行列ぎょうれつのスペクトル

数学すうがくの分野ぶんやにおいて、（有限ゆうげん次元じげん）行列ぎょうれつのスペクトル（ぎょうれつのスペクトル、英えい: Spectrum of a matrix）とは、その固有値こゆうちの集合しゅうごうのことを言いう。この概念がいねんは、無限むげん次元じげんの場合ばあいに作用素さようそのスペクトルへと拡張かくちょうされる。行列ぎょうれつの行列ぎょうれつ式しきは、その各かく固有値こゆうちの積せきに等ひとしい。同様どうように、行列ぎょうれつの跡あと（トレース）は、その各かく固有値こゆうちの和わに等ひとしい。この観点かんてんから、特異とくい行列ぎょうれつに対たいする擬なずらえ行列ぎょうれつ式しきを、そのゼロでない各かく固有値こゆうちの積せきとして定義ていぎすることが出来できる（多た変量へんりょう正規せいき分布ぶんぷの密度みつどと求もとめる上うえで、この概念がいねんが必要ひつようとなる）。

定義ていぎ

V を、ある体からだ K 上うえの有限ゆうげん次元じげんベクトル空間くうかんとし、T: V → V をある線型せんけい写像しゃぞうとする。T の固有こゆうベクトルとは、ある λらむだ∈K に対たいして Tx=λらむだx を満みたすようなゼロでないベクトル x ∈ V のことを言いい、このときの値ね λらむだ のことを T の固有値こゆうちと言いう。そのような固有値こゆうちからなる集合しゅうごうのことを、T のスペクトルと言いい、σしぐま_T と表あらわす。

今いま、K 上うえの V の基底きてい B を固定こていし、M∈Mat_K(V) をある行列ぎょうれつとする。線型せんけい写像しゃぞう T: V→V を各かく点てんごとに Tx=Mx で定義ていぎする。但ただし、右辺うへんの x は列れつベクトルと解釈かいしゃくされ、M は x に対たいする行列ぎょうれつ乗算じょうざんである。今いま、 x∈V が T の固有こゆうベクトルであるなら、それは M の固有こゆうベクトルであると言いうことにする。同様どうように、λらむだ∈K が T の固有値こゆうちであるなら、それは M の固有値こゆうちであると言いうことにし、σしぐま_M と書かかれる M のスペクトルは、そのような固有値こゆうちの集合しゅうごうのことを言いう。