T-双対そうつい

T-双対そうつい(T-duality)は、様々さまざまな弦つる理論りろんの小ちいさな距離きょりと長ながい距離きょりの間あいだの関係かんけいの古典こてん的てき記述きじゅつが、それらの特別とくべつな場合ばあいとなるという場ばの量子りょうし論ろんの対称たいしょう性せいである。 ブッシャー(T. H. Buscher)の論文ろんぶんの中なかでこの話題わだいの議論ぎろんが始はじまり、マルティン・ロセック(Martin Rocek)とエリック・ヴァーリンデ(Erik Verlinde)によりさらに深ふかめられた。T-双対そうついは、通常つうじょうの素粒子そりゅうし物理ぶつり学がくの中なかには存在そんざいしない。弦つるが粒子りゅうしの動うごきとは点てん粒子りゅうしとは基本きほん的てきに異ことなる方法ほうほうで時空じくうを伝播でんぱする。T-双対そうついが理解りかいされる以前いぜんには、関連かんれんがないと考かんがえられていた異ことなる弦つる理論りろんを関連かんれんづける。T-双対そうついは、第だい二に超ちょう弦つる理論りろん革命かくめいの中なかで進化しんかした。

量的りょうてきな記述きじゅつ

弦つる理論りろんは、普通ふつうの空間くうかん次元じげん 3と時間じかん次元じげん 1に加くわえて、余剰よじょう次元じげんを予言よげんする。これらの余剰よじょう次元じげんの異ことなるサイズや形かたちは、4次元じげんの低ていエネルギー物理ぶつりに現あらわれる異ことなる力ちからや異ことなる粒子りゅうしとなるので、異ことなった形かたちの宇宙うちゅうは異ことなった物理ぶつりを持もつであろう。しかし、これらの多おおくの幾何きか学がくが同おなじ物理ぶつりを結果けっかし、これがT-双対そうついの基礎きそとなっている。

例たとえば、次元じげんの一ひとつが半径はんけい R の円えんの場合ばあいを考かんがえる。この方向ほうこうへ粒子りゅうしや弦つるは運動うんどう量りょうを持もつので、そのような状態じょうたいをカルツァ・クラインモードと呼よぶ。この方向ほうこうの運動うんどう量りょうは、次つぎを満みたすことで量子りょうし化かされる。

$p={\frac {n}{R}}$

半径はんけい R を小ちいさくすると、モードの一ひとつで励起れいきさせるさせることにさらにエネルギーが必要ひつようとなる。他方たほう、R が大おおきくすると、カルツァ・クライン状態じょうたいのあいだの間隔かんかくが小ちいさくなり、半径はんけいが無限むげん大だいの極限きょくげんで、運動うんどう量りょうはもはや量子りょうし化かされていない。

粒子りゅうしとは異ことなり、閉弦はまた余剰よじょう次元じげんに巻まき付つくこともできる。そのような状態じょうたいを巻まき付つきモードと言いう。巻まき付つきモードを励起れいきするエネルギーは、半径はんけい R に比例ひれいして量子りょうし化かされているので、半径はんけいが小ちいさくなるにつれて、巻まき付つきモードが小ちいさくなるので、半径はんけいがゼロとなる極限きょくげんではもはや量子りょうし化かされない。一方いっぽう、半径はんけいが大おおきくなると巻まき付つきモードを励起れいきすることに使つかうエネルギーは大おおきくなる。このカルツァ・クラインモードの振ふる舞まいは反対はんたいで、巻まき付つきモードとカルツァ・クラインモードを入いれ替かえると、半径はんけいが小ちいさいと大おおきい閉弦の振ふる舞まいは同おなじになる。半径はんけい R での物理ぶつりと半径はんけい αあるふぁ'/R での物理ぶつりが同おなじになる。この関係かんけいがT-双対そうついの例れいである。

ボゾン弦つる

T-双対そうついのアイデアを説明せつめいするために、半径はんけい R の円えんへコンパクト化かされたボゾン弦つるを考かんがえる。弦つるは、純粋じゅんすいな運動うんどう量りょう p をコンパクト化かされた次元じげんの中なかでも持もっている。この粒子りゅうしの場合ばあいには、運動うんどう量りょうは 1/R の単位たんいに量子りょうし化かされているはずである。

$p={\frac {n}{R}}$

ここに n は整数せいすうである。しかし、粒子りゅうしの場合ばあいとは違ちがい、閉弦はコンパクト化かした次元じげんの周まわりに巻まきついているかもしれない。その次元じげんの周まわりに巻まき付ついた回数かいすうを巻まき付つき数すう w と言いう。従したがって、閉弦の質量しつりょうは、

$m^{2}={\frac {n^{2}}{R^{2}}}+{\frac {w^{2}R^{2}}{\alpha ^{\prime 2}}}+{\frac {2}{\alpha '}}\left(N+{\tilde {N}}-2\right)$

となる。ここに N と Ñ は閉弦の左ひだり-(left-) と右みぎ-移動いどう(right-mover)の励起れいきで、αあるふぁ' は、傾かたむきパラメータ(slope parameter)である。このスペクトルは次つぎの変換へんかんの下したに不変ふへんである。

$R\leftrightarrow \alpha '/R\quad n\leftrightarrow w$

すなわち、閉弦のスペクトルは半径はんけい αあるふぁ'/R の背景はいけい(background)を持もつ閉弦のスペクトルと同おなじスペクトルを持もつ。閉弦の相互そうご作用さようも、この変換へんかんの下したに不変ふへんであることを示しめすことができる。このことは半径はんけい R のコンパクト化かした閉とじたボゾン弦つるは、半径はんけい αあるふぁ'/R の理論りろんに等価とうかであることを意味いみする。

超ちょう弦つる

T-双対そうついのアイデアは、超ちょう弦つる理論りろんのような、より一般いっぱんな的てきな背景はいけいへ拡張かくちょうすることができる。T-双対そうついは、タイプ IIの弦つるを互たがいに（タイプ IIAをタイプ IIBへ、タイプ IIBをタイプ IIAへ）入いれ替かえる。またヘテロ弦つるを互たがいに（ヘテロ SO(32)をヘテロ E₈×E₈ へ、ヘテロ E₈×E₈ をヘテロ SO(32) へ）入いれ替かえる。例たとえば、問題もんだいの方向ほうこうに一いち度ど巻まき付ついたタイプ IIAの弦つるから始はじめると、T-双対そうついは、その方向ほうこうに運動うんどう量りょうを持もつタイプ IIBの弦つるへ移うつす。巻数かんすう 2 を持もつタイプ IIA弦つるは、運動うんどう量りょうの単位たんい 2つを持もつタイプ IIB弦つるへ移うつすように、ほかも同様どうようである。

開ひらき弦つるとD-ブレーン

T-双対そうついは、D-ブレーンに作用さようすると、その次元じげんを +1 するか -1 するように作用さようする。

ミラー対称たいしょう性せい

詳細しょうさいは「SYZ予想よそう」を参照さんしょう

アンドリュー・ストロミンジャー(Andrew Strominger)、シン＝トゥン・ヤウ(Shing-Tung Yau)、エリック・ザスロフ(Eric Zaslow)は、ミラー対称たいしょう性せいが、カラビ・ヤウ空間くうかんの 3 次元じげんトロイダルファイバー空間くうかんに適応てきおうしたT-双対そうついとして理解りかいできることを示しめした。

参照さんしょう項目こうもく

• S-双対そうつい
• U-双対そうつい
• ミラー対称たいしょう性せい
• 弦つる双対そうつい性せい

参考さんこう文献ぶんけん

• Becker, K., Becker, M., and Schwarz, J. H. (2007). String Theory and M-Theory: A Modern Introduction. Cambridge, UK: Cambridge University Press.
• Polchinski, J. (1998). String Theory. Cambridge, UK: Cambridge University Press 
• Buscher, T.H. (1987), “A symmetry of the string background field equations”, Phys. Lett. B 194 (1): 59-62 
• Rocek, M.; Verlinde, E. (1992), “Duality, quotients and currents”, Nuclear Phys. B 373 (3): 630-646