原文 げんぶん 比 くら 結果 けっか 記事 きじ 多数 たすう 内容 ないよう 大 だい 部分 ぶぶん 影響 えいきょう 誤訳 ごやく 判明 はんめい 情報 じょうほう 利用 りよう 注意 ちゅうい 正確 せいかく 表現 ひょうげん 改訳 かいやく 方 ほう 求 もと
数学 すうがく 理論 りろん 物理 ぶつり 学 がく ミラー対称 たいしょう 性 せい (mirror symmetry)はカラビ・ヤウ多様 たよう 体 たい と呼 よ 幾何 きか 学 がく 的 てき 対象 たいしょう 間 あいだ 関係 かんけい 多様 たよう 体 たい 幾何 きか 学的 がくてき 全 まった 異 こと 弦 つる 理論 りろん 余剰 よじょう 次元 じげん 扱 あつか 等価 とうか 対称 たいしょう 性 せい 言 い 場合 ばあい 多様 たよう 体 たい 互 たが 「ミラー多様 たよう 体 たい であると呼 よ
ミラー対称 たいしょう 性 せい 物理 ぶつり 学者 がくしゃ 発見 はっけん 数学 すうがく 者 しゃ 対称 たいしょう 性 せい 興味 きょうみ 持 も 始 はじ 年 ねん 頃 ごろ 特 とく フィリップ・キャンデラス （英語 えいご 版 ばん 対称 たいしょう 性 せい 数々 かずかず 方程式 ほうていしき 解 かい 数 かず 数 かぞ 数学 すうがく 分野 ぶんや 数 かぞ 上 あ 幾何 きか 学 がく 使 つか 示 しめ 実際 じっさい 対称 たいしょう 性 せい 使 つか 多様 たよう 体 たい 上 うえ 有理 ゆうり 曲線 きょくせん 数 かぞ 長 なが 未解決 みかいけつ 問題 もんだい 解明 かいめい 示 しめ 参照 さんしょう 項目 こうもく 対称 たいしょう 性 せい 応用 おうよう [ 1] 元来 がんらい 対称 たいしょう 性 せい 理論 りろん 物理 ぶつり 学者 がくしゃ 必 かなら 数学 すうがく 的 てき 厳密 げんみつ mathematical rigor )ではないアイデアに基 もと 数学 すうがく 者 しゃ 対称 たいしょう 性 せい 予想 よそう 数学 すうがく 的 てき 厳密 げんみつ 証明 しょうめい 成功 せいこう [ 2]
今日 きょう 対称 たいしょう 性 せい 純粋 じゅんすい 数学 すうがく 主要 しゅよう 研究 けんきゅう 数学 すうがく 者 しゃ 物理 ぶつり 学者 がくしゃ 直感 ちょっかん 基 もと 対称 たいしょう 性 せい 数学 すうがく 的 てき 深 ふか 理解 りかい [ 3] 対称 たいしょう 性 せい 弦 つる 理論 りろん 計算 けいさん 実行 じっこう 際 さい 基本 きほん 的 てき [ 4] 対称 たいしょう 性 せい 主要 しゅよう マキシム・コンツェビッチ (Maxim Kontsevich)のホモロジカルミラー対称 たいしょう 性 せい 予想 よそう のプログラムやアンドリュー・ストロミンジャー (Andrew Strominger)、シン＝トゥン・ヤウ (Shing-Tung Yau)、エリック・ザスロフ （英語 えいご 版 ばん SYZ予想 よそう [ 5] 含 ふく
弦 つる 理論 りろん 基本 きほん 的 てき 対象 たいしょう 物 ぶつ 開 ひらけ 弦 つる （英語 えいご 版 ばん 物理 ぶつり 学 がく 弦 つる 理論 りろん 中 なか 素粒子 そりゅうし 点 てん 状 じょう 粒子 りゅうし 考 かんが 弦 つる （英語 えいご 版 ばん 呼 よ 次元 じげん 対象 たいしょう 置 お 換 か 理論 りろん 的 てき （英語 えいご 版 ばん 弦 つる 通常 つうじょう 弦 つる 小 ちい 区分 くぶん 見 み 弦 つる 理論 りろん 弦 つる 空間 くうかん 中 なか 伝搬 でんぱん 互 たが 相互 そうご 作用 さよう 記述 きじゅつ 弦 つる 大 おお 距離 きょり 弦 つる 通常 つうじょう 粒子 りゅうし 見 み 質量 しつりょう 電荷 でんか 持 も 弦 つる 振動 しんどう 状態 じょうたい 他 ほか 性質 せいしつ 持 も 弦 つる 分裂 ぶんれつ 結合 けつごう 粒子 りゅうし 輻射 ふくしゃ 吸収 きゅうしゅう 対応 たいおう 粒子 りゅうし 間 あいだ 相互 そうご 作用 さよう 惹 ひ 起 おこ [ 6]
弦 つる 理論 りろん 記述 きじゅつ 世界 せかい 日常 にちじょう 世界 せかい 間 あいだ 確 たし 差異 さい 日常 にちじょう 生活 せいかつ 空間 くうかん 次元 じげん 上下 じょうげ 左右 さゆう 前後 ぜんご 時間 じかん 次元 じげん 以後 いご 以前 いぜん 存在 そんざい 現代 げんだい 物理 ぶつり 言葉 ことば 時空 じくう 次元 じげん [ 7] 弦 つる 理論 りろん 特別 とくべつ 有様 ありさま 一 ひと 数学 すうがく 的 てき 整合 せいごう 性 せい 時空 じくう 余剰 よじょう 次元 じげん 要求 ようきゅう 超 ちょう 弦 つる 理論 りろん 超 ちょう 対称 たいしょう 性 せい 呼 よ 理論 りろん 上 じょう 考 かんが 方 かた 両立 りょうりつ 理論 りろん 毎日 まいにち 体験 たいけん 中 なか 慣 な 親 した 次元 じげん 加 くわ 次元 じげん 時空 じくう 余剰 よじょう 次元 じげん [ 8]
弦 つる 理論 りろん 現在 げんざい 研究 けんきゅう 目標 もくひょう 高 こう 物理 ぶつり 実験 じっけん 観察 かんさつ 粒子 りゅうし 弦 つる 再現 さいげん 構成 こうせい 観察 かんさつ 整合 せいごう 性 せい 持 も 時空 じくう 次元 じげん 必要 ひつよう 通常 つうじょう 距離 きょり 弦 つる 理論 りろん 余剰 よじょう 次元 じげん 消 け 去 さ 方法 ほうほう 見 み 弦 つる 理論 りろん 基礎 きそ 最 もっと 現実 げんじつ 的 てき コンパクト化 か と呼 よ 過程 かてい 通 とお 行 おこな [ 9] 化 か 考 かんが 方 かた 弦 つる 理論 りろん 特定 とくてい 次元 じげん 円 えん 自分 じぶん 閉 と 次元 じげん 巻 ま 極限 きょくげん 非常 ひじょう 小 ちい 有効 ゆうこう 理論 りろん 低 ひく 次元 じげん 理論 りろん 得 え 標準 ひょうじゅん 的 てき 類似 るいじ 物 ぶつ 庭 にわ 多次元 たじげん 対象 たいしょう 考 かんが 充分 じゅうぶん 遠 とお 距離 きょり 見 み 次元 じげん 長 なが 持 も 見 み 近 ちか 第 だい 二 に 円周 えんしゅう 次元 じげん 持 も 分 わ 表面 ひょうめん 這 は 蟻 あり 次元 じげん 的 てき 動 うご [ 10]
実 じつ 次元 じげん カラビ・ヤウ多様 たよう 体 たい の断面 だんめん 平面 へいめん 射影 しゃえい 図形 ずけい コンパクト化 か 時空 じくう 有効 ゆうこう 次元 じげん 次元 じげん 構成 こうせい 使 つか 余剰 よじょう 次元 じげん 化 か 全 すべ 方法 ほうほう 自然 しぜん 記述 きじゅつ 良 よ 性質 せいしつ 持 も 作 つく 出 だ 限 かぎ 素粒子 そりゅうし 物理 ぶつり 学 がく 確認 かくにん 構成 こうせい 余剰 よじょう 次元 じげん カラビ・ヤウ多様 たよう 体 たい の形 かたち 必要 ひつよう [ 9] 多様 たよう 体 たい 複雑 ふくざつ 典型 てんけい 次元 じげん 形 かたち 条件 じょうけん 満 み 数学 すうがく 者 しゃ エウジェニオ・カラビ (Eugenio Calabi)とシン＝トゥン・ヤウ (Shing-Tung Yau)の名前 なまえ 命名 めいめい [ 11]
1980年代 ねんだい 後半 こうはん 弦 つる 理論 りろん 化 か 対応 たいおう 多様 たよう 体 たい 一意 いちい 再 さい 構成 こうせい 可能 かのう 分 わ 代 か 2 つのカラビ・ヤウ多様 たよう 体 たい 同 おな 物理 ぶつり 持 も 発見 はっけん [ 12] 多様 たよう 体 たい 全部 ぜんぶ 双対 そうつい 性 せい 予想 よそう 位相 いそう 的 てき 弦 つる 理論 りろん 脈絡 みゃくらく 対称 たいしょう 性 せい 位相 いそう 的 てき 弦 つる 理論 りろん エドワード・ウィッテン [ 13] 導入 どうにゅう 簡素 かんそ 化 か 弦 つる 理論 りろん 数学 すうがく 者 しゃ 厳密 げんみつ 性 せい en:mathematical rigor )を持 も [ 2] 位相 いそう 的 てき 弦 つる 理論 りろん 脈絡 みゃくらく 対称 たいしょう 性 せい 理論 りろん 正確 せいかく 意味 いみ 等価 とうか 主張 しゅちょう [ 14]
弦 つる 理論 りろん 化 か 自然 しぜん 正 ただ 記述 きじゅつ 別 べつ 異 こと 多様 たよう 体 たい 間 あいだ 対称 たいしょう 性 せい 関係 かんけい 存在 そんざい 重要 じゅうよう 数学 すうがく 的 てき 結果 けっか [ 15] 弦 つる 理論 りろん 使 つか 多様 たよう 体 たい 純粋 じゅんすい 数学 すうがく 的 てき 興味深 きょうみぶか 対称 たいしょう 性 せい 同等 どうとう 問題 もんだい 解 と 数 かぞ 上 あ 代数 だいすう 幾何 きか 学 がく 多 おお 問題 もんだい 数学 すうがく 者 しゃ 解決 かいけつ [ 16] 今日 きょう 対称 たいしょう 性 せい 数学 すうがく 研究 けんきゅう 活発 かっぱつ 領域 りょういき 数学 すうがく 者 しゃ 今 いま 物理 ぶつり 学者 がくしゃ 直感 ちょっかん 基 もと 対称 たいしょう 性 せい 数学 すうがく 的 てき 理解 りかい 深 ふか 努力 どりょく [ 17]
トーラス ミラー双対 そうつい 片側 かたがわ 現 あらわ 幾何 きか 学 がく 一種 いっしゅ 理解 りかい 複素 ふくそ 平面 へいめん 点 てん 同一 どういつ 視 し トーラス （ドーナツのようにひとつの穴 あな 面 めん 構成 こうせい 考 かんが 構成 こうせい 最初 さいしょ 商 しょう
ω おめが
1
/
ω おめが
2
{\displaystyle \omega _{1}/\omega _{2}}
実数 じっすう 複素数 ふくそすう
ω おめが
1
{\displaystyle \omega _{1}}
ω おめが
2
{\displaystyle \omega _{2}}
選 えら 最後 さいご 条件 じょうけん 点 てん 一直線 いっちょくせん 上 じょう en:collinear )ことを確 たし 従 したが 選択 せんたく 点 てん 他 た 頂点 ちょうてん
ω おめが
1
+
ω おめが
2
{\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}}
平行四辺形 へいこうしへんけい 決定 けってい 平行四辺形 へいこうしへんけい 反対 はんたい 側 がわ 辺 あたり 同一 どういつ 視 し 求 もと 得 え
トーラス は複素 ふくそ 平面 へいめん 中 なか 平行四辺形 へいこうしへんけい 反対 はんたい 側 がわ 辺 あたり 同一 どういつ 視 し 構成 こうせい 複素 ふくそ 構造 こうぞう 大 おお 形 がた 記述 きじゅつ このようにして得 え 他 た 連続 れんぞく 変形 へんけい 可能 かのう 意味 いみ 同値 どうち [ 18] 他方 たほう 加法 かほう 構造 こうぞう 持 も 区別 くべつ 可能 かのう [ 14] 方法 ほうほう 構成 こうせい 複素 ふくそ 構造 こうぞう 持 も 上 じょう 任意 にんい 点 てん 近傍 きんぼう 複素 ふくそ 平面 へいめん 中 なか 領域 りょういき 見 み 意味 いみ
このトーラスの構成 こうせい 中 なか 替 か 元 もと 共通 きょうつう 因子 いんし 複素数 ふくそすう
λ らむだ
{\displaystyle \lambda }
ω おめが
1
′
=
λ らむだ
ω おめが
1
{\displaystyle \omega _{1}'=\lambda \omega _{1}}
ω おめが
2
′
=
λ らむだ
ω おめが
2
{\displaystyle \omega _{2}'=\lambda \omega _{2}}
複素数 ふくそすう
ω おめが
1
′
{\displaystyle \omega _{1}'}
ω おめが
2
′
{\displaystyle \omega _{2}'}
関連 かんれん 同値 どうち 得 え 従 したが 比率 ひりつ
τ たう =
ω おめが
1
/
ω おめが
2
{\displaystyle \tau =\omega _{1}/\omega _{2}}
全体 ぜんたい 集 あつ 便利 べんり 比率 ひりつ
ω おめが
i
{\displaystyle \omega _{i}}
変 か 一般 いっぱん 性 せい 失 うしな
τ たう
{\displaystyle \tau }
正 せい 虚 きょ 部 ぶ 持 も
τ たう
{\displaystyle \tau }
上 うえ 半平 はんぺん 面 めん 値 ね 持 も
τ たう
{\displaystyle \tau }
τ たう +
1
{\displaystyle \tau +1}
−
1
/
τ たう
{\displaystyle -1/\tau }
同 おな 対応 たいおう
もし 2つのトーラスがもともと異 こと
τ たう
{\displaystyle \tau }
値 ね 対応 たいおう 等価 とうか 複素 ふくそ 構造 こうぞう 持 も [ 19]
τ たう
{\displaystyle \tau }
平行四辺形 へいこうしへんけい 対辺 たいへん 同一 どういつ 視 し 構成 こうせい 形 がた 記述 きじゅつ 上 うえ 説明 せつめい 対称 たいしょう 性 せい 物理 ぶつり 学 がく 的 てき 理論 りろん 位相 いそう 的 てき 弦 つる 理論 りろん 関連付 かんれんづ 双対 そうつい 性 せい 位相 いそう 的 てき 時空 じくう 複素 ふくそ 構造 こうぞう 依存 いぞん 時空 じくう 理論 りろん 考 かんが 理論 りろん
τ たう
{\displaystyle \tau }
依存 いぞん [ 14]
トーラスの幾何 きか 学 がく 一 ひと 側面 そくめん 詳 くわ 単位 たんい 四 よん 方形 ほうけい （英語 えいご 版 ばん 対辺 たいへん 同一 どういつ 視 し 得 え 曲面 きょくめん 面積 めんせき 四辺 しへん 形 がた 上 じょう 面積 めんせき 要素 ようそ
ρ ろー d
x
d
y
{\displaystyle \rho dxdy}
特定 とくてい 単位 たんい 四 よん 方形 ほうけい 上 じょう 面積 めんせき 要素 ようそ 積分 せきぶん 対応 たいおう 面積 めんせき
ρ ろー
{\displaystyle \rho }
得 え 概念 がいねん 高 こう 次元 じげん 一般 いっぱん 化 か 面積 めんせき 要素 ようそ シンプレクティック形式 けいしき の考 かんが 方 かた 一般 いっぱん 化 か 形式 けいしき 持 も 空間 くうかん 研究 けんきゅう 幾何 きか 学 がく 呼 よ [ 20]
ミラー対称 たいしょう 性 せい 位相 いそう 的 てき 弦 つる 理論 りろん 時空 じくう 幾何 きか 学 がく 依存 いぞん 理論 りろん 中 なか 時空 じくう 理論 りろん 考 かんが 連続 れんぞく 的 てき
ρ ろー
{\displaystyle \rho }
依存 いぞん [ 14]
トーラスは2つの円 えん 積 せき 場合 ばあい 赤 あか 円 えん 円 えん 定義 ていぎ 軸 じく 周 まわ 掃 は 場合 ばあい
R
1
{\displaystyle R_{1}}
赤 あか 円 えん 半径 はんけい
R
2
{\displaystyle R_{2}}
円 えん 半径 はんけい どのようにしてトーラスが複素 ふくそ 平面 へいめん 中 なか 平行四辺形 へいこうしへんけい 対辺 たいへん 同一 どういつ 視 し 得 え 見 み 特別 とくべつ 単純 たんじゅん 例 れい 複素数 ふくそすう
ω おめが
1
{\displaystyle \omega _{1}}
ω おめが
2
{\displaystyle \omega _{2}}
実 じつ 軸 じく 虚 きょ 軸 じく 場合 ばあい 場合 ばあい
ω おめが
1
=
R
1
{\displaystyle \omega _{1}=R_{1}}
ω おめが
2
=
i
R
2
{\displaystyle \omega _{2}=iR_{2}}
書 か
R
1
{\displaystyle R_{1}}
R
2
{\displaystyle R_{2}}
実数 じっすう 上記 じょうき 議論 ぎろん 得 え 上 じょう 複素 ふくそ 構造 こうぞう 数値 すうち
τ たう =
i
R
2
/
R
1
{\displaystyle \tau =iR_{2}/R_{1}}
特徴 とくちょう
どのようにトーラスのシンプレクティック構造 こうぞう 面積 めんせき 要素 ようそ 決定 けってい 説明 せつめい 平行四辺形 へいこうしへんけい 上 じょう 座標 ざひょう
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
複素数 ふくそすう 張 は 平行四辺形 へいこうしへんけい 各々 おのおの 辺 あたり 長 なが 持 も 選 えら 面積 めんせき 要素 ようそ
R
1
R
2
d
x
d
y
{\displaystyle R_{1}R_{2}dxdy}
単位 たんい 正方形 せいほうけい 上 じょう 積分 せきぶん
R
1
R
2
{\displaystyle R_{1}R_{2}}
ρ ろー
{\displaystyle \rho }
積 せき
i
R
1
R
2
{\displaystyle iR_{1}R_{2}}
定義 ていぎ
2つの円 えん カルテシアン積 せき としてトーラスを考 かんが 注意 ちゅうい 表示 ひょうじ 赤道 せきどう 各々 おのおの 点 てん 経線 けいせん 円 えん 赤 あか 表示 ひょうじ
さて、トーラスは物理 ぶつり 的 てき 理論 りろん 時空 じくう 表現 ひょうげん 想像 そうぞう 理論 りろん 基本 きほん 的 てき 対象 たいしょう 量子力学 りょうしりきがく 規則 きそく 従 したが 時空 じくう 中 なか 伝搬 でんぱん 弦 つる 物理 ぶつり 学 がく （英語 えいご 版 ばん 弦 つる 理論 りろん 双対 そうつい 性 せい （英語 えいご 版 ばん 一 ひと T-双対 そうつい 性 せい がある。このことは、すべての一方 いっぽう 観測 かんそく 可能 かのう 量 りょう 双対 そうつい 記述 きじゅつ 量 りょう 同一 どういつ 視 し 意味 いみ 半径 はんけい
R
{\displaystyle R}
円 えん 周 まわ 伝搬 でんぱん 弦 つる 半径 はんけい
1
/
R
{\displaystyle 1/R}
円 えん 周 まわ 伝搬 でんぱん 弦 つる 等価 とうか [ 21] 例 たと 弦 つる 方向 ほうこう 運動 うんどう 量 りょう 離散 りさん 的 てき 値 ね 弦 つる 双対 そうつい 方向 ほうこう 円 えん 周 まわ 何 なに 周 まわ 巻 ま 付 つ 表 あらわ [ 21] 双対 そうつい 経線 けいせん 方向 ほうこう 円 えん 適用 てきよう 別 べつ 表現 ひょうげん 時空 じくう 中 なか 等価 とうか 記述 きじゅつ 存在 そんざい 双対 そうつい 性 せい
R
1
{\displaystyle R_{1}}
1
/
R
1
{\displaystyle 1/R_{1}}
変換 へんかん 変換 へんかん
τ たう ↔
ρ ろー
{\displaystyle \tau \leftrightarrow \rho }
複素 ふくそ 入 い 替 か
一般 いっぱん 対称 たいしょう 性 せい 物理 ぶつり 理論 りろん 同値 どうち 性 せい 複素 ふくそ 幾何 きか 学 がく 問題 もんだい シンプレクティック幾何 きか 学 がく の問題 もんだい 翻訳 ほんやく 考 かんが 単 たん 位相 いそう 空間 くうかん 実 み 次元 じげん 多様 たよう 体 たい 従 したが 対称 たいしょう 性 せい 単純 たんじゅん 例 れい [ 22] 弦 つる 理論 りろん 応用 おうよう 普通 ふつう 次元 じげん 多様 たよう 体 たい 考 かんが 次元 じげん 時空 じくう 観測 かんそく 次元 じげん 対応 たいおう
上記 じょうき 例 れい 中 なか 多様 たよう 体 たい 非常 ひじょう 変 か 形 かたち 次元 じげん 多様 たよう 体 たい 形 かたち 数学 すうがく 的 てき 不 ふ 変量 へんりょう 使 つか 記述 きじゅつ 不 ふ 変量 へんりょう 多様 たよう 体 たい 付随 ふずい 数値 すうち 幾何 きか 学 がく 的 てき 同 おな 多様 たよう 体 たい 同 おな 付随 ふずい 数値 すうち 持 も 例 たと 多様 たよう 体 たい 形 かたち 大雑把 おおざっぱ オイラー標 しるべ 数 すう と呼 よ 数値 すうち 記述 きじゅつ 双対 そうつい 多様 たよう 体 たい 相手 あいて 多様 たよう 体 たい 反対 はんたい 符号 ふごう 数 すう [ 23] 多 おお 異 こと 見 み 形 かたち 同 おな 標 しるべ 数 すう 持 も 不 ふ 変量 へんりょう 多様 たよう 体 たい 形 かたち 単 たん 粗 あら 記述 きじゅつ 粗 あら ベッチ数 すう と呼 よ 数 かず 和 わ 標 しるべ 数 すう 分解 ぶんかい 詳 くわ [ 24] ホッジ数 すう と呼 よ 多様 たよう 体 たい 興味深 きょうみぶか 対称 たいしょう 性 せい 持 も 不変 ふへん 量 りょう 使 つか [ 25]
一般 いっぱん 対称 たいしょう 性 せい 相関 そうかん 函数 かんすう 呼 よ 物理 ぶつり 量 りょう 計算 けいさん 興味 きょうみ [ 26] 相関 そうかん 函数 かんすう 例 れい 弦 つる 相関 そうかん 函数 かんすう 弦 つる 相関 そうかん 函数 かんすう 表 あらわ グロモフ・ウィッテン不 ふ 変量 へんりょう と呼 よ 無限 むげん 個 こ 数値 すうち 計算 けいさん 難 むずか 対称 たいしょう 性 せい 相関 そうかん 函数 かんすう 相関 そうかん 函数 かんすう 関連付 かんれんづ 多様 たよう 体 たい 古典 こてん 的 てき 複素 ふくそ 幾何 きか 学 がく 依存 いぞん 容易 ようい 計算 けいさん 可能 かのう 事実 じじつ 対称 たいしょう 性 せい 導入 どうにゅう 時 じ 数学 すうがく 者 しゃ 興味 きょうみ 惹 ひ 点 てん [ 27]
アポロニウスの円 えん ミラー対称 たいしょう 性 せい 重要 じゅうよう 数学 すうがく 応用 おうよう 多 おお 数 かぞ 上 あ 幾何 きか 学 がく 呼 よ 数学 すうがく 分野 ぶんや 属 ぞく 数 かぞ 上 あ 幾何 きか 学 がく 典型 てんけい 的 てき 代数 だいすう 幾何 きか 学 がく 使 つか 幾何 きか 学 がく 的 てき 問題 もんだい 解 かい 数 かず 数 かぞ 上 あ 興味 きょうみ 数 かぞ 上 あ 幾何 きか 学 がく 早 はや 時期 じき 問題 もんだい 一 ひと 数学 すうがく 者 しゃ アポロニウス による紀元前 きげんぜん 年 ねん 頃 ごろ 提案 ていあん 問題 もんだい 彼 かれ 与 あた 円 えん 接 せっ 平面 へいめん 上 じょう 円 えん 分 わ 問 と [ 28] 一般 いっぱん アポロニウスの問題 もんだい の解 かい 円 えん 存在 そんざい 右 みぎ 図 ず 黒 くろ 示 しめ 与 あた 円 えん 例 れい 示 しめ
クレブシュ3次 じ 曲面 きょくめん （英語 えいご 版 ばん 数学 すうがく 数 かぞ 上 あ 問題 もんだい 多項式 たこうしき 値 ね 点 てん 定義 ていぎ 代数 だいすう 多様 たよう 体 たい 幾何 きか 学 がく 的 てき 対象 たいしょう 関係 かんけい 例 たと クレブシュ3次 じ 曲面 きょくめん （英語 えいご 版 ばん 左 ひだり 図示 ずし 変数 へんすう 次 じ 多項式 たこうしき 定義 ていぎ 世紀 せいき 数学 すうがく 者 しゃ アーサー・ケイリー (Arthur Cayley)とジョージ・サルモン （英語 えいご 版 ばん 結果 けっか 曲面 きょくめん 上 じょう 本 ほん 直線 ちょくせん [ 29]
この問題 もんだい 一般 いっぱん 化 か 上 うえ 述 の 多様 たよう 体 たい クインティックスリーフォールド （5次 じ 多項式 たこうしき 記述 きじゅつ 複素 ふくそ 次元 じげん 多様 たよう 体 たい 上 うえ 何 なん 本 ほん 直線 ちょくせん 描 えが 問題 もんだい 問題 もんだい 世紀 せいき 数学 すうがく 者 しゃ ヘルマン・シューベルト （英語 えいご 版 ばん 解 と 彼 かれ 直線 ちょくせん 本 ほん 存在 そんざい 発見 はっけん 年 ねん 幾何 きか 学者 がくしゃ 完全 かんぜん 入 はい 円 えん 次 じ 曲線 きょくせん 数 かず 個 こ 証明 しょうめい [ 28]
1991年 ねん 頃 ごろ 数 かぞ 上 あ 幾何 きか 学 がく 古典 こてん 的 てき 問題 もんだい 大半 たいはん 解 と 数 かぞ 上 あ 幾何 きか 学 がく 興味 きょうみ 下火 したび 始 はじ 数学 すうがく 者 しゃ マーク・グロス （英語 えいご 版 ばん 古 ふる 問題 もんだい 解 と 人々 ひとびと 数 かず 現代 げんだい 使 つか 戻 もど 非常 ひじょう 古 ふる [ 30] 分野 ぶんや 年 ねん 月 がつ 活発 かっぱつ 化 か 始 はじ 物理 ぶつり 学者 がくしゃ フィリップ・キャンデラス （英語 えいご 版 ばん 対称 たいしょう 性 せい 含 ふく 次 じ 曲線 きょくせん 数 かず 数 かぞ 使 つか 示 しめ 大 おお 多様 たよう 体 たい 内部 ないぶ 完全 かんぜん 含 ふく 球 たま 次 じ 曲線 きょくせん 考 かんが [ 16] 彼 かれ 協力 きょうりょく 者 しゃ 次元 じげん 多様 たよう 体 たい 次 じ 曲線 きょくせん 個 こ 含 ふく 発見 はっけん [ 30]
クインティックスリーフォールド上 じょう 次 じ 曲線 きょくせん 数 かぞ 加 くわ 彼 かれ 協力 きょうりょく 者 しゃ 数学 すうがく 者 しゃ 得 え 結果 けっか 超 こ 有理 ゆうり 曲線 きょくせん 数 かぞ 上 あ 関 かん 一般 いっぱん 的 てき 数 すう 多 おお 結果 けっか 得 え [ 31] 仕事 しごと 使 つか 方法 ほうほう 理論 りろん 物理 ぶつり 学 がく 数学 すうがく 的 てき 厳密 げんみつ en:mathematical rigor )ではないアイデアを基礎 きそ 数学 すうがく 者 しゃ 対称 たいしょう 性 せい 予想 よそう 数学 すうがく 的 てき 厳密 げんみつ 証明 しょうめい 特 とく 対称 たいしょう 性 せい 数 かぞ 上 あ 幾何 きか 学 がく 予想 よそう 現在 げんざい 厳密 げんみつ 証明 しょうめい [ 32]
数 かぞ 上 あ 幾何 きか 学 がく 応用 おうよう 加 くわ 対称 たいしょう 性 せい 弦 つる 理論 りろん 計算 けいさん 実行 じっこう 基本 きほん 的 てき 位相 いそう 的 てき 弦 つる 理論 りろん グロモフ・ウィッテン不 ふ 変量 へんりょう と呼 よ 無限 むげん 個 こ 数値 すうち 計算 けいさん 極 きわ 難 むずか 物理 ぶつり 的 てき 興味 きょうみ 量 りょう 表現 ひょうげん 一方 いっぽう 計算 けいさん 古典 こてん 的 てき 積分 せきぶん 還元 かんげん 非常 ひじょう 容易 ようい [ 33] 理論 りろん 家 か 対称 たいしょう 性 せい 適用 てきよう 難 むずか 計算 けいさん 等価 とうか 技術 ぎじゅつ 的 てき 上 じょう 計算 けいさん 移 うつ 替 が 従 したが 現在 げんざい 計算 けいさん 弦 つる 理論 りろん 様々 さまざま 物理 ぶつり 的 てき 過程 かてい 確 かく 率 りつ 決定 けってい 使 つか 対称 たいしょう 性 せい 他 た 双対 そうつい 性 せい 結合 けつごう 一方 いっぽう 理論 りろん 別 べつ 異 こと 理論 りろん 等価 とうか 計算 けいさん 移 うつ 替 か 方法 ほうほう 別 べつ 理論 りろん 計算 けいさん 外出 がいしゅつ 理論 りろん 家 か 双対 そうつい 性 せい 使 つか 計算 けいさん 不可能 ふかのう 多 おお 量 りょう 計算 けいさん 可能 かのう [ 34]
弦 つる 理論 りろん 以外 いがい 対称 たいしょう 性 せい 基本 きほん 粒子 りゅうし 記述 きじゅつ 物理 ぶつり 学者 がくしゃ 使 つか 形式 けいしき 場 ば 量子 りょうし 論 ろん 一 いち 側面 そくめん 理解 りかい 使 つか 例 たと 対称 たいしょう 性 せい ゲージ理論 りろん の性質 せいしつ 理解 りかい 使 つか 理論 りろん 基本 きほん 粒子 りゅうし 標準 ひょうじゅん 模型 もけい 中 なか 現 あらわ 高度 こうど 対称 たいしょう 性 せい 物理 ぶつり 理論 りろん 理論 りろん 近接 きんせつ 背景 はいけい 伝播 でんぱ 弦 つる 発生 はっせい 対称 たいしょう 性 せい 理論 りろん 計算 けいさん 有用 ゆうよう 道具 どうぐ [ 35] 実際 じっさい ネーサン・サイバーグ (Nathan Seiberg)やエドワート・ウィッテンにより研究 けんきゅう 次元 じげん 時空 じくう 中 なか 重要 じゅうよう 理論 りろん 計算 けいさん 実行 じっこう 使 つか ドナルドソン不 ふ 変量 へんりょう の脈絡 みゃくらく 数学 すうがく 良 よ 似 に [ 36] 対称 たいしょう 性 せい 一般 いっぱん 化 か 3次元 じげん 対称 たいしょう 性 せい （英語 えいご 版 ばん 呼 よ 対称 たいしょう 性 せい 次元 じげん 時空 じくう 中 なか 場 ば 量子 りょうし 論 ろん 関係付 かんけいづ [ 37]
D-ブレーン のペアに端点 たんてん 固定 こてい 開 ひらく 弦 つる 弦 つる 理論 りろん 超 ちょう 重力 じゅうりょく 理論 りろん 関連 かんれん 理論 りろん ｢ブレーン｣ (brane)が点 てん 粒子 りゅうし 考 かんが 方 かた 高 こう 次元 じげん 一般 いっぱん 化 か 物理 ぶつり 的 てき 対象 たいしょう 例 たと 点 てん 粒子 りゅうし 次元 じげん 考 かんが 対 たい 弦 つる 次元 じげん 考 かんが 高 こう 次元 じげん 考 かんが ｢メンブレーン｣ (membrane)ということばから来 き 次元 じげん [ 38]
弦 つる 理論 りろん 弦 つる 物理 ぶつり 学 がく （英語 えいご 版 ばん 端点 たんてん 持 も 構成 こうせい 開 ひらき 弦 つる 閉 と D-ブレーン は、開 ひらき 弦 つる 考 かんが 発生 はっせい 重要 じゅうよう 開 ひらき 弦 つる 時空 じくう 中 なか 伝搬 でんぱん 端点 たんてん 上 うえ 要求 ようきゅう 中 なか 文字 もじ ディリクレ境界 きょうかい 条件 じょうけん として知 し 数学 すうがく 的 てき 条件 じょうけん 導入 どうにゅう 事実 じじつ 来 く [ 39]
数学 すうがく 的 てき 圏 けん 概念 がいねん 使 つか 記述 きじゅつ [ 40] 対象 たいしょう 対象 たいしょう 任意 にんい 対 たい 間 あいだ 射 い 数学 すうがく 的 てき 構造 こうぞう 大半 たいはん 例 れい 対象 たいしょう 数学 すうがく 的 てき 構造 こうぞう 持 も 例 たと 集合 しゅうごう ベクトル空間 くうかん や位相 いそう 空間 くうかん 射 い 構造 こうぞう 間 あいだ 函数 かんすう 与 あた [ 41] 対象 たいしょう 射 い
α あるふぁ
{\displaystyle \alpha }
β べーた
{\displaystyle \beta }
間 あいだ 射 い
α あるふぁ
{\displaystyle \alpha }
β べーた
{\displaystyle \beta }
間 あいだ 伸 の 開 ひらく 弦 つる 波動 はどう 函数 かんすう 考 かんが [ 42]
位相 いそう 的 てき 弦 つる 理論 りろん 上 うえ 弦 つる 伝搬 でんぱん 多様 たよう 体 たい 複素 ふくそ 幾何 きか 学 がく 構成 こうせい 数学 すうがく 多様 たよう 体 たい 上 じょう 連接 れんせつ 層 そう 導 しるべ 来 らい 圏 けん 知 し 他方 たほう 多様 たよう 体 たい シンプレクティック幾何 きか 学 がく から構成 こうせい 数学 すうがく 深谷 ふかや 圏 けん （英語 えいご 版 ばん 知 し [ 43] マキシム・コンツェビッチ のホモロジカルミラー対称 たいしょう 性 せい 予想 よそう は、ある意味 いみ 同値 どうち 言 い [ 44]
ミラー対称 たいしょう 性 せい 理解 りかい 一 ひと アンドリュー・ストロミンジャー (Andrew Strominger)、シン＝トゥン・ヤウ (en:Shing-Tung Yau )、エリック・ザスロフ （英語 えいご 版 ばん 年 ねん 論文 ろんぶん 示唆 しさ [ 5] 予想 よそう 従 したが 対称 たいしょう 性 せい 複雑 ふくざつ 多様 たよう 体 たい 単純 たんじゅん 分解 ぶんかい 上 うえ T-双対 そうつい を考 かんが 理解 りかい [ 45]
オーバービューのセクションでトーラス を考 かんが 思 おも 出 だ 円 えん 積 せき 図 ず 中 なか 赤 あか 円 えん 示 しめ 縦 たて 円 えん 経線 けいせん 集 あつ 合併 がっぺい 考 かんが 意味 いみ 円 えん 編成 へんせい 補助 ほじょ 的 てき 空間 くうかん 存在 そんざい 空間 くうかん 自体 じたい 円 えん 円 えん 示 しめ 空間 くうかん 上 じょう 経線 けいせん 円 えん パラメトライズ すると言 い 上 うえ 説明 せつめい 対称 たいしょう 性 せい 経線 けいせん 作用 さよう 双対 そうつい 同値 どうち 半径 はんけい
R
1
{\displaystyle R_{1}}
1
/
R
1
{\displaystyle 1/R_{1}}
変換 へんかん
SYZ予想 よそう 複雑 ふくざつ 次元 じげん 多様 たよう 体 たい 場合 ばあい 一般 いっぱん 化 か 予想 よそう 場合 ばあい 次元 じげん 多様 たよう 体 たい 単純 たんじゅん 分割 ぶんかつ 場合 ばあい 3次元 じげん （英語 えいご 版 ばん 3次元 じげん 球面 きゅうめん によりパラメトライズされる。[ 46] 双対 そうつい 分解 ぶんかい 現 あらわ 円 えん 次元 じげん 拡張 かくちょう 可能 かのう 予想 よそう 対称 たいしょう 性 せい 次元 じげん 双対 そうつい 同時 どうじ 適用 てきよう 同値 どうち 言 い [ 47] 予想 よそう 多様 たよう 体 たい 上 うえ 対称 たいしょう 性 せい 作用 さよう 幾何 きか 学 がく 的 てき 素描 そびょう 与 あた
ミラー対称 たいしょう 性 せい 年代 ねんだい 中期 ちゅうき 遡 さかのぼ 半径 はんけい
R
{\displaystyle R}
円 えん 上 うえ 伝搬 でんぱん 弦 つる 物理 ぶつり 学的 がくてき 適当 てきとう 計量 けいりょう 単位 たんい 半径 はんけい
1
/
R
{\displaystyle 1/R}
円 えん 上 うえ 伝搬 でんぱん 弦 つる 等価 とうか 気付 きづ [ 48] 現象 げんしょう 現在 げんざい T-双対 そうつい として知 し 対称 たいしょう 性 せい 密接 みっせつ 関連 かんれん 理解 りかい
1985年 ねん 論文 ろんぶん 中 なか フィリップ・キャンデラス （英語 えいご 版 ばん アンドリュー・ストロミンジャー (Andrew Strominger)とエドワード・ウィッテン (Edward Witten)は弦 つる 理論 りろん カラビ・ヤウ多様 たよう 体 たい 上 うえ コンパクト化 か することで、大 おお 理論 りろん 素粒子 そりゅうし 理論 りろん 標準 ひょうじゅん 似 に 示 しめ [ 49] 発展 はってん 多 おお 物理 ぶつり 学者 がくしゃ 弦 つる 理論 りろん 基礎 きそ 持 も 素粒子 そりゅうし 物理 ぶつり 現実 げんじつ 合 あ 構成 こうせい 期待 きたい 化 か 研究 けんきゅう 始 はじ 物理 ぶつり 的 てき 与 あた 対応 たいおう 多様 たよう 体 たい 一意 いちい 再 さい 構成 こうせい 注意 ちゅうい 必要 ひつよう 代 か 同一 どういつ 物理 ぶつり 発生 はっせい 多様 たよう 体 たい 存在 そんざい 発見 はっけん [ 50]
カラビ・ヤウ多様 たよう 体 たい 共 きょう 形 かたち 場 じょう 理論 りろん 間 あいだ 関係 かんけい 研究 けんきゅう ブライアン・グリーン (Brian Greene)とローネン・プレッサー(Ronen Plesser)は、非 ひ 自明 じめい 関係 かんけい 発見 はっけん [ 51] 関係 かんけい 証拠 しょうこ 仕事 しごと 結論 けつろん 彼 かれ 計算 けいさん 機 き 多 おお 数 かず 多様 たよう 体 たい 研究 けんきゅう 中 なか 中 なか 現 あらわ 発見 はっけん [ 52]
数学 すうがく 者 しゃ 年 ねん 頃 ごろ 対称 たいしょう 性 せい 興味 きょうみ 持 も 始 はじ 年 ねん 頃 ごろ 物理 ぶつり 学者 がくしゃ [ 53] 対称 たいしょう 性 せい 使 つか 数 かぞ 上 あ 幾何 きか 学 がく 年 ねん 以上 いじょう 未 み 解決 かいけつ 問題 もんだい 解 と 示 しめ [ 54] 結果 けっか 年 ねん バークレー での数理 すうり 科学 かがく 研究所 けんきゅうじょ （英語 えいご 版 ばん 研究 けんきゅう 集会 しゅうかい 提案 ていあん 研究 けんきゅう 集会 しゅうかい 中 なか 有理 ゆうり 曲線 きょくせん 数 かぞ 上 あ 問題 もんだい 計算 けいさん 数 かず 一 ひと 数学 すうがく 者 しゃ ゲイル・エリングスラッド （英語 えいご 版 ばん 見 み 以上 いじょう 厳密 げんみつ 使 つか 得 え 数 かず 不一致 ふいっち 認知 にんち [ 55] 研究 けんきゅう 集会 しゅうかい 多 おお 数学 すうがく 者 しゃ 仕事 しごと 厳密 げんみつ 数学 すうがく 的 てき 議論 ぎろん 基礎 きそ 誤 あやま 前提 ぜんてい 立 た 解 かい 試 ため 彼 かれ 行 おこな 計算 けいさん 機 き 誤 あやま 発見 はっけん 正 ただ 解 かい 協力 きょうりょく 者 しゃ 得 え 解 かい 一致 いっち 答 こた 得 え [ 56]
1990年 ねん 弦 つる 理論 りろん 簡素 かんそ 化 か 位相 いそう 的場 まとば 理論 りろん 導入 どうにゅう [ 13] 物理 ぶつり 学者 がくしゃ 位相 いそう 的場 まとば 理論 りろん 対称 たいしょう 性 せい 存在 そんざい 示 しめ [ 57] 位相 いそう 的場 まとば 理論 りろん 普通 ふつう 数学 すうがく 的 てき 脈絡 みゃくらく 対称 たいしょう 性 せい 定義 ていぎ 使 つか [ 58] 年 ねん 数学 すうがく 者 しゃ マキシム・コンツェビッチ (Maxim Kontsevich)は、弦 つる 理論 りろん 物理 ぶつり 的 てき 対称 たいしょう 性 せい 基礎 きそ 置 お 新 あたら 数学 すうがく 的 てき 予想 よそう 提案 ていあん [ 59] ホモロジカルミラー対称 たいしょう 性 せい として知 し 対称 たいしょう 性 せい 予想 よそう 対称 たいしょう 性 せい 数学 すうがく 的 てき 構造 こうぞう 同値 どうち 性 せい 定式 ていしき 化 か 多様 たよう 体 たい 上 じょう 連接 れんせつ 層 そう 導 しるべ 来 らい 圏 けん 深谷 ふかや 圏 けん （英語 えいご 版 ばん 同値 どうち 性 せい [ 59]
1996年 ねん 年 ねん アレクサンダー・ギベンタール （英語 えいご 版 ばん ケフェング・リウ （英語 えいご 版 ばん シン＝トゥン・ヤウ (Shing-Tung Yau)はコンセビッチのいくつかのアイデアをどのようにして有理 ゆうり 曲線 きょくせん 実際 じっさい 数 かぞ 上 あ 精密 せいみつ 化 か 適用 てきよう 示 しめ [ 2] 結果 けっか 現 げん 次元 じげん 対称 たいしょう 性 せい 数学 すうがく 的 てき 証明 しょうめい 考 かんが 示 しめ
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4
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N
=
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弦 つる 理論 りろん
理論 りろん 概念 がいねん 人物 じんぶつ 関連 かんれん 項目 こうもく
