非ひ調和ちょうわ性せい

二に原子げんし分子ぶんしのポテンシャルエネルギー（縦たて軸じく）と原子げんし間隔かんかく（横よこ軸じく）との関係かんけい。原子げんし間隔かんかくが近ちかすぎたり遠とおすぎたりすると、u₀に向むかって復元ふくげん力りょくを受うける（ビびー玉だまがくぼみの中なかを前後ぜんごに転ころがっていると想像そうぞうするとよい）。青あおい曲線きょくせんは、分子ぶんしの実際じっさいのポテンシャル井戸いどに近ちかい関数かんすうを表あらわす。赤あかい曲線きょくせんは放物線ほうぶつせんであり、振動しんどうが小ちいさい場合ばあいは青あおい曲線きょくせんの良よい近似きんじとなっている。赤色あかいろの近似きんじでは、回復かいふく力りょく-V'(u)が変位へんいuに対たいして線形せんけいであるため、分子ぶんしを調和ちょうわ振動しんどう子ことして扱あつかっている。

古典こてん力学りきがくにおける非ひ調和ちょうわ性せい（ひちょうわせい、英語えいご: anharmonicity）とは、系けいの調和ちょうわ振動しんどう子こからのずれのこと。単たん振動しんどうで振動しんどうしない振動しんどう子こは非ひ調和ちょうわ振動しんどう子こ（英語えいご: anharmonic oscillator）と呼よばれ、系けいは調和ちょうわ振動しんどう子こに近似きんじすることができ、摂動せつどう理論りろんを用もちいて非ひ調和ちょうわ性せいを計算けいさんすることができる。非ひ同調どうちょう性せいが大おおきい場合ばあいは、他たの数値すうち解析かいせきを使用しようする必要ひつようがある。

その結果けっか、$\omega$は振動しんどう子この基本きほん周波数しゅうはすうとすると、$2\omega$や$3\omega$などの振動しんどう数すうをもつ振動しんどう子こが現あらわれる。 さらに、振動しんどう数すう$\omega$は調和ちょうわ振動しんどう子この振動しんどう数すう$\omega _{0}$からずれる。 第だい一いち近似きんじでは、振動しんどう数すうのシフト$\Delta \omega =\omega -\omega _{0}$は振動しんどう子この振幅しんぷく$A$の二に乗じょうに比例ひれいする。

$\Delta \omega \propto A^{2}$

$\omega _{\alpha }$, $\omega _{\beta }$, ... の固有こゆう振動しんどう数すうをもつ振動しんどう子この系けいでは、非ひ調和ちょうわ性せいにより振動しんどう数すう$\omega _{\alpha }\pm \omega _{\beta }$をもつ振動しんどう子こが得えられる。

非ひ調和ちょうわ振動しんどう子この量子りょうし論ろん

非ひ調和ちょうわ振動しんどう子このエネルギー準じゅん位い

例れいとして次つぎのようなハミルトニアンで表あらわされる非ひ調和ちょうわ振動しんどう子こを考かんがえる。

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}+\lambda x^{4}$

非ひ調和ちょうわ項こう$\lambda x^{4}$が十分じゅうぶんに小ちいさい（$\lambda \ll \hbar \omega$）として1次じの摂動せつどうまで考かんがえると、非ひ調和ちょうわ振動しんどう子このエネルギー準じゅん位いは次つぎのように調和ちょうわ振動しんどう子このエネルギー準じゅん位いからずれる。

$E_{n}\approx \hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)+\langle n|\lambda x^{4}|n\rangle$

ここで$|n\rangle$は、調和ちょうわ振動しんどう子この数かず演算えんざん子この固有こゆう状態じょうたいである。ここで$\langle n|\lambda x^{4}|n\rangle$に$x={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a+a^{\dagger })$を代入だいにゅうすると、生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子こについての16個この項こうが得えられる。生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子この昇降しょうこう性せいにより、ゼロでない期待きたい値ちを与あたえるのは２個この$a$と２個この$a^{\dagger }$を含ふくむ項こうのみである。よってこの項こうのみを計算けいさんすると、次つぎのようになる。よって調和ちょうわ振動しんどう子このように等間隔とうかんかくなエネルギー準じゅん位いではないことがわかる。

$E_{n}\approx \hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)+3\lambda \left({\frac {\hbar }{2m\omega }}\right)^{2}(2n^{2}+2n+1)$

非ひ調和ちょうわ振動しんどう子こと粒子りゅうし像ぞう

フェルミ粒子りゅうしの例れい

全ぜんハミルトニアン$H$が自由じゆう状態じょうたい$H_{0}$と非ひ調和ちょうわ相互そうご作用さよう$H'$の和わで表あらわされ、それらが2種類しゅるいのフェルミ粒子りゅうしの生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子こ$c_{k},d_{k}$で表あらわされる場合ばあいを考かんがえる。

$H=H_{0}+H'$

$H_{0}=\sum _{k}\epsilon _{k}(c_{k}^{\dagger }c_{k}+d_{k}^{\dagger }d_{k})$

$H'=\sum _{k}f_{k}(c_{k}d_{-k}+d_{-k}^{\dagger }d_{-k}^{\dagger })$

この全ぜんハミルトニアン$H$は、ボゴリューボフ変換へんかん

$C_{k}=c_{k}\cos \theta _{k}-d_{-k}^{\dagger }\sin \theta _{k}$

$D_{-k}=d_{-k}\cos \theta _{k}+c_{k}^{\dagger }\sin \theta _{k}$

によって次つぎのような対たい角形かくがたになり、固有値こゆうちを求もとめる事ことができる。

$H=\sum _{k}E_{k}(C_{k}^{\dagger }C_{k}+D_{k}^{\dagger }D_{k})+W_{0}$

ここで$E_{k}={\sqrt {\epsilon _{k}^{2}+f_{k}^{2}}}$は各かく量子りょうしのエネルギー、$W_{0}=\sum _{k}(\epsilon _{k}-E_{k})$は系けい全体ぜんたいのエネルギーの自由じゆう状態じょうたいからのずれである。よって相互そうご作用さようハミルトニアンに現あらわれる関数かんすう$f_{k}$の大おおきさに関かかわらず量子りょうし像ぞうは保存ほぞんされる。

ボース粒子りゅうしの例れい

全ぜんハミルトニアンが2種類しゅるいのボース粒子りゅうしの生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子こ$a_{k},b_{k}$で表あらわされる場合ばあいを考かんがえる。

$H=H_{0}+H'$

$H_{0}=\sum _{k}\epsilon _{k}(a_{k}^{\dagger }a_{k}+b_{k}^{\dagger }b_{k})$

$H'=\sum _{k}f_{k}(a_{k}b_{-k}+b_{-k}^{\dagger }b_{-k}^{\dagger })$

このとき全ぜんハミルトニアンの非ひ対たい角かく項こうが消きえるような変換へんかんができるのは、

$\epsilon _{k}^{2}>f_{k}^{2}$

のときだけである。つまりボース粒子りゅうしでボゴリューボフ変換へんかんが使つかえるのは相互そうご作用さようが小ちいさいときのみである。相互そうご作用さようが大おおきいときには量子りょうし像ぞうが壊こわれるのみならず、エネルギーに下限かげんが無なくなり、物理ぶつり的てき解釈かいしゃくが困難こんなんになる。