平均へいきん自由じゆう行程こうてい

粒子りゅうしの運動うんどう（ブラウン運動うんどう）の模も式しき図ず。

走行そうこう距離きょりの分布ぶんぷを取とり、平均へいきん値ちを計算けいさんする。これが平均へいきん自由じゆう行程こうていとなる。

平均へいきん自由じゆう行程こうてい（へいきんじゆうこうてい、英語えいご: mean free path）または平均へいきん自由じゆう行路こうろ（へいきんじゆうこうろ）とは、物理ぶつり学がくや化学かがくのうち、気体きたい分子ぶんし運動うんどう論ろんにおいて、分子ぶんしなどの粒子りゅうしが、散乱さんらん源げん（同おなじ粒子りゅうしの場合ばあいもあれば、異ことなる粒子りゅうしの場合ばあいもある）による散乱さんらん（衝突しょうとつ）で妨害ぼうがいされること無なく進すすむことのできる距離きょり（これを自由じゆう行程こうていという）の平均へいきん値ちのことを言いう。粒子りゅうしが平均へいきん自由じゆう行程こうていだけ運動うんどうすると、他たの粒子りゅうしと平均へいきんして１回かい衝突しょうとつする。金属きんぞくや半導体はんどうたいの伝導でんどう電子でんしについても同様どうように定義ていぎされる。

平均へいきん自由じゆう行程こうていは、その系けいの特性とくせいや粒子りゅうしにより異ことなってくる。そのため、一般いっぱん的てきな場合ばあい、ランダムな速度そくどを持もった粒子りゅうしが、散乱さんらん源げんに衝突しょうとつするまでの距離きょりとして、次つぎの式しきで表記ひょうきされる。

$\ell =(n\sigma )^{-1}$

ただし、$\ell$は平均へいきん自由じゆう行程こうてい（単位たんいm）で、n は散乱さんらん源げんの数かず密度みつど（m^-3）、σしぐまは散乱さんらん時じの有効ゆうこう断だん面積めんせき（m²）である。粒子りゅうしの速度そくどがマクスウェル分布ぶんぷに従したがうと仮定かていされる場合ばあい、平均へいきん自由じゆう行程こうていは次つぎ式しきで表あらわせる。

$\ell =({\sqrt {2}}\,n\sigma )^{-1}$

いくつかの系けいでの例れい

大気たいき中ちゅうの気体きたいの場合ばあい

大気たいき中なかでは、大気たいきを構成こうせいする分子ぶんしがお互たがいに衝突しょうとつしながら散乱さんらんしている。平均へいきん自由じゆう行程こうていは、この衝突しょうとつから衝突しょうとつまでの間あいだに分子ぶんしが進すすむ距離きょりの平均へいきんとなる。この大小だいしょうは気体きたい分子ぶんし同士どうしやその気体きたいの入はいっている容器ようきを構成こうせいする分子ぶんしへの衝突しょうとつ回数かいすうの大小だいしょうも表あらわしており、マクロ的てきには、気圧きあつと言いう形かたちで観測かんそくされる。気体きたいの真空しんくう度ど（＝気圧きあつ）と、そのときの気体きたい分子ぶんしの個数こすうと、平均へいきん自由じゆう行程こうていの関係かんけいを示しめしたものが以下いかの表ひょうである。

真空しんくう度ど	気圧きあつ / hPa	分子ぶんし数かず / cm3	平均へいきん自由じゆう行程こうてい
大気たいき圧あつ	1013	> 2.7×1019	68 nm
低てい真空しんくう	300–1	1019–1016	0.1 μみゅーm–100 μみゅーm
中ちゅう真空しんくう	1–10-3	1016–1013	0.1 mm–100 mm
高こう真空しんくう	10-3–10-7	1013–109	10 cm–1 km
超ちょう高こう真空しんくう	10-7–10-12	109–104	1 km–105 km
極ごく超ちょう高こう真空しんくう	< 10-12	< 104	> 105 km

材質ざいしつ中ちゅうの電子でんしの場合ばあい

半導体はんどうたいや金属きんぞく中なかの電子でんしは電界でんかいに加速かそくされながら、電圧でんあつの低ひくい側がわから高たかい側がわへ移動いどうする。この時とき、材質ざいしつを構成こうせいする原子げんしが散乱さんらん源げんとなる。電子でんしの質量しつりょうは原子げんしの質量しつりょうより遥はるかに小ちいさいため、散乱さんらんのたびにほとんどの速度そくどと運動うんどう量りょうを失うしない、再度さいど電界でんかいで加速かそくされる。この平均へいきん自由じゆう行程こうていは、マクロ的てきには、材質ざいしつの抵抗ていこう値ねと言いう形かたちで観測かんそくされる。

衝突しょうとつ電離でんり

詳細しょうさいは「衝突しょうとつ電離でんり」を参照さんしょう

散乱さんらんの際さいに、電子でんし（もしくはホール）等とうのキャリアの速度そくどが十分じゅうぶんな速度そくど（運動うんどうエネルギー）に達たっしていた場合ばあい、電子でんしは散乱さんらんにより運動うんどう量りょうを失うしなうだけでなく、散乱さんらん源げんの原子げんしを電離でんり（イオン化いおんか）させる。これは、高こう電界でんかいをかけた場合ばあいに発生はっせいし、生しょうじたキャリアが更さらなる衝突しょうとつ電離でんりを発生はっせいさせると、アヴァランシェ・ブレークダウンと呼よばれる正せいのフィードバックが働はたらき、急激きゅうげきな電流でんりゅうの増加ぞうかを生しょうじさせる。

スクリーニング効果こうか

衝突しょうとつ電離でんりの捕獲ほかく断だん面積めんせきは、電子でんしと原子核げんしかく間あいだのクーロン力りょくで決定けっていされる距離きょり（デバイ長ちょう）で決定けっていされる。しかし、材質ざいしつ中ちゅうに衝突しょうとつ電離でんりで生しょうじた電子でんしが増ふえると、電子でんし自体じたいが散乱さんらん源げんの原子核げんしかくを「見みえにくく」してしまう。これを、スクリーニング効果こうかもしくは単たんにスクリーニングと言いう。このスクリーニング効果こうかにより、捕獲ほかく断だん面積めんせきが減少げんしょうし、平均へいきん自由じゆう行程こうていも増加ぞうかする。

数式すうしきの導出どうしゅつ

一般いっぱん的てきな場合ばあい

捕獲ほかく断だん面積めんせきの考かんがえ方かた

平均へいきん自由じゆう行程こうていを考かんがえる際さいには、粒子りゅうしがある領域りょういきを移動いどうする際さいに、どの程度ていどの粒子りゅうしが散乱さんらんの影響えいきょうを受うけるか、その比率ひりつが必要ひつようとなる。これは、以下いかに示しめす考かんがえ方かたで求もとめることができる。

一辺いっぺんが$L$の正方形せいほうけいを断面だんめんに持もつ、厚あつさ$dx$の直方体ちょくほうたいを考かんがえる。この体積たいせきは、$L^{2}dx$であり、この中なかに含ふくまれる散乱さんらん源げんの個数こすうは散乱さんらん源げんの数すう密度みつどnより、$nL^{2}dx$となる。これらの散乱さんらん源げんはその中心ちゅうしんから一定いってい半径はんけいの距離きょり内ないに入はいった粒子りゅうし（衝突しょうとつ径みち数すうが一いち定値ていち以下いかになる粒子りゅうし）を散乱さんらんさせる。これは、散乱さんらん源げんが一定いっていの面積めんせきσしぐまを持もっていると考かんがえることができ、これを捕獲ほかく断だん面積めんせき（cross section）と言いう。この捕獲ほかく断だん面積めんせきと散乱さんらん源げんの個数こすうから、この直方体ちょくほうたいでの総そう捕獲ほかく断だん面積めんせき S_capture は、次つぎの形かたちで計算けいさんされる。

$S_{\mathrm {capture} }=nL^{2}\sigma dx$

この直方体ちょくほうたいの断だん面積めんせきは$L^{2}$であるため、この直方体ちょくほうたいで粒子りゅうしが散乱さんらんされる確かく率りつ P_capture は、次つぎの式しきで表あらわされる。

$P_{\mathrm {capture} }={{S_{\mathrm {capture} }} \over {S_{\mathrm {all} }}}={{nL^{2}\sigma dx} \over {L^{2}}}=n\sigma dx$

この確かく率りつから、粒子りゅうしの個数こすう$I$の減少げんしょう量りょう$dI$は、厚あつさ$dx$に対たいして、次つぎの式しきで表あらわされる。

$dI=-In\sigma dx$

この微分びぶん方程式ほうていしきの解かいと、最初さいしょの粒子りゅうしの入射にゅうしゃ数すうを$I_{0}$とすれば、

$I=I_{0}\exp(-n\sigma x)$

となる。これが粒子りゅうしの走行そうこう距離きょりとその比率ひりつであるため、この平均へいきんが平均へいきん自由じゆう行程こうていとなる。したがって、平均へいきん自由じゆう行程こうてい$\ell$は、次つぎの式しきで表あらわされる。

$\ell =(n\sigma )^{-1}$

マクロな量りょうとの関係かんけい

気体きたい分子ぶんしの熱ねつ運動うんどうは温度おんどT 、圧力あつりょくP および粘性ねんせいμみゅーによって変かわり、平均へいきん自由じゆう行程こうていl のそれらへの依存いぞん性せいは次つぎ式しきのように表あらわされる。

$l=l_{0}\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)^{\frac {1}{2}}\left({\frac {P}{P_{0}}}\right)^{-1}{\frac {\mu }{\mu _{0}}}=l_{0}\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)^{2}\left({\frac {P}{P_{0}}}\right)^{-1}{\frac {T_{0}+S}{T+S}}$

ただし、添そえ字じ0付つきの変数へんすうは基準きじゅん状態じょうたいでの値ね、S はサザーランド定数ていすうと呼よばれる、物質ぶっしつに依存いぞんする定数ていすうである。

関連かんれん項目こうもく

• 真空しんくう
• 電気でんき抵抗ていこう
• 平均へいきん自由じゆう時間じかん