${\frac {x^{\prime \mu }}{x^{\prime 2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-b^{\mu }$

この形式けいしきから、特殊とくしゅ共ども形がた変換へんかんは$x^{\mu }\to x^{\mu }/x^{2}$と座標ざひょう変換へんかんし、パラメータb^μみゅーだけ並進へいしんさせる変換へんかんを意味いみしていることが分わかる。

共きょう形代かたしろ数すう

共きょう形かたち群ぐんの生成せいせい子こは以下いかのように定義ていぎされる。

${\begin{aligned}&M_{\mu \nu }\equiv i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })\\&P_{\mu }\equiv -i\partial _{\mu }\\&D\equiv -ix_{\mu }\partial ^{\mu }\\&K_{\mu }\equiv i(x^{2}\partial _{\mu }-2x_{\mu }x_{\nu }\partial ^{\nu })\end{aligned}}$

ここで、M_{μみゅーνにゅー}はローレンツ不変ふへん性せい、P_μみゅーは時間じかんと空間くうかんの並進へいしん対称たいしょう性せい、Dはスケール不変ふへん性せい、K_μみゅーは特殊とくしゅ共ども形がた変換へんかんの生成せいせい子こである。ただし、Dはスカラーであり、K_μみゅーはローレンツ変換へんかんの添そえ字じを持もつ共きょう変へんベクトルである。

これらの生成せいせい子こは以下いかの交換こうかん関係かんけいに従したがう。

${\begin{aligned}&[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }\\&[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }\\&[K_{\mu },P_{\nu }]=2i\eta _{\mu \nu }D-2iM_{\mu \nu }\\&[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })\\&[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })\\&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\end{aligned}}$

この他ほかの交換こうかん関係かんけいは全すべて0となる。この表記ひょうきを見みれば分わかるように、M_{μみゅーνにゅー}のみで閉とじている交換こうかん関係かんけいがローレンツ群ぐんのリー代数だいすう、M_{μみゅーνにゅー}とP_μみゅーのみで閉とじている交換こうかん関係かんけいがポアンカレ群ぐんのリー代数だいすうである。

関連かんれん記事きじ

• 共きょう形かたち場じょう理論りろん
• Wess-Zumino-Witten モデル

参考さんこう文献ぶんけん

• Di Francesco; Mathieu, Sénéchal (1997). Conformal field theory. Graduate texts in contemporary physics. Springer. ISBN 9780387947853