振動しんどう理論りろん

数学すうがくの常微分じょうびぶん方程式ほうていしきの分野ぶんやにおいて、常微分じょうびぶん方程式ほうていしき

F(x,y,y',\ \dots ,\ y^{(n-1)})=y^{(n)}\quad x\in [0,+\infty )

に無限むげん個この根ねが存在そんざいするとき、その非ひ自明じめい解かいは振動しんどう的てき（しんどうてき、英えい: oschillating）であると言いわれ、そうでない場合ばあいには非ひ振動しんどう的てきであると言いわれる。振動しんどう的てきな解かいが存在そんざいするとき、その微分びぶん方程式ほうていしきも振動しんどう的てきであると言いわれる。そのような根ねの数かずはまた、関連かんれんする境界きょうかい値ち問題もんだいのスペクトルに関かんする情報じょうほうももたらす。

例れい[編集へんしゅう]

微分びぶん方程式ほうていしき

y''+y=0\

は、sin(x) （の定数ていすう倍ばい）を解かいとするため、振動しんどう的てきである。

スペクトル理論りろんとの関係かんけい[編集へんしゅう]

振動しんどう理論りろんは、1836年ねん、ジャック・シャルル・フランソワ・スツルム（英語えいご版ばん）によるスツルム＝リウヴィル問題もんだいの研究けんきゅうによって開始かいしされた。その研究けんきゅうにおいてスツルムは、スツルム＝リウヴィル問題もんだいの $n$ 番ばん目めの固有こゆう関数かんすうにはちょうど $n - 1$ 個この根ねが存在そんざいすることを示しめした。1 次元じげんシュレーディンガー方程式ほうていしきに対たいする、振動しんどう的てきか非ひ振動しんどう的てきかという問題もんだいは、その連続れんぞくスペクトルの底そこに固有値こゆうちが集積しゅうせきするかという問題もんだいに答こたえるものであった。

相対そうたい振動しんどう理論りろん[編集へんしゅう]

1996年ねん、Gesztesy–Simon–Teschl によって、あるスツルム＝リウヴィル問題もんだいの 2 つの固有こゆう関数かんすうのロンスキー行列ぎょうれつ式しきの根ねの数かずは、対応たいおうする固有値こゆうちの間あいだの固有値こゆうちの数かずを与あたえるものであることが示しめされた。この結果けっかはのちに、Krüger–Teschl によって、2 つの異ことなるスツルム＝リウヴィル問題もんだいの 2 つの固有こゆう関数かんすうの場合ばあいへと一般いっぱん化かされた。2 つの解かいのロンスキー行列ぎょうれつ式しきの根ねの数かずの研究けんきゅうは、相対そうたい振動しんどう理論りろんとして知しられている。

参考さんこう文献ぶんけん[編集へんしゅう]

Atkinson, F.V. (1964). Discrete and Continuous Boundary Problems, Academic Press.
Gesztesy, F.; Simon, B.; Teschl, G. (1996). Zeros of the Wronskian and renormalized oscillation theory, Am. J. Math. 118, 571–594.
Kreith, K. (1973). Oscillation Theory, Lecture Notes in Mathematics 324, Springer.
Krüger, H; Teschl G. (2009). Relative oscillation theory, weighted zeros of the Wronskian, and the spectral shift function, Commun. Math. Phys. 287, 613–640.
Sturm, J.C.F. (1836). Memoire sur les equations diferentielles lineaires du second ordre, J. Math. Pures Appl. 1, 106–186.
Swanson, C.A. (1968). Comparison and Oscillation Theory of Linear Differential Equations, Academic Press.
Teschl, G. (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0
Weidmann, J. (1987). Spectral Theory of Ordinary Differential Operators, Lecture Notes in Mathematics 1258, Springer.

例れい[編集へんしゅう]

スペクトル理論りろんとの関係かんけい[編集へんしゅう]

相対そうたい振動しんどう理論りろん[編集へんしゅう]

関連かんれん項目こうもく[編集へんしゅう]

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